Тензорное произведение алгебр

Tensor product of algebras over a field; itself another algebra

В математике тензорное произведение двух алгебр над коммутативным кольцом R также является R -алгеброй. Это дает тензорное произведение алгебр . Когда кольцо является полем , наиболее распространенным применением таких произведений является описание произведения представлений алгебр .

Определение

Пусть R — коммутативное кольцо, а A и B — R -алгебры . Поскольку A и B можно рассматривать как R -модули , их тензорное произведение

${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

также является R -модулем. Тензорному произведению можно придать структуру кольца, определив произведение на элементах вида a  ⊗  b по формуле ^{[1] [2]}

${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}}$

и затем расширяется по линейности на все A ⊗ _R B . Это кольцо является R -алгеброй, ассоциативной и унитальной с единичным элементом, заданным как 1 _A  ⊗ 1 _B . ^[3] где 1 _A и 1 _B являются единичными элементами A и B . Если A и B коммутативны, то тензорное произведение также коммутативно.

Тензорное произведение превращает категорию R - алгебр в симметричную моноидальную категорию . ^{[ требуется ссылка ]}

Дополнительные свойства

Существуют естественные гомоморфизмы из A и B в A  ⊗ _R  B, заданные формулой ^[4]

${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1_{B}}$

${\displaystyle b\mapsto 1_{A}\otimes b}$

Эти отображения делают тензорное произведение копроизведением в категории коммутативных R -алгебр . Тензорное произведение не является копроизведением в категории всех R -алгебр. Там копроизведение задается более общим свободным произведением алгебр . Тем не менее, тензорное произведение некоммутативных алгебр можно описать универсальным свойством, аналогичным свойству копроизведения:

${\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,X)\cong \lbrace (f,g)\in {\text{Hom}}(A,X)\times {\text{Hom}}(B,X)\mid \forall a\in A,b\in B:[f(a),g(b)]=0\rbrace ,}$

где [-, -] обозначает коммутатор . Естественный изоморфизм задается путем отождествления морфизма слева с парой морфизмов справа, где и аналогично . ${\displaystyle \phi :A\otimes B\to X}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle f(a):=\phi (a\otimes 1)}$ ${\displaystyle g(b):=\phi (1\otimes b)}$

Приложения

Тензорное произведение коммутативных алгебр часто используется в алгебраической геометрии . Для аффинных схем X , Y , Z с морфизмами из X и Z в Y , так что X = Spec( A ), Y = Spec( R ) и Z = Spec( B ) для некоторых коммутативных колец A , R , B , схема расслоенного произведения является аффинной схемой, соответствующей тензорному произведению алгебр:

${\displaystyle X\times _{Y}Z=\operatorname {Spec} (A\otimes _{R}B).}$

В более общем смысле, волокнистое произведение схем определяется путем склеивания аффинных волокнистых произведений этой формы.

Примеры

• Тензорное произведение можно использовать как средство взятия пересечений двух подсхем в схеме : рассмотрим -алгебры , , тогда их тензорное произведение равно , которое описывает пересечение алгебраических кривых f = 0 и g = 0 в аффинной плоскости над C . ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/g}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}\mathbb {C} [x,y]/(g)\cong \mathbb {C} [x,y]/(f,g)}$
• В более общем случае, если — коммутативное кольцо и — идеалы, то , с единственным изоморфизмом, отправляющим в . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I,J\subseteq A}$ ${\displaystyle {\frac {A}{I}}\otimes _{A}{\frac {A}{J}}\cong {\frac {A}{I+J}}}$ ${\displaystyle (a+I)\otimes (b+J)}$ ${\displaystyle (ab+I+J)}$
• Тензорные произведения могут использоваться как средство изменения коэффициентов. Например, и . ${\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(x^{3}+5x^{2}+x-1)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /5\cong \mathbb {Z} /5[x,y]/(x^{3}+x-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \cong \mathbb {C} [x,y]/(f)}$
• Тензорные произведения также могут быть использованы для взятия произведений аффинных схем над полем. Например, изоморфна алгебре , которая соответствует аффинной поверхности в , если f и g не равны нулю. ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2}]/(f(x))\otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} [y_{1},y_{2}]/(g(y))}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}]/(f(x),g(y))}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{4}}$
• Для заданных -алгебр и базовых колец, являющихся градуированно-коммутативными кольцами , тензорное произведение становится градуированным коммутативным кольцом, если определить для однородных , , , и . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle (a\otimes b)(a'\otimes b')=(-1)^{|b||a'|}aa'\otimes bb'}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b'}$

Смотрите также

• Расширение скаляров
• Тензорное произведение модулей
• Тензорное произведение полей
• Линейно непересекающиеся
• Мультилинейное подпространственное обучение

Примечания

1. Кассель (1995), стр. 32.
2. Ланг 2002, стр. 629–630.
3. Кассель (1995), стр. 32.
4. Кассель (1995), стр. 32.

Ссылки

• Кассель, Кристиан (1995), Квантовые группы , Выпускные тексты по математике, т. 155, Springer, ISBN 978-0-387-94370-1.
• Ланг, Серж (2002) [впервые опубликовано в 1993]. Алгебра . Выпускные тексты по математике. Том 21. Springer. ISBN 0-387-95385-X.