Тавтологический пучок

В математике тавтологическое расслоение — это векторное расслоение, встречающееся над грассманианом естественным тавтологическим образом: для грассманиана -мерных подпространств , заданной точкой в ​​грассманиане, соответствующей -мерному векторному подпространству , волокном над является само подпространство . В случае проективного пространства тавтологическое расслоение известно как тавтологическое линейное расслоение. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W\subseteq V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

Тавтологическое расслоение также называется универсальным расслоением , поскольку любое векторное расслоение (над компактным пространством ^[1] ) является обратным протягиванием тавтологического расслоения; то есть грассманиан является классифицирующим пространством для векторных расслоений. Из-за этого тавтологическое расслоение важно в изучении характеристических классов .

Тавтологические расслоения строятся как в алгебраической топологии, так и в алгебраической геометрии. В алгебраической геометрии тавтологическое линейное расслоение (как обратимый пучок ) есть

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1),}$

двойственное к гиперплоскостному расслоению или скручивающему пучку Серра . Гиперплоскостное расслоение — это линейное расслоение , соответствующее гиперплоскости ( дивизору ) в . Тавтологическое линейное расслоение и гиперплоскостное расслоение — это в точности два генератора группы Пикара проективного пространства. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

В «K-теории» Майкла Атьи тавтологическое линейное расслоение над комплексным проективным пространством называется стандартным линейным расслоением . Сферическое расслоение стандартного расслоения обычно называется расслоением Хопфа . (ср. Генератор Ботта.)

В более общем случае существуют также тавтологические расслоения на проективном расслоении векторного расслоения, а также на расслоении Грассмана .

Старый термин «канонический пучок» вышел из употребления по той причине, что канонический и так сильно перегружен в математической терминологии, и (что еще хуже) вряд ли можно было бы избежать путаницы с каноническим классом в алгебраической геометрии .

Интуитивное определение

Грассманианы по определению являются пространствами параметров для линейных подпространств , заданной размерности, в заданном векторном пространстве . Если — грассманиан, а — подпространство , соответствующее в , это уже почти данные, необходимые для векторного расслоения: а именно векторное пространство для каждой точки , непрерывно изменяющееся. Все, что может остановить определение тавтологического расслоения из этого указания, — это трудность того, что собираются пересекаться. Исправление этого — обычное применение устройства непересекающегося объединения , так что проекция расслоения происходит из общего пространства, состоящего из идентичных копий , которые теперь не пересекаются. С этим у нас есть расслоение. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{g}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V_{g}}$ ${\displaystyle V_{g}}$

Включен случай проективного пространства. По соглашению может с пользой переносить тавтологическое расслоение в смысле дуального пространства . То есть, с дуальным пространством, точки несут векторные подпространства , которые являются их ядрами, когда рассматриваются как (лучи) линейных функционалов на . Если имеет размерность , то тавтологическое линейное расслоение является одним тавтологическим расслоением, а другое, только что описанное, имеет ранг . ${\displaystyle P(V)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle P(V)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$

Формальное определение

Пусть — грассманиан n -мерных векторных подпространств в , как множество, это множество всех n -мерных векторных подпространств Например, если n = 1, то это действительное проективное k -пространство. ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k};}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}.}$

Мы определяем тавтологическое расслоение γ _{n , k} над следующим образом. Полное пространство расслоения — это множество всех пар ( V , v ), состоящих из точки V грассманиана и вектора v в V ; ему задается топология подпространства декартова произведения Отображение проекции π задается как π( V , v ) = V . Если F — прообраз V при π, ему задается структура векторного пространства как a ( V , v ) + b ( V , w ) = ( V , av + bw ). Наконец, чтобы увидеть локальную тривиальность, зададим точку X в грассманиане, пусть U будет множеством всех V таких, что ортогональная проекция p на X отображает V изоморфно на X , ^[3] и затем определим ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$ ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times \mathbb {R} ^{n+k}.}$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times X\subseteq G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times X\\\phi (V,v)=(V,p(v))\end{cases}}}$

что, очевидно, является гомеоморфизмом. Следовательно, результатом является векторное расслоение ранга n .

