Тензорное произведение гильбертовых пространств

Пространство тензорного произведения, наделенное специальным внутренним произведением

В математике , и в частности в функциональном анализе , тензорное произведение гильбертовых пространств — это способ расширить конструкцию тензорного произведения так, чтобы результатом взятия тензорного произведения двух гильбертовых пространств было другое гильбертово пространство. Грубо говоря, тензорное произведение — это метрическое пополнение обычного тензорного произведения. Это пример топологического тензорного произведения . Тензорное произведение позволяет объединить гильбертовы пространства в симметричную моноидальную категорию . ^[1]

Определение

Поскольку гильбертовы пространства имеют внутренние произведения , хотелось бы ввести внутреннее произведение и, следовательно, топологию на тензорном произведении, которое естественным образом возникает из внутренних произведений на факторах. Пусть и будут двумя гильбертовыми пространствами со внутренними произведениями и соответственно. Постройте тензорное произведение и как векторные пространства, как объяснено в статье о тензорных произведениях . Мы можем превратить это тензорное произведение векторного пространства в пространство внутреннего произведения , определив и расширив по линейности. То, что это внутреннее произведение является естественным, обосновано идентификацией скалярнозначных билинейных отображений на и линейных функционалов на их тензорном произведении векторного пространства. Наконец, возьмем завершение под этим внутренним произведением. Полученное гильбертово пространство является тензорным произведением и ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{1}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2},}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ $${\displaystyle \left\langle \phi _{1}\otimes \phi _{2},\psi _{1}\otimes \psi _{2}\right\rangle =\left\langle \phi _{1},\psi _{1}\right\rangle _{1}\,\left\langle \phi _{2},\psi _{2}\right\rangle _{2}\quad {\mbox{for all }}\phi _{1},\psi _{1}\in H_{1}{\mbox{ and }}\phi _{2},\psi _{2}\in H_{2}}$$ ${\displaystyle H_{1}\times H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}.}$

Явная конструкция

Тензорное произведение также можно определить, не прибегая к дополнению метрического пространства. Если и являются двумя гильбертовыми пространствами, каждому простому тензорному произведению сопоставляется оператор ранга один из в , который отображает данное как ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}\otimes x_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}^{*}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle x^{*}\in H_{1}^{*}}$ $${\displaystyle x^{*}\mapsto x^{*}(x_{1})\,x_{2}.}$$

Это распространяется на линейное отождествление между и пространством операторов конечного ранга от до Операторы конечного ранга вложены в гильбертово пространство операторов Гильберта–Шмидта от до Скалярное произведение в задается выражением где — произвольный ортонормированный базис ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}^{*}}$ ${\displaystyle H_{2}.}$ ${\displaystyle HS(H_{1}^{*},H_{2})}$ ${\displaystyle H_{1}^{*}}$ ${\displaystyle H_{2}.}$ ${\displaystyle HS(H_{1}^{*},H_{2})}$ $${\displaystyle \langle T_{1},T_{2}\rangle =\sum _{n}\left\langle T_{1}e_{n}^{*},T_{2}e_{n}^{*}\right\rangle ,}$$ ${\displaystyle \left(e_{n}^{*}\right)}$ ${\displaystyle H_{1}^{*}.}$

При предыдущем отождествлении можно определить гильбертово тензорное произведение и , которое изометрически и линейно изоморфно ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2},}$ ${\displaystyle HS(H_{1}^{*},H_{2}).}$

Универсальная собственность

Тензорное произведение Гильберта характеризуется следующим универсальным свойством (Kadison & Ringrose 1997, теорема 2.6.4): ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$

Теорема  —  Существует слабое отображение Гильберта–Шмидта такое, что для любого слабого отображения Гильберта–Шмидта в гильбертово пространство существует единственный ограниченный оператор такой, что ${\displaystyle p:H_{1}\times H_{2}\to H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle L:H_{1}\times H_{2}\to K}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle T:H_{1}\otimes H_{2}\to K}$ ${\displaystyle L=Tp.}$

Слабое отображение Гильберта-Шмидта определяется как билинейное отображение, для которого существует действительное число, такое что для всех и одного (следовательно, всех) ортонормированных базисов и ${\displaystyle L:H_{1}\times H_{2}\to K}$ ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{\infty }{\bigl |}\left\langle L(e_{i},f_{j}),u\right\rangle {\bigr |}^{2}\leq d^{2}\,\|u\|^{2}}$$ ${\displaystyle u\in K}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots }$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ ${\displaystyle H_{2}.}$

Как и любое универсальное свойство, это характеризует тензорное произведение H однозначно, с точностью до изоморфизма. То же самое универсальное свойство, с очевидными изменениями, применимо и к тензорному произведению любого конечного числа гильбертовых пространств. По сути, это одно и то же универсальное свойство, разделяемое всеми определениями тензорных произведений, независимо от тензорных пространств: это подразумевает, что любое пространство с тензорным произведением является симметричной моноидальной категорией , и гильбертовы пространства являются ее частным примером.

