Гипердетерминантный

Понятие в алгебре

В алгебре гипердетерминант является обобщением определителя . В то время как определитель является скалярной функцией, определенной на квадратной матрице n × n , гипердетерминант определяется на многомерном массиве чисел или тензоре . Как и определитель, гипердетерминант является однородным многочленом с целыми коэффициентами в компонентах тензора. Многие другие свойства определителей в некотором роде обобщаются на гипердетерминанты, но в отличие от определителя, гипердетерминант не имеет простой геометрической интерпретации в терминах объемов .

Существует по крайней мере три определения гипердетерминанта. Первое было открыто Артуром Кэли в 1843 году и представлено Кембриджскому философскому обществу . ^[1] Оно состоит из двух частей, и первый гипердетерминант Кэли рассматривается во второй части. ^[1] Обычно его обозначают как det _0. Второй гипердетерминант Кэли возник в 1845 году ^[2] и часто обозначается как «Det». Это определение является дискриминантом для особой точки на скалярном мультилинейном отображении . ^[2]

Первый гипердетерминант Кэли определен только для гиперкубов с четным числом измерений (хотя существуют вариации в нечетных измерениях). Второй гипердетерминант Кэли определен для ограниченного диапазона форматов гиперматриц (включая гиперкубы любых измерений). Третий гипердетерминант, недавно определенный Глинном, встречается только для полей простой характеристики p . Он обозначается det _p и действует на все гиперкубы над таким полем. [ ^3]

Только первый и третий гипердетерминанты являются "мультипликативными", за исключением второго гипердетерминанта в случае "граничных" форматов. Первый и третий гипердетерминанты также имеют замкнутые формулы как полиномы, и поэтому их степени известны, тогда как второй, по-видимому, не имеет замкнутой формулы или степени во всех известных случаях.

Обозначение для определителей может быть расширено до гипердетерминантов без изменений или двусмысленности. Таким образом, гипердетерминант гиперматрицы A может быть записан с использованием вертикальной черты как | A | или как det ( A ).

Стандартный современный учебник по второму гипердетерминанту Кэли Det (а также многим другим результатам) — «Дискриминанты, результанты и многомерные детерминанты» Гельфанда , Капранова и Зелевинского . ^[4] Их обозначения и терминология будут рассмотрены в следующем разделе.

Второй гипердетерминант Кэли Дет

В частном случае гиперматрицы 2 × 2 × 2 гипердетерминант известен как гипердетерминант Кэли в честь британского математика Артура Кэли, который его открыл. Выражение четвертой степени для гипердетерминанта Кэли гиперматрицы A с компонентами a _ijk , i , j , k ∊ {0, 1 } задается как

Det( A ) = a ₀₀₀ ² a ₁₁₁ ² + a ₀₀₁ ² a ₁₁₀ ² + a ₀₁₀ ² a ₁₀₁ ² + a ₁₀₀ ² a ₀₁₁ ²

− 2 а ₀₀₀ а ₀₀₁ а ₁₁₀ а ₁₁₁ − 2 а 000 _а 010 _а 101 _а 111 _{− 2} а ₀₀₀ а ₀₁₁ а ₁₀₀ а ₁₁₁ − 2 а ₀₀₁ а ₀₁₀ а ₁₀₁ а ₁₁₀ − 2 а ₀₀₁ а ₀₁₁ а ₁₁₀ а ₁₀₀ − 2 а ₀₁₀ а ₀₁₁ а ₁₀₁ а ₁₀₀ + 4 а ₀₀₀ а ₀₁₁ а ₁₀₁ а ₁₁₀ + 4 а ₀₀₁ а ₀₁₀ а ₁₀₀ а ₁₁₁ .

Это выражение действует как дискриминант в том смысле, что оно равно нулю тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение с шестью неизвестными x ⁱ , y ⁱ , z ⁱ , (с верхним индексом i = 0 или 1) следующей системы уравнений

