Теория сэндвича

Теория, описывающая поведение трехслойных структур или материалов.

Композитная сэндвич-панель, использованная для испытаний в НАСА

Теория сэндвича ^{[1] [2]} описывает поведение балки , пластины или оболочки , состоящей из трех слоев — двух лицевых листов и одного сердечника. Наиболее часто используемая сэндвич-теория является линейной и является расширением теории пучков первого порядка . Теория линейного сэндвича важна для проектирования и анализа сэндвич-панелей , которые используются в строительстве зданий, автомобилестроении, самолетостроении и холодильной технике.

Некоторые преимущества сэндвич-конструкции:

• Сечения сэндвичей являются составными . Обычно они состоят из сердцевины с низкой или средней жесткостью , соединенной с двумя жесткими внешними лицевыми панелями. Композит имеет значительно более высокое соотношение жесткости при сдвиге к весу, чем эквивалентная балка, изготовленная только из материала сердцевины или материала лицевого листа. Композит также имеет высокое соотношение прочности к весу.
• Высокая жесткость лицевого листа приводит к высокому соотношению жесткости на изгиб к весу композита.

Поведение балки многослойного сечения под нагрузкой отличается от балки постоянного упругого сечения. Если радиус кривизны при изгибе велик по сравнению с толщиной сэндвич-балки, а деформации в материалах деталей малы, деформацию сэндвич -композитной балки можно разделить на две части.

• деформации из-за изгибающих моментов или изгибной деформации, и
• деформации, вызванные поперечными силами, также называемые деформациями сдвига.

Теории сэндвич-балки, пластины и оболочки обычно предполагают, что эталонное напряженное состояние представляет собой состояние с нулевым напряжением. Однако во время отверждения разница температур между лицевыми листами сохраняется из-за термического разделения материала сердцевины. Эти разницы температур в сочетании с разной линейной протяженностью лицевых листов могут привести к изгибу многослойной балки в направлении более теплой лицевой панели. Если изгиб ограничен в процессе производства, в компонентах сэндвич-композита могут возникнуть остаточные напряжения . Суперпозиция эталонного напряженного состояния на решения, предлагаемые теорией сэндвича, возможна, когда задача линейна . Однако, когда ожидаются большие упругие деформации и вращения, начальное напряженное состояние должно быть включено непосредственно в сэндвич-теорию.

Инженерная теория сэндвич-балок

Изгиб многослойной балки без дополнительной деформации за счет сдвига сердечника.

В инженерной теории сэндвич-балок ^[2] предполагается, что осевая деформация изменяется линейно по поперечному сечению балки, как и в теории Эйлера-Бернулли , т.е.

${\displaystyle \varepsilon _{xx}(x,z)=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Следовательно, осевое напряжение в многослойной балке определяется выражением

${\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)=-z~E(z)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

где – модуль Юнга , который зависит от положения по толщине балки. Тогда изгибающий момент в балке определяется выражением ${\displaystyle E(z)}$

${\displaystyle M_{x}(x)=\int \int z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y=-\left(\int \int z^{2}E(z)~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=:-D~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Величина называется изгибной жесткостью многослойной балки. Поперечная сила определяется как ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Q_{x}}$

${\displaystyle Q_{x}={\frac {\mathrm {d} M_{x}}{\mathrm {d} x}}~.}$

Используя эти соотношения, мы можем показать, что напряжения в многослойной балке с сердцевиной толщиной и модулем упругости и двумя лицевыми листами, каждая толщиной и модулем упругости , определяются выражением ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle E^{c}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E^{f}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&={\cfrac {zE^{\mathrm {f} }M_{x}}{D}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&={\cfrac {zE^{\mathrm {c} }M_{x}}{D}}\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&={\cfrac {Q_{x}E^{\mathrm {f} }}{2D}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&={\cfrac {Q_{x}}{2D}}\left[E^{\mathrm {c} }\left(h^{2}-z^{2}\right)+E^{\mathrm {f} }f(f+2h)\right]\end{aligned}}}$

Для сэндвич-балки с одинаковыми лицевыми листами и единичной шириной значение равно ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D&=E^{f}\int _{w}\int _{-h-f}^{-h}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y+E^{c}\int _{w}\int _{-h}^{h}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y+E^{f}\int _{w}\int _{h}^{h+f}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\\&={\frac {2}{3}}E^{f}f^{3}+{\frac {2}{3}}E^{c}h^{3}+2E^{f}fh(f+h)~.\end{aligned}}}$