Бесконечные тензорные произведения

Исторически было предложено два различных определения для тензорного произведения произвольного размера набора гильбертовых пространств. Традиционное определение фон Неймана просто берет «очевидное» тензорное произведение: чтобы вычислить , сначала соберите все простые тензоры вида , такие что . Последнее описывает пред-внутреннее произведение через тождество поляризации , поэтому возьмите замкнутую оболочку таких простых тензоров по модулю этого подпространства изотропии внутреннего произведения . Это определение почти никогда не является разделимым, отчасти потому, что в физических приложениях «большая часть» пространства описывает невозможные состояния. Современные авторы обычно используют вместо этого определение, данное Гишарде: чтобы вычислить , сначала выберите единичный вектор в каждом гильбертовом пространстве, а затем соберите все простые тензоры вида , в котором только конечное число не является . Затем возьмите завершение этих простых тензоров. ^{[2] [3]} ${\textstyle \{H_{n}\}_{n\in N}}$ ${\textstyle \bigotimes _{n}{H_{n}}}$ ${\textstyle \bigotimes _{n\in N}{e_{n}}}$ ${\textstyle \prod _{n\in N}{\|e_{n}\|}<\infty }$ ${\textstyle \bigotimes _{n}{H_{n}}}$ ${\textstyle v_{n}\in H_{n}}$ ${\textstyle \bigotimes _{n\in N}{e_{n}}}$ ${\textstyle e_{n}}$ ${\textstyle v_{n}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Операторные алгебры

Пусть — алгебра фон Неймана ограниченных операторов на для Тогда тензорное произведение фон Неймана алгебр фон Неймана является сильным пополнением множества всех конечных линейных комбинаций простых тензорных произведений, где для Это в точности равно алгебре фон Неймана ограниченных операторов В отличие от гильбертовых пространств, можно брать бесконечные тензорные произведения алгебр фон Неймана и, если на то пошло, C*-алгебр операторов, не определяя исходных состояний. ^[3] Это одно из преимуществ «алгебраического» метода в квантовой статистической механике. ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{i}}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2.}$ ${\displaystyle A_{1}\otimes A_{2}}$ ${\displaystyle A_{i}\in {\mathfrak {A}}_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2.}$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}.}$

Характеристики

Если и имеют ортонормированные базисы и соответственно, то является ортонормированным базисом для В частности, гильбертова размерность тензорного произведения является произведением (как кардинальных чисел ) гильбертовых размерностей. ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle \left\{\phi _{k}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\psi _{l}\right\},}$ ${\displaystyle \left\{\phi _{k}\otimes \psi _{l}\right\}}$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}.}$

Примеры и приложения

Следующие примеры показывают, как тензорные произведения возникают естественным образом.

При наличии двух пространств мер и с мерами и соответственно можно рассмотреть пространство функций на , которые квадратично интегрируемы относительно меры произведения Если является квадратично интегрируемой функцией на и является квадратично интегрируемой функцией на , то мы можем определить функцию на с помощью Определение меры произведения гарантирует, что все функции этого вида являются квадратично интегрируемыми, так что это определяет билинейное отображение Линейные комбинации функций вида также находятся в Оказывается , множество линейных комбинаций фактически плотно в , если и являются разделимыми. ^[4] Это показывает, что является изоморфным , а также объясняет, почему нам нужно взять пополнение при построении тензорного произведения гильбертова пространства. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y),}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \mu \times \nu .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle h(x,y)=f(x)g(y).}$ ${\displaystyle L^{2}(X)\times L^{2}(Y)\to L^{2}(X\times Y).}$ ${\displaystyle f(x)g(y)}$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y).}$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y),}$ ${\displaystyle L^{2}(X)}$ ${\displaystyle L^{2}(Y)}$ ${\displaystyle L^{2}(X)\otimes L^{2}(Y)}$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y),}$

Аналогично, мы можем показать, что , обозначая пространство квадратично интегрируемых функций, изоморфно , если это пространство сепарабельно. Изоморфизм отображается в Мы можем объединить это с предыдущим примером и заключить, что и оба изоморфны ${\displaystyle L^{2}(X;H)}$ ${\displaystyle X\to H,}$ ${\displaystyle L^{2}(X)\otimes H}$ ${\displaystyle f(x)\otimes \phi \in L^{2}(X)\otimes H}$ ${\displaystyle f(x)\phi \in L^{2}(X;H)}$ ${\displaystyle L^{2}(X)\otimes L^{2}(Y)}$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y)}$ ${\displaystyle L^{2}\left(X;L^{2}(Y)\right).}$

Тензорные произведения гильбертовых пространств часто возникают в квантовой механике . Если некоторая частица описывается гильбертовым пространством , а другая частица описывается то система, состоящая из обеих частиц, описывается тензорным произведением и Например, пространство состояний квантового гармонического осциллятора таково , что пространство состояний двух осцилляторов таково , что изоморфно Поэтому двухчастичная система описывается волновыми функциями вида Более сложный пример дают пространства Фока , которые описывают переменное число частиц. ${\displaystyle H_{1},}$ ${\displaystyle H_{2},}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}.}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\otimes L^{2}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} ^{2}\right).}$ ${\displaystyle \psi \left(x_{1},x_{2}\right).}$

Ссылки

1. Б. Кук и Э. О. Пакетт, Категории для практикующих физиков, в: Новые структуры для физики, Б. Кук (ред.), Springer Lecture Notes in Physics, 2009. arXiv:0905.3010
2. Ник Уивер (8 марта 2020 г.). Ответ на результат континуального тензорного произведения гильбертовых пространств. MathOverflow . StackExchange .
3. Bratteli, O. и Robinson, D: Операторные алгебры и квантовая статистическая механика, т. 1, 2-е изд. , стр. 144. Springer-Verlag, 2002.
4. Колмогоров, А. Н. ; Фомин, С. В. (1961) [1960]. Элементы теории функций и функционального анализа . Т. 2: Мера, интеграл Лебега и гильбертово пространство. Перевод Камеля, Хаймана; Комма, Хораса. Albany, NY : Graylock. стр. 100, упр. 3. LCCN  57-4134.

Библиография

• Кадисон, Ричард В .; Рингроуз, Джон Р. (1997). Основы теории операторных алгебр. Том I. Аспирантура по математике . Том 15. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0819-1. МР  1468229..
• Вайдманн, Иоахим (1980). Линейные операторы в гильбертовых пространствах . Тексты для аспирантов по математике . Том. 68. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90427-6. МР  0566954..