Биномиальная модель ценообразования опционов

Численный метод оценки финансовых опционов

В финансах биномиальная модель ценообразования опционов ( BOPM ) обеспечивает обобщаемый численный метод оценки опционов . По сути, модель использует «дискретно-временную» ( решетчатую ) модель изменения цены с течением времени базового финансового инструмента, рассматривая случаи, когда закрытая формула Блэка-Шоулза недостаточна.

Биномиальная модель была впервые предложена Уильямом Шарпом в издании « Инвестиций» 1978 года ( ISBN  013504605X ) ^[1] и формализована Коксом , Россом и Рубинштейном в 1979 году ^[2] и Рендлеманом и Барттером в том же году ^{[3] .}

О биномиальных деревьях, применяемых к производным инструментам с фиксированным доходом и процентной ставкой, см. Решетчатая модель (финансы) § Производные процентной ставки .

Использование модели

Подход биномиальной модели ценообразования опционов широко используется, поскольку он способен обрабатывать различные условия, для которых другие модели не могут быть легко применены. Это во многом связано с тем, что BOPM основан на описании базового инструмента в течение определенного периода времени, а не одной точки. Как следствие, он используется для оценки американских опционов , которые могут быть исполнены в любое время в заданном интервале, а также бермудских опционов , которые могут быть исполнены в определенные моменты времени. Будучи относительно простой, модель легко реализуется в компьютерном программном обеспечении (включая электронную таблицу ).

Хотя она вычислительно медленнее формулы Блэка-Шоулза , она точнее, особенно для долгосрочных опционов на ценные бумаги с выплатой дивидендов . По этим причинам различные версии биномиальной модели широко используются практиками на рынках опционов. ^{[ необходима цитата ]}

Для опционов с несколькими источниками неопределенности (например, реальные опционы ) и для опционов со сложными характеристиками (например, азиатские опционы ) биномиальные методы менее практичны из-за ряда трудностей, и вместо них обычно используются модели опционов Монте-Карло . При моделировании небольшого количества временных шагов моделирование Монте-Карло будет более затратным по вычислительному времени, чем BOPM (ср. Методы Монте-Карло в финансах ). Однако наихудшее время выполнения BOPM будет O(2 ⁿ ) , где n — количество временных шагов в моделировании. Моделирование Монте-Карло, как правило, будет иметь полиномиальную временную сложность и будет быстрее для большого количества шагов моделирования. Моделирование Монте-Карло также менее подвержено ошибкам выборки, поскольку биномиальные методы используют дискретные единицы времени. Это становится тем более верным, чем меньше становятся дискретные единицы.

Метод

Биномиальная решетка с формулами CRR

Биномиальная модель ценообразования отслеживает эволюцию основных переменных опциона в дискретном времени. Это делается с помощью биномиальной решетки (дерева) для ряда временных шагов между датами оценки и истечения срока. Каждый узел в решетке представляет собой возможную цену базового актива в заданный момент времени.

Оценка выполняется итеративно, начиная с каждого из конечных узлов (тех, которые могут быть достигнуты в момент истечения срока действия), а затем двигаясь назад по дереву к первому узлу (дата оценки). Значение, вычисленное на каждом этапе, является значением опциона в этот момент времени.

Оценка опциона с использованием этого метода, как описано, представляет собой трехэтапный процесс:

1. Генерация ценового дерева,
2. Расчет стоимости опциона в каждом конечном узле,
3. Последовательный расчет стоимости опциона в каждом предыдущем узле.

Шаг 1: Создайте биномиальное ценовое дерево.

Дерево цен создается путем продвижения вперед от даты оценки до даты истечения срока действия.

На каждом шаге предполагается, что базовый инструмент будет двигаться вверх или вниз на определенный коэффициент ( или ) за шаг дерева (где, по определению, и ). Таким образом, если — текущая цена, то в следующем периоде цена будет либо , либо . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle u\geq 1}$ ${\displaystyle 0<d\leq 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{up}=S\cdot u}$ ${\displaystyle S_{down}=S\cdot d}$

Факторы вверх и вниз рассчитываются с использованием базовой волатильности , , и продолжительности шага, , измеряемой в годах (используя правило подсчета дней базового инструмента). Из условия, что дисперсия логарифма цены равна , мы имеем: ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}t}$

${\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {\Delta }}t}}$

${\displaystyle d=e^{-\sigma {\sqrt {\Delta }}t}={\frac {1}{u}}.}$

Выше представлен оригинальный метод Кокса, Росса и Рубинштейна (CRR); существуют и другие методы создания решетки, например, дерево «равных вероятностей», см. ^{[4] [5].}

Метод CRR гарантирует, что дерево является рекомбинантным, т. е. если базовый актив движется вверх, а затем вниз (u,d), цена будет такой же, как если бы он двигался вниз, а затем вверх (d,u) — здесь два пути сливаются или рекомбинируются. Это свойство уменьшает количество узлов дерева и, таким образом, ускоряет вычисление цены опциона.

