В геометрии первая звёздчатая форма ромбического додекаэдра — это самопересекающийся многогранник с 12 гранями, каждая из которых является невыпуклым шестиугольником. Это звёздчатая форма ромбического додекаэдра , имеющая ту же внешнюю оболочку и тот же визуальный вид, что и две другие формы: тело, тело Эшера , с 48 треугольными гранями, и многогранное соединение трёх уплощённых октаэдров с 24 перекрывающимися треугольными гранями.
Тело Эшера может разбить пространство на части, образуя звездчатые ромбододекаэдрические соты .
Первая звездчатая форма ромбического додекаэдра имеет 12 граней, каждая из которых является невыпуклым шестиугольником. [1] Это звездчатая форма ромбического додекаэдра , что означает, что каждая из его граней лежит в той же плоскости, что и одна из ромбических граней ромбического додекаэдра, причем каждая грань содержит ромб в той же плоскости, и что она имеет те же симметрии, что и ромбический додекаэдр. Это первая звездчатая форма, что означает, что никакой другой самопересекающийся многогранник с теми же плоскостями граней и теми же симметриями не имеет меньших граней. Расширение граней наружу еще дальше в тех же плоскостях приводит к двум еще звездчатым формам, если требуется, чтобы грани были простыми многоугольниками . [2]
Для многогранников, образованных только с использованием граней в тех же 12 плоскостях и с теми же симметриями, но с гранями, которым разрешено становиться не простыми или с несколькими гранями в одной плоскости, возникают дополнительные возможности. [2] В частности, удаление внутреннего ромба из каждой шестиугольной грани звездчатой формы оставляет четыре треугольника, и полученная система из 48 треугольников образует другой невыпуклый многогранник без самопересечений, который образует границу объемной формы, иногда называемой телом Эшера. Эта форма появляется в работах М. К. Эшера «Водопад » и в исследовании для «Звезд» (хотя сами «Звезды» имеют другую форму, соединение трех октаэдров ). [3] Поскольку звездчатая форма и объемное тело имеют одинаковый визуальный вид, невозможно определить, какой из двух Эшер намеревался изобразить в «Водопаде» . В работе «Изучение звезд » Эшер изображает многогранник в скелетной форме и включает ребра, которые являются частью скелетной формы тела Эшера, но не являются частью звездчатой формы. (В звездчатой форме эти отрезки линий образованы пересечениями граней, а не ребрами.) Однако альтернативная интерпретация той же скелетной формы заключается в том, что она изображает третью форму с похожим внешним видом — многогранное соединение трех сплющенных октаэдров с 24 перекрывающимися треугольными гранями. [4]
48 треугольных граней тела являются равнобедренными; если самая длинная сторона этих треугольников равна длине, то две другие равны , площадь поверхности тела равна , а объем тела равен .
Вершины первой звёздчатой формы ромбододекаэдра включают 12 вершин кубооктаэдра вместе с восемью дополнительными вершинами (вершины степени 3 ромбододекаэдра). Тело Эшера имеет шесть дополнительных вершин в центральных точках квадратных граней кубооктаэдра (вершины степени 4 ромбододекаэдра). В первой звёздчатой форме ромбододекаэдра эти шесть точек не являются вершинами, а вместо этого являются серединами пар рёбер, которые пересекаются под прямым углом в этих точках.
Первая звёздчатая форма ромбического додекаэдра имеет 12 шестиугольных граней, 36 рёбер и 20 вершин, что даёт эйлерову характеристику 20 − 36 + 12 = −4. [1] Тело Эшера вместо этого имеет 48 треугольных граней, 72 ребра и 26 вершин, что даёт эйлерову характеристику 26 − 72 + 48 = 2.
Тело Эшера может замостить пространство в звёздчатых ромбических додекаэдрических сотах . [5] Шесть тел встречаются в каждой вершине. Эти соты транзитивны по ячейкам , транзитивны по рёбрам и транзитивны по вершинам .
Куб Ёсимото — головоломка на разбиение куба и двух копий тела Эшера — тесно связана с этой мозаикой.