Если , то можно аппроксимировать как ${\displaystyle E^{f}\gg E^{c}}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D\approx {\frac {2}{3}}E^{f}f^{3}+2E^{f}fh(f+h)=2fE^{f}\left({\frac {1}{3}}f^{2}+h(f+h)\right)}$

а напряжения в многослойной балке можно аппроксимировать как

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {zM_{x}}{{\frac {2}{3}}f^{3}+2fh(f+h)}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{{\frac {4}{3}}f^{3}+4fh(f+h)}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}(f+2h)}{{\frac {2}{3}}f^{2}+h(f+h)}}\end{aligned}}}$

Если, кроме того, , то ${\displaystyle f\ll 2h}$

${\displaystyle D\approx 2E^{f}fh(f+h)}$

а приблизительные напряжения в балке равны

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {zM_{x}}{2fh(f+h)}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{4fh(f+h)}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}(f+2h)}{4h(f+h)}}\approx {\cfrac {Q_{x}}{2h}}\end{aligned}}}$

Если мы предположим, что лицевые листы достаточно тонкие, чтобы напряжения можно было считать постоянными по толщине, мы получим приближение

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx \pm {\cfrac {M_{x}}{2fh}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx 0~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{2h}}\end{aligned}}}$

Следовательно, проблему можно разделить на две части: одна связана только с сдвигом сердечника, а другая связана только с изгибающими напряжениями в лицевых панелях.

Линейная теория сэндвича

Гибка сэндвич-балки с тонкими гранями

Изгиб многослойной балки после учета сдвига сердцевины в деформации.

Основными предположениями линейных сэндвич-теорий балок с тонкими гранями являются:

• поперечная нормальная жесткость сердечника бесконечна, т. е. толщина сердечника в направлении z не изменяется при изгибе
• нормальная жесткость сердечника в плоскости мала по сравнению с жесткостью лицевых листов, т. е. сердечник не удлиняется и не сжимается в направлении x.
• лицевые листы ведут себя в соответствии с предположениями Эйлера-Бернулли , т. е. в лицевых листах нет сдвига xz и толщина лицевых листов в направлении z не меняется.

Однако сдвиговыми напряжениями xz в ядре не пренебрегают.

Основополагающие предположения

Определяющие соотношения для двумерных ортотропных линейно-упругих материалов имеют вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{zx}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{13}&0\\C_{13}&C_{33}&0\\0&0&C_{55}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{zx}\end{bmatrix}}}$

Предположения теории сэндвича приводят к упрощенным соотношениям

${\displaystyle \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=C_{11}^{\mathrm {face} }~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }~;~~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=C_{55}^{\mathrm {core} }~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }~;~~\sigma _{zz}^{\mathrm {face} }=\sigma _{xz}^{\mathrm {face} }=0~;~~\sigma _{zz}^{\mathrm {core} }=\sigma _{xx}^{\mathrm {core} }=0}$

и

${\displaystyle \varepsilon _{zz}^{\mathrm {face} }=\varepsilon _{xz}^{\mathrm {face} }=0~;~~\varepsilon _{zz}^{\mathrm {core} }=\varepsilon _{xx}^{\mathrm {core} }=0}$

Уравнения равновесия в двух измерениях:

${\displaystyle {\cfrac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}=0~;~~{\cfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}=0}$

Из предположений для многослойной балки и уравнения равновесия следует, что

${\displaystyle \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }\equiv \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }(z)~;~~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=\mathrm {constant} }$

Поэтому для однородных граней и сердцевины деформации также имеют вид

${\displaystyle \varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }\equiv \varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }(z)~;~~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }=\mathrm {constant} }$

Кинематика

Гибка сэндвич-балки. Общий прогиб представляет собой сумму изгибающей части w _b и сдвиговой части w _s.

Сдвиговые деформации при изгибе многослойной балки.

