Мера продукта

Построение в теории меры

В математике , если заданы два измеримых пространства и меры на них, можно получить измеримое пространство и меру произведения на этом пространстве. Концептуально это похоже на определение декартова произведения множеств и топологии произведения двух топологических пространств, за исключением того , что может быть много естественных выборов для меры произведения.

Пусть и — два измеримых пространства , то есть и — сигма-алгебры на и соответственно, и пусть и — меры на этих пространствах. Обозначим через сигма-алгебру на декартовом произведении, порожденном подмножествами вида , где и : ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$ ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ ${\displaystyle B_{1}\times B_{2}}$ ${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle B_{2}\in \Sigma _{2}}$

${\displaystyle \Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2}=\sigma \left(\lbrace B_{1}\times B_{2}\mid B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\rbrace \right)}$

Эта сигма-алгебра называется σ-алгеброй тензорного произведения на пространстве произведений.

Мера произведения (также обозначаемая многими авторами как ) определяется как мера на измеримом пространстве, удовлетворяющая свойству ${\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2}}$ ${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}}$ ${\displaystyle (X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2})}$

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})\qquad (B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2})}$.

(При умножении мер, некоторые из которых бесконечны, мы определяем произведение как равное нулю, если любой множитель равен нулю.)

На самом деле, когда пространства конечны , мера произведения определяется однозначно, и для каждого измеримого множества E , ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E^{y})\,d\mu _{2}(y)=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,d\mu _{1}(x),}$

где и , которые оба являются измеримыми множествами. ${\displaystyle E_{x}=\{y\in X_{2}|(x,y)\in E\}}$ ${\displaystyle E^{y}=\{x\in X_{1}|(x,y)\in E\}}$

Существование этой меры гарантируется теоремой Хана–Колмогорова . Единственность меры произведения гарантируется только в случае, если и являются σ-конечными . ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1},\mu _{1})}$ ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2},\mu _{2})}$

Меры Бореля на евклидовом пространстве R ⁿ могут быть получены как произведение n копий мер Бореля на действительной прямой R .

Даже если два фактора пространства произведения являются полными пространствами мер , пространство произведения может не быть таковым. Следовательно, процедура завершения необходима для расширения меры Бореля до меры Лебега или для расширения произведения двух мер Лебега для получения меры Лебега на пространстве произведения.

Противоположной конструкцией образования произведения двух мер является дезинтеграция , которая в некотором смысле «расщепляет» данную меру на семейство мер, которые можно интегрировать для получения исходной меры.

Примеры

• Для двух пространств мер всегда существует единственная максимальная мера произведения μ _max на их произведении, обладающая тем свойством, что если μ _max ( A ) конечна для некоторого измеримого множества A , то μ _max ( A ) = μ( A ) для любой меры произведения μ. В частности, ее значение на любом измеримом множестве не меньше значения любой другой меры произведения. Это мера, полученная с помощью теоремы о расширении Каратеодори .
• Иногда существует также уникальная минимальная мера произведения μ _min , заданная как μ _min ( S ) = sup _{A ⊂ S , μ max ( A ) конечно} μ _max ( A ), где A и S предполагаются измеримыми.
• Вот пример, когда произведение имеет более одной меры произведения. Возьмем произведение X × Y , где X — единичный интервал с мерой Лебега, а Y — единичный интервал с мерой подсчета, и все множества измеримы. Тогда для минимальной меры произведения мера множества равна сумме мер его горизонтальных секций, в то время как для максимальной меры произведения множество имеет меру бесконечности, если только оно не содержится в объединении счетного числа множеств вида A × B , где либо A имеет меру Лебега 0, либо B — единственная точка. (В этом случае мера может быть конечной или бесконечной.) В частности, диагональ имеет меру 0 для минимальной меры произведения и меру бесконечности для максимальной меры произведения.

Смотрите также

• Теорема Фубини

Ссылки

• Loève, Michel (1977). "8.2. Меры произведения и повторные интегралы". Теория вероятностей, т. I (4-е изд.). Springer. стр. 135–137. ISBN 0-387-90210-4.
• Халмос, Пол (1974). "35. Меры продукта". Теория меры . Springer. стр. 143–145. ISBN 0-387-90088-8.

В данной статье использованы материалы из журнала Product measure на PlanetMath , лицензированного по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .