В полуримановой геометрии разложение Бела , взятое относительно определенной времениподобной конгруэнтности , является способом разложения тензора Римана псевдориманова многообразия на тензоры низшего порядка со свойствами, аналогичными электрическому полю и магнитному полю . Такое разложение было частично описано Альфонсом Матте в 1953 году [1] и Луисом Белом в 1958 году. [2]
Это разложение особенно важно в общей теории относительности . [ требуется ссылка ] Это случай четырехмерных лоренцевских многообразий , для которых существует только три части с простыми свойствами и индивидуальными физическими интерпретациями.
В четырех измерениях разложение Бела тензора Римана относительно времениподобного единичного векторного поля , не обязательно геодезического или ортогонального к гиперповерхности, состоит из трех частей:
Поскольку все они являются трансверсальными (т.е. проецируются на пространственные гиперплоскостные элементы, ортогональные нашему времениподобному единичному векторному полю), их можно представить как линейные операторы на трехмерных векторах или как вещественные матрицы размером три на три. Они соответственно симметричны, бесследовые и симметричны (6,8,6 линейно независимых компонентов, всего 20). Если мы запишем эти операторы как E , B , L соответственно, то главные инварианты тензора Римана получаются следующим образом:
![{\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bdea711a1213750660aa49c74e9f31036a3710a)
![{\displaystyle B[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d0a5235e74660f18c53f2fc4f71495779182aa3)
![{\displaystyle L[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R^{\star }}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ba7ebe19c8c75fca91ebc9f59841af69506aec)
