Теорема Амицура–Левицкого

States that the algebra of n by n matrices satisfies a certain identity of degree 2n

В алгебре теорема Амицура –Левицкого утверждает, что алгебра матриц n  ×  n над коммутативным кольцом удовлетворяет некоторому тождеству степени 2 n . Это было доказано Амицуром и Левицким  (1950). В частности, матричные кольца являются кольцами полиномиальных тождеств, такими, что наименьшее тождество, которому они удовлетворяют, имеет степень точно 2 n .

Заявление

Стандартный многочлен степени n равен

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}{\text{sgn}}(\sigma )x_{\sigma (1)}\cdots x_{\sigma (n)}}$

в некоммутирующих переменных x ₁ , ..., x _n , где сумма берется по всем n ! элементам симметрической группы S _n .

Теорема Амицура–Левицкого утверждает, что для матриц A 1  ,  _... , A _{2 n размера n} , элементы которых взяты из коммутативного кольца, то

${\displaystyle S_{2n}(A_{1},\dots ,A_{2n})=0.}$

Доказательства

Первое доказательство дали Амицур и Левицкий (1950).

Костант (1958) вывел теорему Амицура–Левицкого из теоремы Кошуля–Самельсона о примитивных когомологиях алгебр Ли .

Свон (1963) и Свон (1969) дали простое комбинаторное доказательство следующим образом. По линейности достаточно доказать теорему, когда каждая матрица имеет только один ненулевой элемент, который равен 1. В этом случае каждая матрица может быть закодирована как направленное ребро графа с n вершинами . Таким образом, все матрицы вместе дают граф на n вершинах с 2 n направленными ребрами. Тождество выполняется при условии, что для любых двух вершин A и B графа число нечетных эйлеровых путей из A в B совпадает с числом четных. (Здесь путь называется нечетным или четным в зависимости от того, дают ли его ребра, взятые по порядку, нечетную или четную перестановку 2 n ребер.) Свон показал, что это так, если число ребер в графе составляет не менее 2 n , тем самым доказав теорему Амицура–Левицки.

Размыслов (1974) дал доказательство, связанное с теоремой Кэли–Гамильтона .

Россет (1976) дал короткое доказательство, используя внешнюю алгебру векторного пространства размерности 2 n .

Просеси (2015) дал еще одно доказательство, показав, что теорема Амицура–Левицки является тождеством Кэли–Гамильтона для общей матрицы Грассмана.

Ссылки

• Амицур, А.С.; Левицкий , Якоб (1950), «Минимальные тождества для алгебр» (PDF) , Труды Американского математического общества , 1 (4): 449–463, doi : 10.1090/S0002-9939-1950-0036751-9 , ISSN  0002-9939, JSTOR  2032312, MR  0036751
• Амицур, А.С.; Левицкий, Якоб (1951), «Замечания о минимальных тождествах для алгебр» (PDF) , Труды Американского математического общества , 2 (2): 320–327, doi : 10.2307/2032509 , ISSN  0002-9939, JSTOR  2032509
• Форманек, Э. (2001) [1994], «Теорема Амицура–Левицкого», Энциклопедия математики , EMS Press
• Форманек, Эдвард (1991), Полиномиальные тождества и инварианты матриц n × n , Серия региональных конференций по математике, т. 78, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0730-7, ЗБЛ  0714.16001
• Костант, Бертрам (1958), «Теорема Фробениуса, теорема Амицура–Левицкого и теория когомологий», J. Math. Mech. , 7 (2): 237–264, doi : 10.1512/iumj.1958.7.07019 , MR  0092755
• Размыслов, Ю. П. (1974), "Тождества со следом в полных матричных алгебрах над полем нулевой характеристики", Математика СССР-Известия , 8 (4): 727, doi :10.1070/IM1974v008n04ABEH002126, ISSN  0373-2436, MR  0506414
• Россет, Шмуэль (1976), «Новое доказательство тождества Амицура–Левицкого», Israel Journal of Mathematics , 23 (2): 187–188, doi : 10.1007/BF02756797 , ISSN  0021-2172, MR  0401804, S2CID  121625182
• Свон, Ричард Г. (1963), «Применение теории графов к алгебре» (PDF) , Труды Американского математического общества , 14 (3): 367–373, doi : 10.2307/2033801 , ISSN  0002-9939, JSTOR  2033801, MR  0149468
• Свон, Ричард Г. (1969), «Исправление к «Применению теории графов к алгебре»» (PDF) , Труды Американского математического общества , 21 (2): 379–380, doi :10.2307/2037008, ISSN  0002-9939, JSTOR  2037008, MR  0255439
• Procesi, Claudio (2015), «О теореме Амицура—Левитцкого», Israel Journal of Mathematics , 207 : 151–154, arXiv : 1308.2421 , Bibcode : 2013arXiv1308.2421P, doi : 10.1007/s11856-014-1118-8