Тензорное поле

В математике и физике тензорное поле — это функция, назначающая тензор каждой точке области математического пространства ( обычно евклидова пространства или многообразия ) или физического пространства . Тензорные поля используются в дифференциальной геометрии , алгебраической геометрии , общей теории относительности , при анализе напряжений и деформаций в материальных объектах и в многочисленных приложениях в физических науках . Поскольку тензор является обобщением скаляра ( чистого числа, представляющего значение, например скорость) и вектора (величины и направления, например скорость), тензорное поле является обобщением скалярного поля и векторного поля , которое назначает, соответственно, скаляр или вектор каждой точке пространства. Если тензор $A$ определен на множестве векторных полей $X(M)$ над модулем $M$ , мы называем $A$ тензорным полем на $M.$ ^[1] Многие математические структуры, называемые «тензорами», также являются тензорными полями . Например, тензор кривизны Римана является тензорным полем , поскольку он сопоставляет тензор каждой точке риманова многообразия , которое является топологическим пространством .

Определение

Пусть M — многообразие , например, евклидова плоскость Rn ^.

Определение. Тензорное поле типа ( p , q ) — это сечение
$T\ \in \ \Гамма (M,V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q})$
где V — векторное расслоение на M , V ^* — его двойственное , а ⊗ — тензорное произведение векторных расслоений.

Эквивалентно, это набор элементов T _x ∈ V _x^⊗p ⊗ ( V _x^* ) ^⊗q для всех точек x ∈ M , упорядоченных в гладкое отображение T : M → V ^⊗p ⊗ ( V ^* ) ^⊗q . Элементы T _x называются тензорами .

Часто мы принимаем V = TM за касательное расслоение M.

Геометрическое введение

Интуитивно векторное поле лучше всего визуализировать как «стрелку», прикрепленную к каждой точке региона, с переменной длиной и направлением. Одним из примеров векторного поля на искривленном пространстве является погодная карта, показывающая горизонтальную скорость ветра в каждой точке поверхности Земли.

Теперь рассмотрим более сложные поля. Например, если многообразие является римановым, то оно имеет метрическое поле , такое, что для любых двух векторов в точке их скалярное произведение равно . Поле может быть задано в матричной форме, но оно зависит от выбора координат. Вместо этого его можно задать как эллипсоид радиусом 1 в каждой точке, который не зависит от координат. Применительно к поверхности Земли это индикатриса Тиссо . $г$ $v,w$ $x$ $g_{x}(v,w)$ $г$

В общем случае мы хотим задать тензорные поля независимым от координат способом: они должны существовать независимо от широты и долготы или любой конкретной «картографической проекции», которую мы используем для введения числовых координат.

Через координатные переходы

Согласно Схоутену (1951) и Макконнеллу (1957), концепция тензора опирается на концепцию системы отсчета (или системы координат ), которая может быть фиксированной (относительно некоторой фоновой системы отсчета), но в общем случае может изменяться в пределах некоторого класса преобразований этих систем координат. ^[2]

Например, координаты, принадлежащие n -мерному действительному координатному пространству, могут быть подвергнуты произвольным аффинным преобразованиям : $\mathbb {R} ^{n}$

x^{k}\mapsto A_{j}^{k}x^{j}+a^{k}

(с n -мерными индексами, подразумевается суммирование ). Ковариантный вектор, или ковектор, — это система функций , которая преобразуется при этом аффинном преобразовании по правилу $v_{k}$

v_{k}\mapsto v_{i}A_{k}^{i}.

Список векторов базиса декартовых координат преобразуется как ковектор, так как при аффинном преобразовании . Контравариантный вектор — это система функций координат, которая при таком аффинном преобразовании претерпевает преобразование $\mathbf {e} _{k}$ $\mathbf {e} _{k}\mapsto A_{k}^{i}\mathbf {e} _{i}$ $v^{k}$

v^{k}\mapsto (A^{-1})_{j}^{k}v^{j}.