Пусть на сэндвич-балку действуют изгибающий момент и поперечная сила . Пусть общий прогиб балки под действием этих нагрузок равен . На соседнем рисунке показано, что для небольших смещений общий прогиб средней поверхности балки может быть выражен как сумма двух прогибов: чистого изгиба и чистого сдвигового прогиба , т. е. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w_{b}}$ ${\displaystyle w_{s}}$

${\displaystyle w(x)=w_{b}(x)+w_{s}(x)}$

Из геометрии деформации мы видим, что инженерная деформация сдвига ( ) в сердцевине связана с эффективной деформацией сдвига в композите соотношением ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{2h}}~\gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }}$

Обратите внимание, что деформация сдвига в сердцевине больше, чем эффективная деформация сдвига в композите, и что при выводе приведенного выше соотношения предполагаются небольшие деформации ( ). Эффективная сдвиговая деформация в балке связана со сдвиговым смещением соотношением ${\displaystyle \tan \gamma =\gamma }$

${\displaystyle \gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }={\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

Предполагается, что лицевые панели деформируются в соответствии с предположениями теории балок Эйлера-Бернулли. Предполагается, что общий прогиб лицевых панелей представляет собой суперпозицию прогибов, вызванных изгибом и сдвигом сердечника. Смещения лицевых панелей в -направлении из-за изгиба определяются выражением ${\displaystyle x}$

${\displaystyle u_{b}^{\mathrm {face} }(x,z)=-z~{\cfrac {\mathrm {d} w_{b}}{\mathrm {d} x}}}$

Смещение верхней грани из-за сдвига в сердцевине равно

${\displaystyle u_{s}^{\mathrm {topface} }(x,z)=-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

и нижняя лицевая панель

${\displaystyle u_{s}^{\mathrm {botface} }(x,z)=-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

Нормальные деформации на двух лицевых пластинах определяются выражением

${\displaystyle \varepsilon _{xx}={\cfrac {\partial u_{b}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial u_{s}}{\partial x}}}$

Поэтому,

${\displaystyle \varepsilon _{xx}^{\mathrm {topface} }=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {botface} }=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Отношения напряжение-перемещение

Касательное напряжение в сердечнике определяется выражением

${\displaystyle \sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=C_{55}^{\mathrm {core} }~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }={\cfrac {C_{55}^{\mathrm {core} }}{2}}~\gamma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{4h}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~\gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }}$

или,

${\displaystyle \sigma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{4h}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

Нормальные напряжения в лицевых панелях определяются выражением

${\displaystyle \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=C_{11}^{\mathrm {face} }~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {topface} }&=-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=&-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\left({\tfrac {2h+f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\\\sigma _{xx}^{\mathrm {botface} }&=-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=&-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left({\tfrac {2h+f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\end{aligned}}}$

Результирующие силы и моменты

Результирующая нормальная сила в лицевой пластине определяется как

${\displaystyle N_{xx}^{\mathrm {face} }:=\int _{-f/2}^{f/2}\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }~\mathrm {d} z_{f}}$

и результирующие моменты определяются как

${\displaystyle M_{xx}^{\mathrm {face} }:=\int _{-f/2}^{f/2}z_{f}~\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }~\mathrm {d} z_{f}}$

где

${\displaystyle z_{f}^{\mathrm {topface} }:=z-h-{\tfrac {f}{2}}~;~~z_{f}^{\mathrm {botface} }:=z+h+{\tfrac {f}{2}}}$

Использование выражений для нормального напряжения на двух лицевых страницах дает

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{xx}^{\mathrm {topface} }&=-f\left(h+{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}=-N_{xx}^{\mathrm {botface} }\\M_{xx}^{\mathrm {topface} }&=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}\left({\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=M_{xx}^{\mathrm {botface} }\end{aligned}}}$

В ядре результирующий момент равен

${\displaystyle M_{xx}^{\mathrm {core} }:=\int _{-h}^{h}z~\sigma _{xx}^{\mathrm {core} }~\mathrm {d} z=0}$

Полный изгибающий момент в балке равен

${\displaystyle M=N_{xx}^{\mathrm {topface} }~(2h+f)+2~M_{xx}^{\mathrm {topface} }}$

или,

${\displaystyle M=-{\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {f^{3}}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Поперечная сила в ядре определяется как ${\displaystyle Q_{x}}$

${\displaystyle Q_{x}^{\mathrm {core} }=\kappa \int _{-h}^{h}\sigma _{xz}~dz={\tfrac {\kappa (2h+f)}{2}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

где – коэффициент поправки на сдвиг. Силу сдвига в лицевых панелях можно рассчитать по изгибающим моментам, используя соотношение ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle Q_{x}^{\mathrm {face} }={\cfrac {\mathrm {d} M_{xx}^{\mathrm {face} }}{\mathrm {d} x}}}$

или,

${\displaystyle Q_{x}^{\mathrm {face} }=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}}$

Для тонких лицевых листов усилие сдвига в них обычно не учитывается. ^[2]

Жесткость на изгиб и сдвиг

Изгибная жесткость многослойной балки определяется выражением

${\displaystyle D^{\mathrm {beam} }=-M/{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Из выражения для полного изгибающего момента в балке имеем

${\displaystyle M=-{\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {f^{3}}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Для малых сдвиговых деформаций приведенное выше выражение можно записать как

${\displaystyle M\approx -{\cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Следовательно, изгибная жесткость многослойной балки (при ) определяется выражением ${\displaystyle f\ll 2h}$

${\displaystyle D^{\mathrm {beam} }\approx {\cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }\approx {\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }}$

и лицевые листы

${\displaystyle D^{\mathrm {face} }={\cfrac {f^{3}}{12}}~C_{11}^{\mathrm {face} }}$

Сдвиговая жесткость балки определяется выражением

${\displaystyle S^{\mathrm {beam} }=Q_{x}/{\tfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

Следовательно, сдвиговая жесткость балки, равная сдвиговой жесткости сердечника, равна

${\displaystyle S^{\mathrm {beam} }=S^{\mathrm {core} }={\cfrac {\kappa (2h+f)}{2}}~C_{55}^{\mathrm {core} }}$

Связь между изгибом и сдвиговыми прогибами

Связь между изгибом и сдвигом можно получить, используя непрерывность тяг между сердечником и лицевыми листами. Если приравнять тяги напрямую, получим

${\displaystyle n_{x}~\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=n_{z}~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }}$

На обоих интерфейсах лицевой панели ядра , но в верхней части ядра и в нижней части ядра . Следовательно, непрерывность тяги при приводит к ${\displaystyle n_{x}=1}$ ${\displaystyle n_{z}=1}$ ${\displaystyle n_{z}=-1}$ ${\displaystyle z=\pm h}$

${\displaystyle 2fh~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2h+f)~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=4h^{2}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Приведенное выше соотношение используется редко из-за наличия вторых производных сдвигового прогиба. Вместо этого предполагается, что

${\displaystyle n_{z}~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }={\cfrac {\mathrm {d} N_{xx}^{\mathrm {face} }}{\mathrm {d} x}}}$

что подразумевает, что

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=-2fh~\left({\cfrac {C_{11}^{\mathrm {face} }}{C_{55}^{\mathrm {core} }}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{b}}{\mathrm {d} x^{3}}}}$

Основные уравнения

Используя приведенные выше определения, основные уравнения баланса для изгибающего момента и поперечной силы имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}M&=D^{\mathrm {beam} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(D^{\mathrm {beam} }+2D^{\mathrm {face} }\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\\Q&=S^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}-2D^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}\end{aligned}}}$

Альтернативно мы можем выразить вышеизложенное в виде двух уравнений, которые можно решить для и как ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w_{s}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\left({\cfrac {1}{S^{\mathrm {core} }}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} x}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}\\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{s}}{\mathrm {d} x^{3}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}-{\cfrac {1}{S^{\mathrm {core} }}}~{\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}=-\left(1+{\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}}$

Используя приближения

${\displaystyle Q\approx {\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}~;~~q\approx {\cfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} x}}}$

где - интенсивность приложенной нагрузки на балку, имеем ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}\\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{s}}{\mathrm {d} x^{3}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=-\left({\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}}$

Для решения этой системы двух связанных обыкновенных дифференциальных уравнений можно использовать несколько методов с учетом приложенной нагрузки, приложенного изгибающего момента и граничных условий смещения.

Альтернативная форма основных уравнений, зависящая от температуры

Предполагая, что каждое частичное поперечное сечение соответствует гипотезе Бернулли , баланс сил и моментов на деформированном элементе многослойной балки можно использовать для вывода уравнения изгиба многослойной балки.

Рисунок 1 – Уравновешивание прогнутой многослойной балки при температурной нагрузке и нагрузке по сравнению с непрогнутым сечением

Результирующие напряжения и соответствующие деформации балки и поперечного сечения можно увидеть на рисунке 1. С помощью теории линейной упругости можно вывести следующие соотношения : ^{[3] [4]}

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{\mathrm {core} }&=D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma _{2}}{\mathrm {d} x}}+\vartheta \right)=D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} x}}-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\vartheta \right)\\M^{\mathrm {face} }&=-D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\\Q^{\mathrm {core} }&=S^{\mathrm {core} }\gamma \\Q^{\mathrm {face} }&=-D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}\end{aligned}}\,}$

где

Суперпозиция уравнений для лицевых панелей и сердечника приводит к следующим уравнениям для общей поперечной силы и общего изгибающего момента : ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&S^{\mathrm {core} }\gamma -D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}=Q&\quad \quad &(1)\\&D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} x}}+\vartheta \right)-\left(D^{\mathrm {beam} }+D^{\mathrm {face} }\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=M&\quad \quad &(2)\,\end{alignedat}}}$

Альтернативно мы можем выразить вышеизложенное в виде двух уравнений, которые можно решить для и , т. е. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}-\vartheta \\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\gamma }{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{D^{\mathrm {face} }}}\right)\gamma =-\left({\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}}$

Подходы к решению

Сдвиговая и изгибная деформация многослойной композитной балки.