Это свойство также позволяет напрямую рассчитывать стоимость базового актива в каждом узле с помощью формулы и не требует предварительного построения дерева. Стоимость узла будет:

${\displaystyle S_{n}=S_{0}\times u^{N_{u}-N_{d}},}$

Где — количество тиков вверх, а — количество тиков вниз. ${\displaystyle N_{u}}$ ${\displaystyle N_{d}}$

Шаг 2: Найти значение параметра в каждом конечном узле

В каждом конечном узле дерева, т. е. при истечении срока действия опциона, стоимость опциона равна его внутренней стоимости или стоимости исполнения:

Макс [ ( S _n − K ), 0 ] для опциона колл

Макс [ ( K − S _n ), 0 ] для опциона пут ,

Где K — цена исполнения , а — спотовая цена базового актива в n ^-м периоде. ${\displaystyle S_{n}}$

Шаг 3: Найти значение параметра в более ранних узлах

После завершения вышеуказанного шага для каждого узла определяется стоимость опциона, начиная с предпоследнего временного шага и возвращаясь к первому узлу дерева (дата оценки), где вычисленный результат представляет собой стоимость опциона.

Вкратце: «биномиальное значение» находится в каждом узле с использованием предположения о нейтральности риска ; см. Оценка нейтральности риска . Если в узле разрешено исполнение, то модель берет большее из биномиального и значения исполнения в узле.

Шаги следующие:

1. Согласно предположению о нейтральности риска, сегодняшняя справедливая цена дериватива равна ожидаемой стоимости его будущей выплаты, дисконтированной по безрисковой ставке . Таким образом, ожидаемая стоимость рассчитывается с использованием стоимости опциона из двух последних узлов ( Option up и Option down ), взвешенных по их соответствующим вероятностям — «вероятности» p движения вверх в базовом активе и «вероятности» (1−p) движения вниз. Затем ожидаемая стоимость дисконтируется по r , безрисковой ставке, соответствующей сроку действия опциона.

   Следующая формула для вычисления ожидаемого значения применяется в каждом узле:

   ${\displaystyle {\text{ Binomial Value }}=[p\times {\text{ Option up }}+(1-p)\times {\text{ Option down] }}\times \exp(-r\times \Delta t)}$, или

   ${\displaystyle C_{t-\Delta t,i}=e^{-r\Delta t}(pC_{t,i}+(1-p)C_{t,i+1})\,}$

   где

   ${\displaystyle C_{t,i}\,}$— это значение опции для узла в момент времени t , ${\displaystyle i^{th}\,}$

   ${\displaystyle p={\frac {e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d}}}$выбирается таким образом, чтобы соответствующее биномиальное распределение имитировало геометрическое броуновское движение базового актива с параметрами r и σ ,

   q — дивидендная доходность базового актива, соответствующая сроку действия опциона. Из этого следует, что в мире, нейтральном к риску, фьючерсная цена должна иметь ожидаемый темп роста, равный нулю, и поэтому мы можем рассмотреть фьючерсы. ${\displaystyle q=r}$

   Обратите внимание, что для того, чтобы p находилось в интервале, должно выполняться следующее условие . ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t<{\frac {\sigma ^{2}}{(r-q)^{2}}}}$

   (Обратите внимание, что альтернативный подход к оценке, безарбитражное ценообразование, дает идентичные результаты; см. « дельта-хеджирование ».)