а ₀₀₀ x ⁰ y ⁰ + a ₀₁₀ x ⁰ y ¹ + a ₁₀₀ x ¹ y ⁰ + a ₁₁₀ x ¹ y ¹ = 0

а ₀₀₁ x ⁰ y ⁰ + a ₀₁₁ x ⁰ y ¹ + a ₁₀₁ x ¹ y ⁰ + a ₁₁₁ x ¹ y ¹ = 0

а000 х ⁰ z0 + а001 х ⁰ z1 + а100 х ¹ z0 + а101 х ¹ z1 = ⁰_​^​_​^​_​^​_​

а ₀₁₀ х ⁰ z ⁰ + а ₀₁₁ х ⁰ z ¹ + а ₁₁₀ х ¹ z ⁰ + а ₁₁₁ х ¹ z ¹ = 0

а ₀₀₀ у ⁰ z ⁰ + а ₀₀₁ у ⁰ z ¹ + а ₀₁₀ у ¹ z ⁰ + а ₀₁₁ у ¹ z ¹ = 0

а ₁₀₀ y ⁰ z ⁰ + а ₁₀₁ y ⁰ z ¹ + а ₁₁₀ y ¹ z ⁰ + а ₁₁₁ y ¹ z ¹ = 0.

Гипердетерминант можно записать в более компактной форме, используя соглашение Эйнштейна для суммирования по индексам и символ Леви-Чивиты , который представляет собой знакопеременную тензорную плотность с компонентами ε ^ij, заданными как ε ⁰⁰ = ε ¹¹ = 0, ε ⁰¹ = −ε ¹⁰ = 1:

b _kn = (1/2)ε ^il ε ^jm a _ijk a _lmn

Det( A ) знак равно (1/2)ε ^il ε ^jm b _ij b _lm .

Используя те же соглашения, мы можем определить полилинейную форму

ж ( Икс , y , z ) знак равно а _ijk Икс ^я y ^j z ^k

Тогда гипердетерминант равен нулю тогда и только тогда, когда существует нетривиальная точка, в которой все частные производные функции f обращаются в нуль.

Как тензорное выражение

Вышеуказанный определитель можно записать в терминах обобщения символа Леви-Чивиты :

${\displaystyle \mathrm {Det} (A)=f^{ijkl}f^{nmop}f^{qrst}a_{inq}a_{jmr}a_{kos}a_{lpt}}$

где f — обобщение символа Леви-Чивиты, допускающее совпадение двух индексов:

${\displaystyle f^{0011}=f^{1100}=f^{0110}=f^{1001}=-1/2}$

${\displaystyle f^{0101}=f^{1010}=1}$

где f удовлетворяет:

${\displaystyle f^{...abc...}+f^{...bca...}+f^{...cab...}+f^{...cba...}+f^{...acb...}+f^{...bac...}=0.}$

Как дискриминант

Для симметричных гиперматриц 2 × 2 × 2 × ⋯ гипердетерминант является дискриминантом полинома. Например,

${\displaystyle a_{000}=a}$

${\displaystyle a_{001}=a_{010}=a_{100}=b}$

${\displaystyle a_{110}=a_{101}=a_{011}=c}$

${\displaystyle a_{111}=d}$

Тогда Det( ​​A ) является дискриминантом ${\displaystyle ax^{3}+3bx^{2}+3cx+d.}$

Другие общие гипердетерминанты, связанные с Det Кэли

Определения

В общем случае гипердетерминант определяется как дискриминант для полилинейного отображения f из конечномерных векторных пространств V _i в их базовое поле K , которое может быть или . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle f:V_{1}\otimes V_{2}\otimes \cdots \otimes V_{r}\to K}$

f можно отождествить с тензором в тензорном произведении каждого дуального пространства V ^* _i

${\displaystyle f\in V_{1}^{*}\otimes V_{2}^{*}\otimes \cdots \otimes V_{r}^{*}}$

По определению гипердетерминант Det ( f ) является многочленом от компонент тензора f , который равен нулю тогда и только тогда, когда отображение f имеет нетривиальную точку, в которой все частные производные по компонентам его векторных аргументов обращаются в нуль (нетривиальная точка означает, что ни один из векторных аргументов не равен нулю).

Векторные пространства V _i не обязательно должны иметь одинаковые размерности, и говорят, что гипердетерминант имеет формат ( k ₁ , ..., k _r ) k _i > 0, если размерность каждого пространства V _i равна k _i + 1. Можно показать, что гипердетерминант существует для данного формата и является уникальным с точностью до скалярного множителя, если и только если наибольшее число в формате меньше или равно сумме других чисел в формате. ^[5]

Это определение не дает способа построить гипердетерминант, и в целом это сложная задача. Для гипердетерминантов с форматами, где r ≥ 4, число членов обычно слишком велико, чтобы выписать гипердетерминант полностью. При больших r даже степень многочлена быстро возрастает и не имеет удобной общей формулы.