Поведение при изгибе и напряжения в непрерывной многослойной балке можно рассчитать путем решения двух основных дифференциальных уравнений.

Аналитический подход

Для простых геометрических форм, таких как двухпролетные балки при равномерно распределенных нагрузках, основные уравнения можно решить, используя соответствующие граничные условия и принцип суперпозиции. Такие результаты приведены в стандарте DIN EN 14509:2006 ^[5] (таблица Е10.1). Энергетические методы также могут использоваться для непосредственного расчета решений.

Численный подход

Дифференциальное уравнение многослойной неразрезной балки может быть решено с использованием численных методов, таких как конечные разности и конечные элементы . Для конечных разностей Бернер ^[6] рекомендует двухэтапный подход. После решения дифференциального уравнения для нормальных сил в опорных листах для однопролетной балки при заданной нагрузке энергетический метод может быть использован для расширения подхода к расчету многопролетных балок. При использовании этого метода также можно укладывать неразрезную сэндвич-балку с гибкими покрывающими листами. Однако поперечное сечение балки должно быть постоянным по всем пролетам.

Более специализированный подход, рекомендованный Шварце ^[4] , включает в себя точное решение однородной части основного уравнения и приближенное решение конкретной части. Напомним, что основное уравнение для многослойной балки имеет вид

${\displaystyle \left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}}$

Если мы определим

${\displaystyle \alpha :={\cfrac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}~;~~\beta :={\cfrac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}~;~~W(x):={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

мы получаем

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}W}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left({\cfrac {1+\alpha }{\beta }}\right)~W={\frac {M}{\beta D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{D^{\mathrm {face} }}}}$

Шварце использует общее решение для однородной части приведенного выше уравнения и полиномиальную аппроксимацию для частного решения для сечений многослойной балки. Интерфейсы между секциями связаны между собой соответствием граничных условий. Этот подход был использован в открытом исходном коде swe2.

Практическая значимость

Результаты, предсказанные линейной теорией сэндвича, хорошо коррелируют с экспериментально определенными результатами. Теория используется в качестве основы для структурного отчета , который необходим при строительстве крупных промышленных и коммерческих зданий, облицованных сэндвич-панелями . Его использование прямо требуется для получения разрешений и в соответствующих технических стандартах. ^[5]

Мохаммед Рахиф Хакми и другие провели исследования численного, экспериментального поведения материалов, а также поведения композитных материалов при пожаре и взрыве . Он опубликовал несколько научных статей:

• Местное коробление сэндвич-панелей . ^{[7] [8]}
• Лицевое напряжение продольного изгиба в сэндвич-панелях . ^[9]
• Поведение тонкостенных стальных балок с пенопластом после выпучивания. ^[10]
• «Огнестойкость композитных плит перекрытия на модельном стенде для огневых испытаний» ^[11]
• Огнестойкие сэндвич-панели для морских сооружений. Сэндвич-панели . ^[12]
• Численный температурный анализ гигроскопических панелей, подвергающихся воздействию огня. ^[13]
• Экономически эффективное использование армированных волокном композитов на море. ^[14]

Хакми разработал метод проектирования, который был рекомендован Рабочей комиссией CIB по сэндвич-панелям W056, Объединенным комитетом ECCS/CIB и использовался в европейских рекомендациях по проектированию сэндвич-панелей (CIB, 2000). ^{[15] [16] [17]}

Смотрите также

• Гибка
• Теория пучка
• Композитный материал
• Критерий урожайности на холме
• Композит сэндвич-структуры
• Система сэндвич-панелей
• Композитные соты
• Теория пучка Тимошенко
• Теория пластин
• Сэндвич панель