Это именно то требование, которое необходимо для того, чтобы гарантировать, что величина является инвариантным объектом, не зависящим от выбранной системы координат. В более общем смысле, тензор валентности ( p , q ) имеет p нижних индексов и q верхних индексов, причем закон преобразования имеет вид $v^{k}\mathbf {e} _{k}$

{T_{i_{1}\cdots i_{p}}}^{j_{1}\cdots j_{q}}\mapsto A_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots A_{i_{p}}^{i'_{p}}{T_{i'_{1}\cdots i'_{p}}}^{j'_{1}\cdots j'_{q}}(A^{-1})_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots (A^{-1})_{j'_{q}}^{j_{q}}.

Понятие тензорного поля может быть получено путем специализации разрешенных преобразований координат, чтобы они были гладкими (или дифференцируемыми , аналитическими и т. д.). Ковекторное поле — это функция координат, которая преобразуется якобианом функций перехода (в данном классе). Аналогично, контравариантное векторное поле преобразуется обратным якобианом. $v_{k}$ $v^{k}$

Тензорные пучки

Тензорное расслоение — это расслоение волокон , где волокно является тензорным произведением любого числа копий касательного пространства и/или кокасательного пространства базового пространства, которое является многообразием. Таким образом, волокно является векторным пространством , а тензорное расслоение — это особый вид векторного расслоения .

Вектор расслоения — это естественная идея «векторного пространства, непрерывно (или гладко) зависящего от параметров» — параметры являются точками многообразия M. Например, векторное пространство одного измерения, зависящее от угла, может выглядеть как лента Мёбиуса или, в качестве альтернативы, как цилиндр . Если задано векторное расслоение V над M , то соответствующее понятие поля называется сечением расслоения: для m, изменяющегося над M , выбор вектора

в _м в В _м ,

где V _m — векторное пространство «в» m .

Поскольку концепция тензорного произведения не зависит от выбора базиса, взятие тензорного произведения двух векторных расслоений на M является рутинным. Начиная с касательного расслоения (расслоения касательных пространств ), весь аппарат, объясненный в бескомпонентной обработке тензоров, переносится рутинным образом — снова независимо от координат, как упоминалось во введении.

Поэтому мы можем дать определение тензорного поля , а именно как раздела некоторого тензорного расслоения . (Существуют векторные расслоения, которые не являются тензорными расслоениями: например, лента Мёбиуса.) Это гарантирует геометрическое содержание, поскольку все сделано внутренним образом. Точнее, тензорное поле назначает любой заданной точке многообразия тензор в пространстве

V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*},

где V — касательное пространство в этой точке, а V ^∗ — кокасательное пространство . См. также касательное расслоение и кокасательное расслоение .

При наличии двух тензорных расслоений E → M и F → M линейное отображение A : Γ( E ) → Γ( F ) из пространства сечений E в сечения F может рассматриваться как тензорное сечение тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет A ( fs ) = fA ( s ) для каждого сечения s в Γ( E ) и каждой гладкой функции f на M . Таким образом, тензорное сечение является не только линейным отображением на векторном пространстве сечений, но и C ^∞ ( M )-линейным отображением на модуле сечений. Это свойство используется для проверки, например, того, что, хотя производная Ли и ковариантная производная не являются тензорами, тензоры кручения и кривизны, построенные из них, являются. $\scriptstyle E^{*}\otimes F$

Обозначение

Обозначения для тензорных полей иногда могут быть похожи на обозначения для тензорных пространств. Таким образом, касательное расслоение TM = T ( M ) иногда может быть записано как

T_{0}^{1}(M)=T(M)=TM

чтобы подчеркнуть, что касательное расслоение является пространством значений тензорных полей (1,0) (т.е. векторных полей) на многообразии M. Это не следует путать с очень похожей на вид нотацией

T_{0}^{1}(V)

;

в последнем случае мы имеем только одно тензорное пространство, тогда как в первом случае мы имеем тензорное пространство, определенное для каждой точки многообразия M.

Фигурные (рукописные) буквы иногда используются для обозначения множества бесконечно дифференцируемых тензорных полей на M. Таким образом,

{\mathcal {T}}_{n}^{m}(M)

являются бесконечно дифференцируемыми сечениями тензорного расслоения ( m , n ) на M. Тензорное поле является элементом этого множества.