Примеры

Случай форматов с r = 1 имеет дело с векторами длины k ₁ + 1. В этом случае сумма других чисел формата равна нулю, а k ₁ всегда больше нуля, поэтому никаких гипердетерминантов не существует.

Случай r = 2 имеет дело с матрицами ( k ₁ + 1) × ( k ₂ + 1) . Каждое число формата должно быть больше или равно другому, поэтому только квадратные матрицы S имеют гипердетерминанты, и их можно идентифицировать с помощью детерминанта det( S ). Применение определения гипердетерминанта как дискриминанта к этому случаю требует, чтобы det( S ) был равен нулю, когда существуют векторы X и Y такие, что матричные уравнения SX = 0 и YS = 0 имеют решения для ненулевых X и Y .

Для r > 2 существуют гипердетерминанты с различными форматами, удовлетворяющие неравенству формата. Например, гипердетерминант Кэли 2 × 2 × 2 имеет формат (1, 1, 1), а также существует гипердетерминант 2 × 2 × 3 формата (1, 1, 2) . Однако гипердетерминант 2 × 2 × 4 имел бы формат (1, 1, 3) , но 3 > 1 + 1 , поэтому он не существует.

Степень

Поскольку гипердетерминант однороден по своим переменным, он имеет четко определенную степень, которая является функцией формата и записывается как N ( k ₁ , ..., k _r ). В особых случаях мы можем записать выражение для степени. Например, гипердетерминант называется граничным форматом, когда наибольшее число формата является суммой других, и в этом случае мы имеем ^[6]

${\displaystyle N(k_{2}+\cdots +k_{r},k_{2},\ldots ,k_{r})={\frac {(k_{2}+\cdots +k_{r}+1)!}{k_{2}!\cdots k_{r}!}}.}$

Для гипердетерминантов размерности 2 ^r удобная формула для генерации степеней N _r имеет вид ^[7]

${\displaystyle \sum _{r=0}^{\infty }N_{r}{\frac {z^{r}}{r!}}={\frac {e^{-2z}}{(1-z)^{2}}}.}$

В частности, для r = 2,3,4,5,6 степень соответственно равна 2, 4, 24, 128, 880 и затем растет очень быстро.

Три другие специальные формулы для вычисления степени гипердетерминантов приведены в ^[7]

для 2 × m × m используйте N (1, m − 1, m − 1) = 2 m ( m − 1)

для 3 × m × m используйте N (2, m − 1, m − 1) = 3 m ( m − 1) ²

для 4 × m × m используйте N (3, m − 1, m − 1) = (2/3) m ( m − 1)( m − 2)(5 m − 3)

Общий результат, который следует из правила произведения гипердетерминантов и свойств инвариантности, перечисленных ниже, состоит в том, что наименьшее общее кратное размерностей векторных пространств, на которые действует линейное отображение, делит степень гипердетерминанта, то есть,

НОК( k ₁ + 1, ..., k _r + 1) | N ( k ₁ , ..., k _r ).

Свойства гипердетерминантов

Гипердетерминанты обобщают многие свойства детерминантов. Свойство быть дискриминантом является одним из них, и оно используется в определении выше.

Мультипликативные свойства

Одним из самых известных свойств определителей является правило умножения, которое иногда называют формулой Бине-Коши . Для квадратных матриц A и B размером n × n это правило гласит, что

det( AB ) = det( A )det( B )

Это одно из самых сложных правил для обобщения от определителей до гипердетерминантов, поскольку обобщения произведений гиперматриц могут давать гиперматрицы разных размеров. Полная область случаев, в которых правило произведения может быть обобщено, все еще является предметом исследования. Однако есть некоторые основные примеры, которые можно указать.

Учитывая полилинейную форму f ( x ₁ , ..., x _r ), мы можем применить линейное преобразование к последнему аргументу, используя матрицу B размером n × n , y _r = B x _r . Это генерирует новую полилинейную форму того же формата,

г ( х ₁ , ..., х _r ) = f ( х ₁ , ..., y _r )

В терминах гиперматриц это определяет произведение, которое можно записать как g = f . B

Тогда можно использовать определение гипердетерминанта, чтобы показать, что

det( f . B ) = det ( f ) det ( B ) ^{N / n}

где n — степень гипердетерминанта. Это обобщает правило произведения для матриц.