Вышеприведенное определение сохраняет смысл, если заменить его на комплексное поле ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

По определению бесконечный грассманиан является прямым пределом , так как Взяв прямой предел расслоений γ _{n , k,} получаем тавтологическое расслоение γ _n для Это универсальное расслоение в том смысле, что для каждого компактного пространства X существует естественная биекция ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$ ${\displaystyle k\to \infty .}$ ${\displaystyle G_{n}.}$

${\displaystyle {\begin{cases}[X,G_{n}]\to \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)\\f\mapsto f^{*}(\gamma _{n})\end{cases}}}$

где слева скобка означает гомотопический класс, а справа — множество классов изоморфизма вещественных векторных расслоений ранга n . Обратное отображение задается следующим образом: поскольку X компактно, любое векторное расслоение E является подрасслоением тривиального расслоения: для некоторого k и, следовательно, E определяет отображение ${\displaystyle E\hookrightarrow X\times \mathbb {R} ^{n+k}}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{E}:X\to G_{n}\\x\mapsto E_{x}\end{cases}}}$

единственный с точностью до гомотопии.

Замечание : В свою очередь, можно определить тавтологическое расслоение как универсальное расслоение; предположим, что существует естественная биекция

${\displaystyle [X,G_{n}]=\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)}$

для любого паракомпактного пространства X. Поскольку является прямым пределом компактных пространств, оно паракомпактно и, таким образом, существует единственное векторное расслоение над , которое соответствует тождественному отображению на Это в точности тавтологическое расслоение и, путем ограничения, можно получить тавтологические расслоения над всеми ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}.}$ ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k}).}$

Гиперплоскостное расслоение

Гиперплоскостное расслоение H на вещественном проективном k -пространстве определяется следующим образом. Полное пространство H - это множество всех пар ( L , f ), состоящих из прямой L , проходящей через начало координат, и f , линейного функционала на L . Отображение проекции π задается как π( L , f ) = L (так что слой над L является двойственным векторным пространством L .) Остальное в точности как у тавтологического линейного расслоения. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k+1}}$

Другими словами, H является двойственным расслоением тавтологического линейного расслоения.

В алгебраической геометрии гиперплоскостное расслоение — это линейное расслоение (как обратимый пучок ), соответствующее гиперплоскостному дивизору

${\displaystyle H=\mathbb {P} ^{n-1}\subset \mathbb {P} ^{n}}$

задано, скажем, как x ₀ = 0, когда x _i — однородные координаты . Это можно увидеть следующим образом. Если D — дивизор (Вейля) на одном, то определяется соответствующее линейное расслоение O ( D ) на X как ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n},}$

${\displaystyle \Gamma (U,O(D))=\{f\in K|(f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}}$

где K — поле рациональных функций на X. Принимая D за H , имеем:

${\displaystyle {\begin{cases}O(H)\simeq O(1)\\f\mapsto fx_{0}\end{cases}}}$

где x ₀ , как обычно, рассматривается как глобальное сечение скручивающего пучка O (1). (На самом деле, указанный выше изоморфизм является частью обычного соответствия между дивизорами Вейля и дивизорами Картье.) Наконец, двойственное к скручивающему пучку соответствует тавтологическому линейному расслоению (см. ниже).

Тавтологическое линейное расслоение в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии это понятие существует над любым полем k . Конкретное определение таково. Пусть и . Заметим, что мы имеем: ${\displaystyle A=k[y_{0},\dots ,y_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\operatorname {Proj} A}$

${\displaystyle \mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]\right)=\mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}=\mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}{\mathbb {P} ^{n}}}$

где Spec — относительная Spec . Теперь поместите:

${\displaystyle L=\mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\dots ,x_{n}]/I\right)}$

где I — идеальный пучок, порожденный глобальными сечениями . Тогда L — замкнутая подсхема над той же базовой схемой ; более того, замкнутые точки L — это в точности те ( x , y ) из , что либо x равен нулю, либо образ x в равен y . Таким образом, L — тавтологическое линейное расслоение, как определено ранее, если k — поле действительных или комплексных чисел. ${\displaystyle x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}\mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

