Таблица синусов Арьябхаты представляет собой набор из двадцати четырех чисел, приведенных в астрономическом трактате «Арьябхатия» , составленном индийским математиком и астрономом пятого века Арьябхатой (476–550 гг. н. э.) для вычисления полухорд определенного набора дуг круг. Набор чисел появляется в стихе 12 главы 1 « Дашагитика Арьябхатии». [1] Это не таблица в современном понимании математической таблицы; то есть это не набор чисел, упорядоченных по строкам и столбцам. [2] [3] [4] Таблица Арьябхаты также не является набором значений тригонометрической синусоидальной функции в общепринятом смысле; это таблица первых разностей значений тригонометрических синусов , выраженных в угловых минутах , и из-за этого таблицу также называют таблицей синус-разностей Арьябхаты . [5] [6]
Таблица Арьябхаты была первой таблицей синуса, когда-либо построенной в истории математики . [7] Ныне утерянные таблицы Гиппарха (ок. 190 г. до н. э. – ок. 120 г. до н. э.) и Менелая (ок. 70–140 гг. н. э.), а также таблицы Птолемея (ок. 90 г. н. э. – ок. 168 г.) представляли собой таблицы аккордов и не из полуаккордов. [7] Таблица Арьябхаты осталась стандартной таблицей синуса древней Индии. Постоянно предпринимались попытки повысить точность этой таблицы. Кульминацией этих усилий стало открытие Мадхавой из Сангамаграмы (ок. 1350 – ок. 1425), основателя керальской школы астрономии и математики , разложения функций синуса и косинуса в степенной ряд , а также составление таблицы синусов. Мадхавой со значениями с точностью до семи или восьми десятичных знаков.
Некоторые историки математики утверждают, что таблица синуса, приведенная в «Арьябхатия», была адаптацией более ранних таких таблиц, построенных математиками и астрономами Древней Греции. [8] Дэвид Пингри , один из выдающихся американских историков точных наук древности, был сторонником такой точки зрения. Принимая эту гипотезу, Г.Дж. Тумер [9] [10] [11] пишет: «Вряд ли существует какая-либо документация о самом раннем прибытии греческих астрономических моделей в Индию или, если уж на то пошло, о том, как эти модели выглядели бы. чтобы выяснить, в какой степени дошедшее до нас представляет собой переданное знание, а что является оригинальным у индийских ученых... Истина, вероятно, представляет собой запутанную смесь того и другого». [12]
Значения, закодированные в санскритском стихе Арьябхаты, можно расшифровать с помощью числовой схемы , объясненной в «Арьябхатия» , а декодированные числа перечислены в таблице ниже. В таблице во втором столбце перечислены угловые меры, соответствующие таблице синусов Арьябхаты. В третьем столбце содержится список чисел, содержащихся в приведенном выше санскритском стихе письмом деванагари . Для удобства пользователей, не умеющих читать деванагари, эти слова-цифры воспроизводятся в четвертом столбце в транслитерации ISO 15919 . В следующем столбце эти числа записаны индийско-арабскими цифрами . Числа Арьябхаты — это первые различия в значениях синусов. Соответствующее значение синуса (или, точнее, jya ) можно получить, суммируя разности до этой разности. Таким образом, значение jya , соответствующее 18°45′, представляет собой сумму 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105. Для оценки точности вычислений Арьябхаты современные значения jya приведены в последнем столбце таблицы.
В индийской математической традиции синус (или джья ) угла не является отношением чисел. Это длина определенного отрезка линии, определенной полухорды. Радиус базовой окружности является основным параметром для построения таких столов. Исторически сложилось так, что несколько таблиц были построены с использованием разных значений этого параметра. Арьябхата выбрал число 3438 в качестве значения радиуса базовой окружности для расчета своей таблицы синусоид. Обоснованием выбора этого параметра является идея измерения длины окружности в угловых мерах. В астрономических вычислениях расстояния измеряются в градусах , минутах , секундах и т. д. В этой мере длина окружности равна 360° = (60 × 360) минут = 21600 минут. Радиус круга, мера окружности которого равна 21600 минут, равен 21600/2π минут. Вычислив это с использованием значения π = 3,1416, известного Арьябхате, можно получить радиус круга примерно равный 3438 минутам. Таблица синусов Арьябхаты основана на этом значении радиуса базовой окружности. Пока не установлено, кто первым использовал это значение для базового радиуса. Но Арьябхатия — самый ранний из сохранившихся текстов, содержащих упоминание об этой основной константе. [13]
Второй раздел «Арьябхатьи», озаглавленный «Ганитападд», содержит строфу, указывающую метод вычисления таблицы синуса. Есть несколько неясностей в правильном толковании значения этого стиха. Например, ниже приводится перевод стиха, данный Кацем, в котором слова в квадратных скобках являются вставками переводчика, а не переводами текстов в стихе. [13]
Возможно, это связано с тем, что вторая производная синусоидальной функции равна отрицательному значению синусоидальной функции.