Математические таблицы — это списки чисел, показывающие результаты вычислений с различными аргументами. Тригонометрические таблицы использовались в Древней Греции и Индии для приложений к астрономии и небесной навигации и продолжали широко использоваться до тех пор, пока электронные калькуляторы не стали дешевыми и многочисленными в 1970-х годах, чтобы упростить и радикально ускорить вычисления . Таблицы логарифмов и тригонометрических функций были распространены в учебниках по математике и естественным наукам, и были опубликованы специализированные таблицы для многочисленных приложений.
Первые таблицы тригонометрических функций, о которых известно, были составлены Гиппархом (ок. 190 – ок. 120 до н. э.) и Менелаем (ок. 70–140 н. э.), но обе они были утеряны. Наряду с сохранившейся таблицей Птолемея (ок. 90 – ок. 168 н. э.), все они были таблицами хорд, а не полухорд, то есть синусоидальной функции. [1] Таблица , составленная индийским математиком Арьябхатой (476–550 н. э.), считается первой когда-либо составленной таблицей синусов. [1] Таблица Арьябхаты оставалась стандартной таблицей синусов древней Индии. Постоянно предпринимались попытки улучшить точность этой таблицы, кульминацией которых стало открытие Мадхавой из Сангамаграмы (ок. 1350 – ок. 1425) степенных разложений функций синуса и косинуса , а также составление Мадхавой таблицы синусов со значениями с точностью до семи или восьми знаков после запятой.
Таблицы десятичных логарифмов использовались до изобретения компьютеров и электронных калькуляторов для быстрого умножения, деления и возведения в степень, включая извлечение корней n- й степени.
Механические специализированные компьютеры, известные как разностные машины , были предложены в 19 веке для табулирования полиномиальных приближений логарифмических функций, то есть для вычисления больших логарифмических таблиц. Это было мотивировано главным образом ошибками в логарифмических таблицах, созданных людьми -компьютерами того времени. Ранние цифровые компьютеры были разработаны во время Второй мировой войны, отчасти для создания специализированных математических таблиц для прицеливания артиллерии . С 1972 года, с запуском и растущим использованием научных калькуляторов , большинство математических таблиц вышли из употребления.
Одной из последних крупных попыток создания таких таблиц был проект «Математические таблицы» , который был начат в Соединенных Штатах в 1938 году как проект Управления прогресса работ (WPA), наняв 450 безработных клерков для табулирования высших математических функций. Он продолжался до Второй мировой войны. [2]
Таблицы специальных функций все еще используются. Например, использование таблиц значений кумулятивной функции распределения нормального распределения — так называемых стандартных нормальных таблиц — остается обычным явлением и сегодня, особенно в школах, хотя использование научных и графических калькуляторов, а также электронных таблиц и специализированного статистического программного обеспечения на персональных компьютерах делает такие таблицы излишними.
Создание таблиц, хранящихся в оперативной памяти, является распространенным методом оптимизации кода в компьютерном программировании, где использование таких таблиц ускоряет вычисления в тех случаях, когда поиск в таблице выполняется быстрее, чем соответствующие вычисления (особенно если рассматриваемый компьютер не имеет аппаратной реализации вычислений). По сути, скорость вычислений приносится в жертву объему памяти компьютера, необходимому для хранения таблиц.
Тригонометрические вычисления сыграли важную роль в раннем изучении астрономии. Ранние таблицы были составлены путем многократного применения тригонометрических тождеств (таких как тождества половинного угла и суммы углов) для вычисления новых значений из старых.
Чтобы вычислить синусоидальную функцию 75 градусов, 9 минут, 50 секунд, используя таблицу тригонометрических функций, например, таблицу Бернеггера 1619 года, показанную выше, можно просто округлить до 75 градусов, 10 минут, а затем найти запись для 10 минут на странице 75 градусов, показанной справа вверху, которая равна 0,9666746.
Однако этот ответ точен только до четырех знаков после запятой. Если нужна большая точность, можно провести линейное интерполирование следующим образом:
Из таблицы Бернеггера:
Разница между этими значениями составляет 0,0000745.
Поскольку в угловой минуте 60 секунд, мы умножаем разницу на 50/60, чтобы получить поправку (50/60)*0,0000745 ≈ 0,0000621; а затем добавляем эту поправку к sin (75° 9′), чтобы получить:
Современный калькулятор дает sin(75° 9′ 50″) = 0,96666219991, поэтому наш интерполированный ответ имеет точность до 7 знаков по таблице Бернеггера.
Для таблиц с большей точностью (больше цифр на значение) может потребоваться интерполяция более высокого порядка для получения полной точности. [3] В эпоху до появления электронных компьютеров интерполяция табличных данных таким образом была единственным практичным способом получения высокоточных значений математических функций, необходимых для таких приложений, как навигация, астрономия и геодезия.
Чтобы понять важность точности в таких приложениях, как навигация, следует отметить, что на уровне моря одна угловая минута вдоль экватора Земли или меридиана (фактически, любого большого круга ) равна одной морской миле (приблизительно 1,852 км или 1,151 мили).
Таблицы, содержащие десятичные логарифмы (основание 10), широко использовались в вычислениях до появления электронных калькуляторов и компьютеров, поскольку логарифмы преобразуют задачи умножения и деления в гораздо более простые задачи сложения и вычитания. Десятичные логарифмы обладают дополнительным свойством, которое является уникальным и полезным: десятичный логарифм чисел больше единицы, которые отличаются только на коэффициент степени десяти, имеет одинаковую дробную часть, известную как мантисса . Таблицы десятичных логарифмов обычно включают только мантиссы ; целая часть логарифма, известная как характеристика , может быть легко определена путем подсчета цифр в исходном числе. Похожий принцип позволяет быстро вычислять логарифмы положительных чисел меньше 1. Таким образом, одну таблицу десятичных логарифмов можно использовать для всего диапазона положительных десятичных чисел. [4] Подробную информацию об использовании характеристик и мантисс см. в разделе десятичный логарифм .
В 1544 году Михаэль Штифель опубликовал труд Arithmetica integra , содержащий таблицу целых чисел и степеней двойки, которая считается ранней версией логарифмической таблицы. [5] [6] [7]
Метод логарифмов был публично представлен Джоном Нейпиром в 1614 году в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Описание замечательного правила логарифмов ). [8] Книга содержала пятьдесят семь страниц пояснительного материала и девяносто страниц таблиц, связанных с натуральными логарифмами . Английский математик Генри Бриггс посетил Нейпира в 1615 году и предложил перемасштабировать логарифмы Нейпира, чтобы сформировать то, что сейчас известно как обычные или десятичные логарифмы. Нейпир делегировал Бриггсу вычисление пересмотренной таблицы. В 1617 году они опубликовали Logarithmorum Chilias Prima («Первая тысяча логарифмов»), в которой давалось краткое описание логарифмов и таблица для первых 1000 целых чисел, вычисленных до 14-го десятичного знака. До изобретения Непера существовали и другие методы схожего масштаба, такие как использование таблиц прогрессий, широко разработанных Йостом Бюрги около 1600 года. [9] [10]
Вычислительный прогресс, доступный благодаря использованию десятичных логарифмов (обратных чисел, возведенных в степень или экспоненциальных чисел) , был таков, что он значительно ускорял вычисления вручную.