Дальнейшие обобщения правила произведения были продемонстрированы для соответствующих произведений гиперматриц граничного формата. ^[8]

Первый гипердетерминант Кэли det ₀ мультипликативен в следующем смысле. Пусть A — гиперматрица размерности n × ... × n размером r с элементами a _{i , ..., k} , B — гиперматрица размерности n × ... × n размером s с элементами b _... , а C — гиперматрица размерности n × ... × n размером ( r + s − 2) с элементами c _... такая, что (используя обозначения Эйнштейна )

c _{i , ..., j , l , ..., m} = a _{i , ..., j} ^k b _{k , l , ..., m} ,

затем

дет ₀ (С) = дет ₀ (А) дет ₀ (Б).

Свойства инвариантности

Определитель обычно не рассматривается с точки зрения его свойств как алгебраический инвариант , но когда определители обобщаются до гипердетерминантов, инвариантность становится более заметной. Использование правила умножения выше на гипердетерминанте гиперматрицы H , умноженной на матрицу S с определителем, равным единице, дает

det( H . S ) = det( H )

Другими словами, гипердетерминант является алгебраическим инвариантом относительно действия специальной линейной группы SL( n ) на гиперматрице. Преобразование может быть одинаково хорошо применено к любому из векторных пространств, на которых действует полилинейное отображение, чтобы дать другую отличную инвариантность. Это приводит к общему результату,

Гипердетерминант формата является инвариантом относительно действия группы ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{r})}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (k_{1}+1)\otimes \cdots \otimes \mathrm {SL} (k_{r}+1)}$

Например, определитель матрицы n × n является инвариантом SL( n ) ² , а гипердетерминант Кэли для гиперматрицы 2 × 2 × 2 является инвариантом SL(2) ³ .

Более знакомым свойством определителя является то, что если вы добавляете кратное одной строки (или столбца) к другой строке (или столбцу) квадратной матрицы, то его определитель не изменится. Это особый случай его инвариантности в случае, когда специальная матрица линейного преобразования является единичной матрицей плюс матрица только с одним ненулевым недиагональным элементом . Это свойство немедленно обобщается на гипердетерминанты, подразумевая инвариантность, когда вы добавляете кратное одного среза гиперматрицы к другому параллельному срезу.

Гипердетерминант — не единственный полиномиальный алгебраический инвариант для группы, действующей на гиперматрице. Например, другие алгебраические инварианты могут быть образованы путем сложения и умножения гипердетерминантов. В общем случае инварианты образуют кольцевую алгебру, и из теоремы Гильберта о базисе следует , что кольцо конечно порождено. Другими словами, для заданного формата гиперматрицы все полиномиальные алгебраические инварианты с целыми коэффициентами могут быть образованы с помощью сложения, вычитания и умножения, начиная с конечного их числа. В случае гиперматрицы 2 × 2 × 2 все такие инварианты могут быть сгенерированы таким образом только из второго гипердетерминанта Кэли, но это не типичный результат для других форматов. Например, второй гипердетерминант для гиперматрицы формата 2 × 2 × 2 × 2 является алгебраическим инвариантом степени 24, хотя все инварианты могут быть получены из набора из четырех более простых инвариантов степени 6 и ниже. ^[9]

История и применение

Второй гипердетерминант был изобретен и назван Артуром Кэли в 1845 году, который смог записать выражение для формата 2 × 2 × 2, но Кэли продолжал использовать этот термин для любого алгебраического инварианта и позже отказался от этой концепции в пользу общей теории полиномиальных форм, которую он назвал «квантикой». ^[10] В течение следующих 140 лет в этой области наблюдалось мало разработок, и гипердетерминанты были в значительной степени забыты, пока их не открыли заново Гельфанд, Капранов и Зелевинский в 1980-х годах как ответвление их работы по обобщенным гипергеометрическим функциям . ^[11] Это привело к тому, что они написали свой учебник, в котором гипердетерминант был вновь введен как дискриминант. Действительно, первый гипердетерминант Кэли более фундаментален, чем второй, поскольку он является простым обобщением обычного детерминанта и нашел недавнее применение в гипотезе Алона-Тарси. ^{[12] [13]}

С тех пор гипердетерминант нашел применение в широком спектре дисциплин, включая алгебраическую геометрию , теорию чисел , квантовые вычисления и теорию струн .