Тензорные поля как полилинейные формы

Существует другой, более абстрактный (но часто полезный) способ характеризации тензорных полей на многообразии M , который превращает тензорные поля в честные тензоры (т. е. отдельные полилинейные отображения), хотя и другого типа (хотя это не то, почему обычно говорят «тензор», когда на самом деле имеют в виду «тензорное поле»). Во-первых, мы можем рассматривать множество всех гладких (C ^∞ ) векторных полей на M ( см. раздел об обозначениях выше) как единое пространство — модуль над кольцом гладких функций, C ^∞ ( M ), посредством поточечного скалярного умножения. Понятия полилинейности и тензорных произведений легко распространяются на случай модулей над любым коммутативным кольцом . ${\mathfrak {X}}(M):={\mathcal {T}}_{0}^{1}(M)$

В качестве мотивирующего примера рассмотрим пространство гладких ковекторных полей ( 1-форм ), также являющееся модулем над гладкими функциями. Они действуют на гладкие векторные поля, чтобы получить гладкие функции путем поточечного вычисления, а именно, учитывая ковекторное поле ω и векторное поле X , мы определяем $\Omega ^{1}(M)={\mathcal {T}}_{1}^{0}(M)$

{\tilde {\omega }}(X)(p):=\omega (p)(X(p)).

Ввиду точечной природы всего вовлеченного, действие на X является C ^∞ ( M )-линейным отображением, то есть, ${\tilde {\omega }}$

{\tilde {\omega }}(fX)(p)=\omega (p)((fX)(p))=\omega (p)(f(p)X(p))=f(p)\omega (p)(X(p))=(f\omega )(p)(X(p))=(f{\tilde {\omega }})(X)(p)

для любого p в M и гладкой функции f . Таким образом, мы можем рассматривать ковекторные поля не только как сечения кокасательного расслоения, но и как линейные отображения векторных полей в функции. Посредством двойной дуальной конструкции векторные поля могут быть аналогичным образом выражены как отображения ковекторных полей в функции (а именно, мы могли бы начать «исконно» с ковекторных полей и двигаться оттуда).

В полной параллели с построением обычных одиночных тензоров (не тензорных полей!) на M как полилинейных отображений на векторах и ковекторах, мы можем рассматривать общие ( k , l ) тензорные поля на M как C ^∞ ( M )-полилинейные отображения, определенные на k копиях и l копиях в C ^∞ ( M ). ${\mathfrak {X}}(M)$ $\Omega ^{1}(M)$

Теперь, если задано любое произвольное отображение T из произведения k копий и l копий в C ^∞ ( M ), то оказывается, что оно возникает из тензорного поля на M тогда и только тогда, когда оно полилинейно над C ^∞ ( M ). А именно, -модуль тензорных полей типа над M канонически изоморфен -модулю -полилинейных форм ${\mathfrak {X}}(M)$ $\Omega ^{1}(M)$ $C^{\infty }(M)$ $(k,l)$ $C^{\infty }(M)$ $C^{\infty }(M)$

\underbrace {\Omega ^{1}(M)\times \ldots \times \Omega ^{1}(M)} _{l\ \mathrm {times} }\times \underbrace {{\mathfrak {X}}(M)\times \ldots \times {\mathfrak {X}}(M)} _{k\ \mathrm {times} }\to C^{\infty }(M).

^[3]

Этот вид полилинейности неявно выражает тот факт, что мы на самом деле имеем дело с точечно-определенным объектом, т. е. с тензорным полем, а не с функцией, которая, даже будучи вычисленной в одной точке, зависит от всех значений векторных полей и 1-форм одновременно.