Рекомендации

1. Плантема, Ф. Дж., 1966, Сэндвич-конструкция: изгиб и коробление сэндвич-балок, пластин и оболочек , Джон Уайли и сыновья, Нью-Йорк.
2. Ценкерт, Д., 1995, Введение в сэндвич-конструкцию , Engineering Materials Advisory Services Ltd, Великобритания.
3. К. Штамм, Х. Витте: Sandwichkonstruktionen - Berechnung, Fertigung, Ausführung . Шпрингер-Верлаг, Вена – Нью-Йорк, 1974 г.
4. Кнут Шварце: «Numerische Methoden zur Berechnung von Sandwichelementen». В Штальбау . 12/1984, ISSN  0038-9145.
5. EN 14509 (D): Самонесущие изоляционные панели с двойной обшивкой и металлической обшивкой . Ноябрь 2006 г.
6. Клаус Бернер: Erarbeitung vollständiger Bemessungsgrundlagen im Rahmen bautechnischer Zulassungen für Sandwichbauteile .Fraunhofer IRB Verlag, Штутгарт, 2000 (Часть 1).
7. "Исследование Мохаммеда Рахифа Хакми" .
8. [1] Местное коробление сэндвич-панелей
9. Дэвис М.Дж. и Хакми М.Р. (1991) «Напряжение от продольного изгиба в сэндвич-панелях», Коллоквиум Nordic Conference Steel, стр. 99–110.
10. Дэвис, Дж. М., Хакми, М. Р. и Хассинен, П. (1991), «Поведение тонкостенных стальных балок, наполненных пеной, после выпучивания» Журнал исследований конструкционной стали 20: 75–83.
11. «Огнестойкость композитных плит перекрытия с использованием модельной установки для огневых испытаний», автор (ы)
    АБДЕЛЬ-ХАЛИМ МАХ (1); ХАКМИ Г-Н (2); О'ЛИРИ, округ Колумбия (2); Принадлежность(я) du ou des auteurs/Автор(ы) Принадлежность(я), (1) Факультет гражданского строительства, Иорданский университет науки и технологий, PO Box 3030., Ирбид, ИОРДАНИЯ(2) Факультет гражданского строительства, университет Салфорд, Солфорд, M5 4WT, ROYAUME-UNI.
12. Дэвис, Дж. М., доктор Хакми Р. и МакНиколас Дж. Б.: Огнестойкие сэндвич-панели для морских сооружений, Экономически эффективное использование оффшорных композитов, армированных волокном, Отчет об исследовании CP07, Программа Marinetech North West, Фаза 1, 1991.
13. Дэвис Дж. М., Хакми Р. и Ван Х. Б.: Численный температурный анализ гигроскопических панелей, подвергающихся воздействию огня, стр. 1624-1635, Численные методы в тепловых задачах, Vol. VIII Часть 2, Материалы восьмой международной конференции, состоявшейся в Суонси, 12-16 июля 1993 г. Pineridge Press, Великобритания.
14. [2] HSE, Экономически эффективное использование армированных волокном композитов на море CP07, Огнестойкие сэндвич-панели для морских сооружений. Профессор Дж. М. Дэвис, доктор Р. Хаким, доктор Дж. Б. МакНиколас, Солфордский университет, 45 страниц.
15. «Европейские рекомендации для сэндвич-панелей».
16. Дэвис, Дж. М. и Хакми, М. Р. 1990. Местное выпучивание профилированных сэндвич-плит. Учеб. Симпозиум IABSE, Смешанные структуры, включая новые материалы, Брюссель, сентябрь, стр. 533–538.
17. «Локальное коробление профилированных сэндвич-плит».

Библиография

• Мохаммед Рахиф Хакми
• Клаус Бернер, Оливер Раабе: Bemessung von Sandwichbauteilen . IFBS-Schrift 5.08, IFBS eV, Дюссельдорф, 2006 г.
• Ральф Мёллер, Ханс Пётер, Кнут Шварце: Planen und Bauen mit Trapezprofilen und Sandwichelementen . Группа 1, Ernst & Sohn, Берлин, 2004 г., ISBN 3-433-01595-3 . 

Внешние ссылки

• Мохаммед Рахиф Хакми Исследование сэндвич-панелей
• Институт сэндвич-технологий
• https://web.archive.org/web/20081120190919/http://www.diabgroup.com/europe/literature/e_pdf_files/man_pdf/sandwich_hb.pdf Справочник DIAB по сэндвичам
• http://www.swe1.com Программа zur Ermittlung der Schnittgrössen und Spannungen von Sandwich-Wandplatten mit biegeweichen Deckschichten (с открытым исходным кодом)
• http://www.swe2.com Расчет сэндвич-балок с гофрированными гранями (с открытым исходным кодом)