Тензорное произведение алгебр

Tensor product of algebras over a field; itself another algebra

В математике тензорное произведение двух алгебр над коммутативным кольцом R также является R -алгеброй. Это дает тензорное произведение алгебр . Когда кольцо является полем , наиболее распространенным применением таких произведений является описание произведения представлений алгебры .

Определение

Пусть R — коммутативное кольцо и пусть A и B — R -алгебры . Поскольку оба A и B можно рассматривать как R -модули , их тензорное произведение

${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

также является R -модулем. Тензорному произведению можно придать структуру кольца, определив произведение на элементах формы a  ⊗  b согласно ^{[1] [2]}

${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}}$

и затем распространяется по линейности на все A ⊗ _R B . Это кольцо является R -алгеброй, ассоциативной и единой с единицей, заданной формулой 1 _A  ⊗ 1 _B . ^[3] где 1 _A и 1 _B — тождественные элементы A и B . Если A и B коммутативны, то тензорное произведение также коммутативно.

Тензорное произведение превращает категорию R - алгебр в симметричную моноидальную категорию . ^{[ нужна цитата ]}

Дополнительные свойства

Существуют естественные гомоморфизмы A и B в A  ⊗ _RB  , заданные формулой ^[4]

${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1_{B}}$

${\displaystyle b\mapsto 1_{A}\otimes b}$

Эти отображения делают тензорное произведение копроизведением в категории коммутативных R -алгебр . Тензорное произведение не является копроизведением в категории всех R -алгебр. Там копроизведение задается более общим свободным произведением алгебр . Тем не менее, тензорное произведение некоммутативных алгебр можно описать универсальным свойством , аналогичным свойству копроизведения:

${\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,X)\cong \lbrace (f,g)\in {\text{Hom}}(A,X)\times {\text{Hom}}(B,X)\mid \forall a\in A,b\in B:[f(a),g(b)]=0\rbrace ,}$

где [-, -] обозначает коммутатор . Естественный изоморфизм задается путем отождествления морфизма в левой части с парой морфизмов в правой части где и аналогично . ${\displaystyle \phi :A\otimes B\to X}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle f(a):=\phi (a\otimes 1)}$ ${\displaystyle g(b):=\phi (1\otimes b)}$

Приложения

Тензорное произведение коммутативных алгебр часто используется в алгебраической геометрии . Для аффинных схем X , Y , Z с морфизмами из X и Z в Y , поэтому X = Spec( A ), Y = Spec( R ) и Z = Spec( B ) для некоторых коммутативных колец A , R , B , Схема расслоенного произведения — это аффинная схема, соответствующая тензорному произведению алгебр:

${\displaystyle X\times _{Y}Z=\operatorname {Spec} (A\otimes _{R}B).}$

В более общем смысле, волокнистый продукт схем определяется путем склеивания аффинных волокнистых продуктов этой формы.

Примеры

• Тензорное произведение можно использовать как средство пересечения двух подсхем в схеме : рассмотрим -алгебры , , тогда их тензорное произведение равно , которое описывает пересечение алгебраических кривых f = 0 и g = 0 в аффинной плоскости над С.​ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/g}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}\mathbb {C} [x,y]/(g)\cong \mathbb {C} [x,y]/(f,g)}$
• В более общем смысле, если это коммутативное кольцо и являются идеалами, то с уникальным изоморфизмом, отправляющим в . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I,J\subseteq A}$ ${\displaystyle {\frac {A}{I}}\otimes _{A}{\frac {A}{J}}\cong {\frac {A}{I+J}}}$ ${\displaystyle (a+I)\otimes (b+J)}$ ${\displaystyle (ab+I+J)}$
• Тензорные произведения можно использовать как средство изменения коэффициентов. Например, и . ${\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(x^{3}+5x^{2}+x-1)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /5\cong \mathbb {Z} /5[x,y]/(x^{3}+x-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \cong \mathbb {C} [x,y]/(f)}$
• Тензорные произведения также можно использовать для получения произведений аффинных схем по полю. Например, изоморфна алгебре , которая соответствует аффинной поверхности, если f и g не равны нулю. ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2}]/(f(x))\otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} [y_{1},y_{2}]/(g(y))}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}]/(f(x),g(y))}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{4}}$
• Учитывая -алгебры и базовые кольца которых являются градуированными коммутативными кольцами , тензорное произведение становится градуированным коммутативным кольцом путем определения однородных , , и . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle (a\otimes b)(a'\otimes b')=(-1)^{|b||a'|}aa'\otimes bb'}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b'}$

Смотрите также

• Расширение скаляров
• Тензорное произведение модулей
• Тензорное произведение полей
• Линейно непересекающийся
• Мультилинейное обучение подпространству

Примечания

1. Кассель (1995), с. 32.
2. Ланг 2002, стр. 629–630.
3. Кассель (1995), с. 32.
4. Кассель (1995), с. 32.

Рекомендации

• Кассель, Кристиан (1995), Квантовые группы , Тексты для аспирантов по математике, том. 155, Спрингер, ISBN 978-0-387-94370-1.
• Ланг, Серж (2002) [впервые опубликовано в 1993 году]. Алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Том. 21. Спрингер. ISBN 0-387-95385-Х.