Частым примером применения этого общего правила является демонстрация того, что связность Леви-Чивиты , которая является отображением гладких векторных полей, переводящих пару векторных полей в векторное поле, не определяет тензорное поле на M. Это происходит потому, что она является только -линейной по Y (вместо полной C ^∞ ( M )-линейности, она удовлетворяет правилу Лейбница, )). Тем не менее, следует подчеркнуть, что даже если это не тензорное поле, оно все равно квалифицируется как геометрический объект с интерпретацией без компонентов. $(X,Y)\mapsto \nabla _{X}Y$ $\mathbb {R}$ $\nabla _{X}(fY)=(Xf)Y+f\nabla _{X}Y$

Приложения

Тензор кривизны обсуждается в дифференциальной геометрии, а тензор энергии-импульса важен в физике, и эти два тензора связаны общей теорией относительности Эйнштейна .

В электромагнетизме электрические и магнитные поля объединяются в электромагнитное тензорное поле .

Стоит отметить, что дифференциальные формы , используемые при определении интегрирования на многообразиях, представляют собой тип тензорного поля.

Тензорное исчисление

В теоретической физике и других областях дифференциальные уравнения, заданные в терминах тензорных полей, предоставляют весьма общий способ выражения отношений, которые являются как геометрическими по своей природе (гарантируемыми тензорной природой), так и традиционно связаны с дифференциальным исчислением . Даже для формулировки таких уравнений требуется новое понятие — ковариантная производная . Это обрабатывает формулировку вариации тензорного поля вдоль векторного поля . Первоначальное понятие абсолютного дифференциального исчисления , которое позже было названо тензорным исчислением , привело к выделению геометрической концепции связи .

Скручивание пучком нитей

Расширение идеи тензорного поля включает дополнительное линейное расслоение L на M. Если W — расслоение тензорного произведения V с L , то W — расслоение векторных пространств той же размерности, что и V. Это позволяет определить концепцию тензорной плотности , «скрученного» типа тензорного поля. Тензорная плотность — это особый случай, когда L — расслоение плотностей на многообразии , а именно детерминантное расслоение кокасательного расслоения . (Чтобы быть точным, следует также применять абсолютное значение к функциям перехода — для ориентируемого многообразия это не имеет большого значения .) Более традиционное объяснение см. в статье о тензорной плотности .

Одной из особенностей пучка плотностей (снова предполагая ориентируемость) L является то, что L ^s хорошо определена для действительных числовых значений s ; это можно прочитать из функций перехода, которые принимают строго положительные действительные значения. Это означает, например, что мы можем взять полуплотность , случай, когда s = ⁠1/2⁠ . В общем случае мы можем взять сечения W , тензорного произведения V с L ^s , и рассмотреть тензорные поля плотности с весом s .

Полуплотности применяются в таких областях, как определение интегральных операторов на многообразиях и геометрическое квантование .

Плоский корпус

Когда M — евклидово пространство и все поля считаются инвариантными относительно трансляций на векторы M , мы возвращаемся к ситуации, когда тензорное поле является синонимом тензора, «сидящего в начале координат». Это не приносит большого вреда и часто используется в приложениях. Применительно к тензорным плотностям это имеет значение. Связка плотностей не может быть серьезно определена «в точке»; и поэтому ограничением современной математической обработки тензоров является то, что тензорные плотности определяются окольным путем.

Коциклы и цепные правила

В качестве расширенного объяснения концепции тензора можно интерпретировать цепное правило в многомерном случае, применяемое к изменениям координат, а также как требование самосогласованных концепций тензора, порождающих тензорные поля.

Абстрактно, мы можем определить цепное правило как 1- коцикл . Это дает согласованность, необходимую для определения касательного расслоения внутренним способом. Другие векторные расслоения тензоров имеют сопоставимые коциклы, которые возникают из применения функториальных свойств тензорных конструкций к самому цепному правилу; вот почему они также являются внутренними (читай, «естественными») концепциями.

То, что обычно называют «классическим» подходом к тензорам, пытается прочитать это в обратном направлении – и поэтому является эвристическим, постфактум подходом, а не действительно фундаментальным. В определении тензоров по тому, как они преобразуются при изменении координат, подразумевается вид самосогласованности, который выражает коцикл. Построение плотностей тензоров – это «скручивание» на уровне коцикла. Геометры не сомневались в геометрической природе тензорных величин ; этот вид аргумента спуска абстрактно оправдывает всю теорию.

