В математике абелевы и тауберовы теоремы — это теоремы , дающие условия, при которых два метода суммирования расходящихся рядов дают один и тот же результат, названные в честь Нильса Хенрика Абеля и Альфреда Таубера . Оригинальными примерами являются теорема Абеля, показывающая, что если ряд сходится к некоторому пределу, то его сумма Абеля является тем же пределом, и теорема Таубера, показывающая, что если сумма Абеля ряда существует и коэффициенты достаточно малы (o(1/ n ) ) то ряд сходится к сумме Абеля. Более общие абелевы и тауберовы теоремы дают аналогичные результаты для более общих методов суммирования.
Пока нет четкого различия между абелевой и тауберовой теоремами, а также общепринятого определения того, что означают эти термины. Часто теорему называют «абелевой», если она показывает, что какой-либо метод суммирования дает обычную сумму для сходящихся рядов, и называют «тауберовой», если она дает условия для суммирования ряда каким-либо методом, позволяющим суммировать его в обычном порядке. смысл.
В теории интегральных преобразований абелевы теоремы дают асимптотическое поведение преобразования, основанное на свойствах исходной функции. И наоборот, тауберовы теоремы дают асимптотическое поведение исходной функции на основе свойств преобразования, но обычно требуют некоторых ограничений на исходную функцию. [1]
Для любого метода суммирования L его абелева теорема является результатом того, что если c = ( cn ) является сходящейся последовательностью с пределом C , то L ( c ) = C. [ нужны разъяснения ]
Примером может служить метод Чезаро , в котором L определяется как предел средних арифметических первых N членов c , поскольку N стремится к бесконечности. Можно доказать , что если c сходится к C , то сходится и последовательность ( d N ), где
Чтобы убедиться в этом, вычтите C везде, чтобы свести к случаю C = 0. Затем разделите последовательность на начальный сегмент и хвост из маленьких термов: при любом ε > 0 мы можем взять N достаточно большим, чтобы сделать начальный сегмент термов до c N усредняется не более чем до ε /2, в то время как каждый член в хвосте ограничен ε/2, так что среднее значение также обязательно ограничено.
Название происходит от теоремы Абеля о степенных рядах . В этом случае L — радиальный предел (представляемый внутри комплексного единичного круга ), где мы позволяем r стремиться к пределу 1 снизу вдоль действительной оси в степенном ряду с членом
и положим z знак равно р · е iθ . Эта теорема представляет основной интерес в случае, когда степенной ряд имеет радиус сходимости ровно 1: если радиус сходимости больше единицы, сходимость степенного ряда равномерна для r в [0,1], так что сумма автоматически непрерывен , и отсюда непосредственно следует, что предел при стремлении r к 1 представляет собой просто сумму an . Когда радиус равен 1, степенной ряд будет иметь некоторую особенность на | г | = 1; утверждение состоит в том , что, тем не менее, если сумма an существует , она равна пределу по r . Таким образом, это точно вписывается в абстрактную картину.
Частичные обращения к абелевым теоремам называются тауберовыми теоремами . Оригинальный результат Альфреда Таубера (1897) [2] гласил, что если мы также предположим
(см. обозначение Литтла o ) и существует радиальный предел, то ряд, полученный установкой z = 1, действительно сходится. Это было усилено Джоном Эденсором Литтлвудом : нам нужно только предположить, что O(1/ n ). Широким обобщением является тауберова теорема Харди–Литтлвуда .
Таким образом, в абстрактной постановке абелева теорема утверждает, что область определения L содержит сходящиеся последовательности, и ее значения там равны значениям функционала Лима . Тауберова теорема утверждает, что при некоторых условиях роста областью определения L являются именно сходящиеся последовательности и не более того.
Если думать о L как о некотором обобщенном типе взвешенного среднего , доведенном до предела, тауберова теорема позволяет отказаться от взвешивания при правильных гипотезах. Существует множество приложений такого рода результатов в теории чисел , в частности, при работе с рядами Дирихле .
Развитие области тауберовых теорем получило новый виток благодаря весьма общим результатам Норберта Винера , а именно тауберовой теореме Винера и большому набору ее следствий . [3] Центральная теорема теперь может быть доказана методами банаховой алгебры и содержит большую часть, хотя и не все, из предыдущей теории.
