Теорема Винера–Икехары

Теорема Тауберова, введенная Шикао Икехарой ​​(1931).

Теорема Винера –Икехары — это тауберова теорема , первоначально опубликованная Шикао Икехарой , учеником Норберта Винера , в 1931 году. Это частный случай тауберовых теорем Винера , опубликованных Винером годом позже. Она может быть использована для доказательства теоремы о простых числах (Чандрасекхаран, 1969), при условии, что дзета-функция Римана не имеет нулей на прямой действительной части первой.

Заявление

Пусть A ( x ) — неотрицательная, монотонная неубывающая функция x , определенная для 0 ≤  x  < ∞. Предположим, что

${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }A(x)e^{-xs}\,dx}$

сходится при ℜ( s ) > 1 к функции ƒ ( s ) и что для некоторого неотрицательного числа c ,

${\displaystyle f(s)-{\frac {c}{s-1}}}$

имеет продолжение как непрерывная функция для ℜ( s ) ≥ 1. Тогда предел при x, стремящемся к бесконечности, для e ^{− x}  A ( x ) равен c.

Одно конкретное применение

Важное теоретико-числовое приложение теоремы — к рядам Дирихле вида

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a(n)n^{-s}}$

где a ( n ) неотрицательно. Если ряд сходится к аналитической функции в

${\displaystyle \Re (s)\geq b}$

с простым полюсом вычета c при s  =  b , тогда

${\displaystyle \sum _{n\leq X}a(n)\sim {\frac {c}{b}}X^{b}.}$

Применяя это к логарифмической производной дзета -функции Римана , где коэффициенты в ряду Дирихле являются значениями функции фон Мангольдта , можно вывести теорему о простых числах из того факта, что дзета-функция не имеет нулей на прямой.

${\displaystyle \Re (s)=1.}$

Ссылки

• S. Ikehara (1931), «Расширение теоремы Ландау в аналитической теории чисел», Журнал математики и физики Массачусетского технологического института , 10 : 1–12, Zbl  0001.12902
• Винер, Норберт (1932), «Тауберовы теоремы», Annals of Mathematics , вторая серия, 33 (1): 1–100, doi :10.2307/1968102, ISSN  0003-486X, JFM  58.0226.02, JSTOR  1968102
• К. Чандрасекхаран (1969). Введение в аналитическую теорию чисел . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-04141-9.
• Хью Л. Монтгомери ; Роберт К. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том 97. Кембридж: Cambridge Univ. Press. С. 259–266. ISBN 0-521-84903-9.