2. Этот результат — «Биномиальное значение». Оно представляет собой справедливую цену производного инструмента в определенный момент времени (т. е. в каждом узле), учитывая эволюцию цены базового актива к этому моменту. Это стоимость опциона, если бы он был удержан — в отличие от исполнения в этот момент.
3. В зависимости от стиля опциона оцените возможность досрочного исполнения в каждом узле: если (1) опцион может быть исполнен и (2) стоимость исполнения превышает биномиальное значение, то (3) стоимость в узле является стоимостью исполнения.
   • Для европейского опциона возможность досрочного исполнения отсутствует, и биномиальное значение применяется во всех узлах.
   • Для американского опциона , поскольку опцион может быть либо удержан, либо исполнен до истечения срока его действия, значение в каждом узле равно: Макс. (Биномиальное значение, Стоимость исполнения).
   • Для бермудского опциона значение в узлах, где разрешено досрочное исполнение, составляет: Макс. (биномиальное значение, значение исполнения); в узлах, где досрочное исполнение не разрешено, применяется только биномиальное значение.

При расчете значения на следующем временном шаге, т. е. на один шаг ближе к оценке, модель должна использовать выбранное здесь значение для "Опциона вверх"/"Опциона вниз" в зависимости от ситуации в формуле в узле. Алгоритм aside демонстрирует подход к расчету цены американского опциона пут, хотя его легко обобщить для коллов и для европейских и бермудских опционов:

Отношения с Блэком-Шоулзом

Аналогичные предположения лежат в основе как биномиальной модели, так и модели Блэка-Шоулза , и биномиальная модель, таким образом, обеспечивает дискретное временное приближение к непрерывному процессу, лежащему в основе модели Блэка-Шоулза. Биномиальная модель предполагает, что движения цены следуют биномиальному распределению ; для многих испытаний это биномиальное распределение приближается к логнормальному распределению, предполагаемому Блэком-Шоулзом. В этом случае для европейских опционов без дивидендов значение биномиальной модели сходится к значению формулы Блэка-Шоулза по мере увеличения числа временных шагов. ^{[4] [5]}

Кроме того, при анализе в качестве числовой процедуры биномиальный метод CRR можно рассматривать как частный случай явного метода конечных разностей для уравнения Блэка-Шоулза в частных производных ; см. методы конечных разностей для ценообразования опционов . ^[6]

Смотрите также

• Триномиальное дерево — похожая модель с тремя возможными путями на узел.
• Дерево (структура данных)
• Решетчатая модель (финансы) для более общего обсуждения и применения к другим базовым показателям
• Блэка–Шоулза : биномиальные решетки способны обрабатывать множество условий, для которых метод Блэка–Шоулза неприменим.
• Модель опционов Монте-Карло , используемая при оценке опционов со сложными характеристиками, которые затрудняют их оценку другими методами.
• Анализ реальных опционов , где широко используется BOPM.
• Квантовые финансы , квантовая биномиальная модель ценообразования.
• Математические финансы , где есть список статей по теме.
• Опционы на акции для сотрудников § Оценка , где широко используется BOPM.
• Подразумеваемое биномиальное дерево
• Биномиальное дерево Эджворта

Ссылки

1. Уильям Ф. Шарп, Биографический, nobelprize.org
2. Кокс, Дж. К .; Росс, С. А.; Рубинштейн , М. (1979). «Оценивание опционов: упрощенный подход». Журнал финансовой экономики . 7 (3): 229. CiteSeerX 10.1.1.379.7582 . doi :10.1016/0304-405X(79)90015-1. 
3. Ричард Дж. Рендлман-младший и Брит Дж. Барттер. 1979. "Ценообразование опционов с двумя состояниями". Журнал финансов 24: 1093-1110. doi :10.2307/2327237
4. Марк С. Джоши (2008). Сходимость биномиальных деревьев для оценки американского пут-опциона
5. Chance, Don M. Март 2008 г. Синтез биномиальных моделей ценообразования опционов для логнормально распределенных активов Архивировано 04.03.2016 в Wayback Machine . Журнал прикладных финансов, том 18
6. Рубинштейн, М. (2000). «О связи между биномиальными и триномиальными моделями ценообразования опционов». Journal of Derivatives . 8 (2): 47–50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394 . doi :10.3905/jod.2000.319149. S2CID  11743572. Архивировано из оригинала 22 июня 2007 г. 

Внешние ссылки

• Биномиальная модель ценообразования опционов, проф. Тейер Уоткинс
• Биномиальное ценообразование опционов ( PDF ), проф. Роберт М. Конрой
• Биномиальная модель ценообразования опционов Фионы Маклахлан, The Wolfram Demonstrations Project
• О нерелевантности ожидаемой доходности акций при оценке опционов в биномиальной модели: педагогическая заметка Валерия Закамулина
• Простой вывод вероятности нейтрального риска в биномиальной модели ценообразования опционов Грега Ороси