В более краткой форме L — это раздутие начала координат аффинного пространства , где геометрическое место x = 0 в L — исключительный дивизор . (ср. Hartshorne, Ch. I, конец § 4.) ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}}$

В общем случае — это алгебраическое векторное расслоение, соответствующее локально свободному пучку E конечного ранга. ^[4] Поскольку мы имеем точную последовательность: ${\displaystyle \mathbf {Spec} (\operatorname {Sym} {\check {E}})}$

${\displaystyle 0\to I\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]{\overset {x_{i}\mapsto y_{i}}{\longrightarrow }}\operatorname {Sym} {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)\to 0,}$

тавтологическое линейное расслоение L , как определено выше, соответствует двойственному к скручивающему пучку Серра . На практике оба понятия (тавтологическое линейное расслоение и двойственное к скручивающему пучку) используются взаимозаменяемо. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)}$

Над полем его двойственное линейное расслоение является линейным расслоением, связанным с дивизором гиперплоскости H , чьи глобальные сечения являются линейными формами . Его класс Черна равен − H . Это пример антиобильного линейного расслоения . Над этим эквивалентно утверждению, что это отрицательное линейное расслоение, что означает, что минус его класс Черна является классом де Рама стандартной формы Кэлера. ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Факты

• Тавтологическое линейное расслоение γ _{1, k} локально тривиально , но не тривиально , для k ≥ 1. Это остается верным и для других полей. ^{[ необходима цитата ]}

На самом деле, легко показать, что при k = 1 реальное тавтологическое линейное расслоение есть не что иное, как хорошо известное расслоение, полное пространство которого — лента Мёбиуса . Полное доказательство вышеприведенного факта см. в ^[5].

• Группа Пикара линейных расслоений на является бесконечной циклической , а тавтологическое линейное расслоение является генератором. ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$

• В случае проективного пространства, где тавтологическое расслоение является линейным расслоением , ассоциированный обратимый пучок сечений является тензорным обратным ( т.е. дуальным векторным расслоением) гиперплоскостного расслоения или скрученного пучка Серра ; ​​другими словами, гиперплоскостное расслоение является генератором группы Пикара, имеющим положительную степень (как дивизор ), а тавтологическое расслоение является его противоположностью: генератором отрицательной степени. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Смотрите также

• пучок Хопфа
• класс Штифель-Уитни
• последовательность Эйлера
• Класс Черна (классы Черна тавтологических расслоений — это алгебраически независимые генераторы кольца когомологий бесконечного грассманиана.)
• Теорема Бореля
• Пространство Тома (пространство Тома тавтологических расслоений γ _n при n →∞ называется спектром Тома .)
• Грассманов пучок

Ссылки

1. Над некомпактной, но паракомпактной базой это остается верным при условии использования бесконечного грассманиана.
2. В литературе и учебниках их часто называют каноническими генераторами.
3. U открыто, поскольку задана топология такая, что ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$

   ${\displaystyle {\begin{cases}G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\to \operatorname {End} (\mathbb {R} ^{n+k})\\V\mapsto p_{V}\end{cases}}}$

   где — ортогональная проекция на V , — гомеоморфизм на образ. ${\displaystyle p_{V}}$
4. Примечание редакции: это определение отличается от определения Хартсхорна тем, что он не принимает двойственность, но соответствует стандартной практике и другим частям Википедии.
5. Милнор и Сташефф 1974, § 2. Теорема 2.1.

Источники

• Атья, Майкл Фрэнсис (1989), K-теория , Advanced Book Classics (2-е изд.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-09394-0, МР  1043170
• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии (PDF) , Библиотека классических произведений Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, г-н  1288523.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157, OCLC  13348052.
• Милнор, Джон В.; Сташефф , Джеймс Д. (1974), Характеристические классы , Annals of Mathematics Studies, т. 76, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, MR  0440554
• Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия: краткий словарь , Берлин/Бостон: Вальтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3