В алгебраической геометрии второй гипердетерминант изучается как частный случай X-дискриминанта. Главный результат состоит в том, что существует соответствие между вершинами многогранника Ньютона для гипердетерминантов и «триангуляцией» куба в симплексы . ^[4]

В квантовых вычислениях инварианты на гиперматрицах формата 2N ^{используются} для изучения запутанности N кубитов . ^[14]

В теории струн гипердетерминант впервые появился в связи с дуальностями струн и энтропией черной дыры. ^[15]

Ссылки

1. A. Cayley, "О теории детерминант", Trans. Camb. Philos. Soc. , 1-16 (1843) https://archive.org/details/collectedmathem01caylgoog
2. A. Cayley, «О теории линейных преобразований», Cambridge Math. J. , т. 4 , 193–209, (1845), https://archive.org/details/collectedmathem01caylgoog
3. Дэвид Г. Глинн, «Модулярные аналоги гипердетерминантов Кэли», Бюллетень Австралийского математического общества , т. 57 (3) 479 (1998).
4. Гельфанд, Капранов и Зелевинский 1994.
5. Гельфанд, Капранов и Зелевинский 1994, Глава 14.
6. Гельфанд, Капранов и Зелевинский 1994, стр. 455.
7. Гельфанд, Капранов и Зелевинский 1994, стр. 457.
8. Диониси и Оттавиани 2001.
9. Луке и Тибон 2003.
10. Крилли и Крилли 2006, стр. 176.
11. Гельфанд, Капранов и Зелевинский 1994, Предисловие.
12. Заппа 1997.
13. Глинн 2010.
14. Мияке 2003.
15. Дафф 2007.

Источники

• Кейли, А. (1849). «О теории детерминант». Trans. Camb. Philos. Soc . VIII : 1–16.
• Кейли, А. (1845). «О теории линейных преобразований». Cambridge Math. J . 4 : 193–209.
• Глинн, Дэвид Г. (1998). «Модулярные аналоги гипердетерминантов Кэли». Бюллетень Австралийского математического общества . 57 (3): 479–492. doi : 10.1017/s0004972700031890 .
• Гельфанд, ИМ; Капранов М.М.; Зелевинский, А.В. (1994). Дискриминанты, результанты и многомерные определители . Бостон: Биркхойзер. ISBN 9780817636609.
• Диониси, Карла; Оттавиани, Джорджио (2001). «Теорема Бине-Коши для гипердетерминанта многомерных матриц граничного формата». arXiv : math/0104281 .
• Luque, JG.; Thibon, JY. (2 апреля 2003 г.). "Полиномиальные инварианты четырех кубитов". Physical Review A. 67 ( 4): 042303. arXiv : quant-ph/0212069 . Bibcode : 2003PhRvA..67d2303L. doi : 10.1103/PhysRevA.67.042303. S2CID  119446859.
• Крилли, Тони; Крилли, А. Дж. (2006). Артур Кейли: математик-лауреат викторианской эпохи . Балтимор, Мэриленд: Университет Джонса Хопкинса. ISBN 9780801880117.
• Мияке, А. (2003). "Классификация многочастичных запутанных состояний по многомерным детерминантам". Physical Review A. 67 : 012108. arXiv : quant-ph/0206111 . Bibcode : 2003PhRvA..67a2108M. doi : 10.1103/PhysRevA.67.012108. S2CID  119659352.
• Дафф, М. (2007). "Струнная триальность, энтропия черной дыры и гипердетерминант Кэли". Physical Review D. 76 ( 2): 025017. arXiv : hep-th/0601134 . Bibcode : 2007PhRvD..76b5017D. doi : 10.1103/PhysRevD.76.025017. S2CID  15829599.
• Заппа, Паоло (июль 1997 г.). «Определитель Кэли тензора определителя и гипотеза Алона–Тарси». Успехи прикладной математики . 19 (1): 31–44. doi : 10.1006/aama.1996.0522 .
• Глинн, Дэвид Г. (январь 2010 г.). «Предположения Алона–Тарси и Роты в размерности Prime Minus One». Журнал SIAM по дискретной математике . 24 (2): 394–399. doi :10.1137/090773751.

Дальнейшее чтение

О других исторических событиях, не вошедших в книгу Гельфанда, Капранова и Зелевинского, см.:

• Лекат, Морис (1910). Леконс-сюр-ла-теория детерминантов и измерений . Ганд: Объявление. Хост.
• Лекат, Морис (1911). Histoire de la Theorie des Determinants a plusieurs Dimensions . Ганд: Объявление. Хост.
• Паскаль, Э. (1897). Я детерминанти. Милан: Хоепли.(также переведено на немецкий язык: "Die Determinanten", H. Leitzmann, Halle, 1900.) Имеется краткий раздел о гипердетерминантах и ​​их истории до 1900 года.