Обобщения

Тензорные плотности

Понятие тензорного поля можно обобщить, рассматривая объекты, которые преобразуются по-разному. Объект, который преобразуется как обычное тензорное поле при преобразованиях координат, за исключением того, что он также умножается на определитель якобиана обратного преобразования координат в степени w , называется тензорной плотностью с весом w . ^[4] Инвариантно, на языке полилинейной алгебры, можно думать о тензорных плотностях как о полилинейных отображениях, принимающих свои значения в расслоении плотности , таком как (1-мерное) пространство n -форм (где n - размерность пространства), в отличие от принятия своих значений просто в R . Более высокие «веса» тогда просто соответствуют принятию дополнительных тензорных произведений с этим пространством в диапазоне.

Особым случаем являются скалярные плотности. Скалярные 1-плотности особенно важны, поскольку имеет смысл определить их интеграл по многообразию. Они появляются, например, в действии Эйнштейна–Гильберта в общей теории относительности. Наиболее распространенным примером скалярной 1-плотности является элемент объема , который в присутствии метрического тензора g является квадратным корнем своего определителя в координатах, обозначаемым . Метрический тензор является ковариантным тензором порядка 2, и поэтому его определитель масштабируется квадратом координатного перехода: ${\sqrt {\det g}}$

\det(g')=\left(\det {\frac {\partial x}{\partial x'}}\right)^{2}\det(g),

что является законом преобразования для скалярной плотности веса +2.

В более общем смысле, любая тензорная плотность является произведением обычного тензора на скалярную плотность соответствующего веса. На языке векторных расслоений детерминантное расслоение касательного расслоения является линейным расслоением , которое можно использовать для «скручивания» других расслоений w раз. Хотя локально более общий закон преобразования действительно может быть использован для распознавания этих тензоров, возникает глобальный вопрос, отражающий, что в законе преобразования можно записать либо определитель Якоби, либо его абсолютное значение. Нецелые степени (положительных) переходных функций расслоения плотностей имеют смысл, так что вес плотности, в этом смысле, не ограничивается целыми значениями. Ограничение изменениями координат с положительным определителем Якоби возможно на ориентируемых многообразиях , поскольку существует последовательный глобальный способ устранения знаков «минус»; но в противном случае линейное расслоение плотностей и линейное расслоение n -форм различны. Подробнее о внутреннем значении см. плотность на многообразии .

Смотрите также

Струйный пучок – волокнистый пучок, волокна которого являются пространствами струй сечений волокнистого пучка.
Исчисление Риччи – обозначение индекса тензора для вычислений на основе тензоров
Спинорное поле – Геометрическая структура

Примечания

^ О'Нил, Барретт. Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности
^ Термин « affinor », использованный в английском переводе Schouten, больше не используется.
^ Клаудио Городски. "Заметки о гладких многообразиях" (PDF) . Получено 2024-06-24 .
^ "Плотность тензора", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

Ссылки

О'Нил, Барретт (1983). Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности . Elsevier Science. ISBN 9780080570570.
Франкель, Т. (2012), Геометрия физики (3-е издание) , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-60260-1.
Ламбурн [Открытый университет], RJA (2010), Относительность, гравитация и космология , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-13138-4.
Лернер, Р.Г .; Тригг, Г.Л. (1991), Энциклопедия физики (2-е издание) , VHC Publishers.
Макконнелл, А. Дж. (1957), Приложения тензорного анализа, Dover Publications, ISBN 9780486145020.
Макмахон, Д. (2006), Демистификация теории относительности , McGraw Hill (США), ISBN 0-07-145545-0.
C. Misner, KS Thorne, JA Wheeler (1973), Гравитация , WH Freeman & Co, ISBN 0-7167-0344-0{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link).
Паркер, К. Б. (1994), Энциклопедия физики Макгроу-Хилла (2-е издание) , McGraw Hill, ISBN 0-07-051400-3.
Схоутен, Ян Арнольдус (1951), Тензорный анализ для физиков , Oxford University Press.
Стинрод, Норман (5 апреля 1999 г.). Топология пучков волокон . Princeton Mathematical Series. Том 14. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC 40734875.