В математике абелевы и тауберовы теоремы — это теоремы, дающие условия для двух методов суммирования расходящихся рядов , чтобы получить один и тот же результат, названные в честь Нильса Хенрика Абеля и Альфреда Таубера . Исходными примерами являются теорема Абеля, показывающая, что если ряд сходится к некоторому пределу, то его абелева сумма является тем же пределом, и теорема Таубера, показывающая, что если абелева сумма ряда существует и коэффициенты достаточно малы (o(1/ n )), то ряд сходится к абелевой сумме. Более общие абелевы и тауберовы теоремы дают похожие результаты для более общих методов суммирования.
Пока еще нет четкого различия между абелевыми и тауберовыми теоремами, и нет общепринятого определения того, что означают эти термины. Часто теорема называется «абелевой», если она показывает, что некоторый метод суммирования дает обычную сумму для сходящихся рядов, и называется «тауберовой», если она дает условия для ряда, суммируемого некоторым методом, который позволяет ему быть суммируемым в обычном смысле.
В теории интегральных преобразований абелевы теоремы дают асимптотическое поведение преобразования на основе свойств исходной функции. Наоборот, тауберовы теоремы дают асимптотическое поведение исходной функции на основе свойств преобразования, но обычно требуют некоторых ограничений на исходную функцию. [1]
Для любого метода суммирования L его теорема Абеля приводит к следующему результату: если c = ( c n ) — сходящаяся последовательность с пределом C , то L ( c ) = C . [ необходимо разъяснение ]
Примером может служить метод Чезаро , в котором L определяется как предел арифметических средних первых N членов c , когда N стремится к бесконечности. Можно доказать , что если c сходится к C , то сходится и последовательность ( d N ), где
Чтобы увидеть это, вычтем C везде, чтобы свести последовательность к случаю C = 0. Затем разделим последовательность на начальный сегмент и хвост малых членов: при любом ε > 0 мы можем взять N достаточно большим, чтобы сделать начальный сегмент членов до c N средним не более ε /2, в то время как каждый член в хвосте ограничен ε/2, так что среднее также обязательно ограничено.
Название происходит от теоремы Абеля о степенных рядах . В этом случае L — это радиальный предел (рассматриваемый внутри комплексного единичного круга ), где мы стремимся к пределу 1 снизу вдоль действительной оси в степенном ряду с членом
и положим z = r · e iθ . Эта теорема представляет свой главный интерес в случае, когда степенной ряд имеет радиус сходимости ровно 1: если радиус сходимости больше единицы, сходимость степенного ряда равномерна для r в [0,1], так что сумма автоматически непрерывна , и отсюда непосредственно следует, что предел при стремлении r к 1 является просто суммой a n . Когда радиус равен 1, степенной ряд будет иметь некоторую особенность на | z | = 1; утверждение состоит в том, что, тем не менее, если сумма a n существует , она равна пределу по r . Следовательно, это точно укладывается в абстрактную картину.
Частичные обращения к абелевым теоремам называются тауберовыми теоремами . Первоначальный результат Альфреда Таубера (1897) [2] утверждал, что если мы также предположим
(см. обозначение Литтл o ) и существует радиальный предел, то ряд, полученный при установке z = 1, на самом деле сходится. Это было усилено Джоном Эденсором Литтлвудом : нам нужно только предположить O(1/ n ). Широким обобщением является тауберова теорема Харди–Литтлвуда .
В абстрактной постановке, следовательно, теорема Абеля утверждает, что область определения L содержит сходящиеся последовательности, и ее значения там равны значениям функционала Лима . Теорема Тауберова утверждает, что при некотором условии роста область определения L представляет собой в точности сходящиеся последовательности и не более того.
Если рассматривать L как некий обобщенный тип средневзвешенного значения , доведенного до предела, то тауберова теорема позволяет отказаться от взвешивания при правильных гипотезах. Существует множество приложений такого рода результатов в теории чисел , в частности, при работе с рядами Дирихле .
Развитие области тауберовых теорем получило новый импульс с появлением весьма общих результатов Норберта Винера , а именно тауберовой теоремы Винера и ее большого набора следствий . [3] Центральная теорема теперь может быть доказана методами банаховой алгебры и содержит большую часть, хотя и не всю, предыдущей теории.
