Теорема Бора–Моллерупа

Теорема комплексного анализа

В математическом анализе теорема Бора–Моллерупа ^{[1] [2]} — теорема, доказанная датскими математиками Харальдом Бором и Йоханнесом Моллерупом . ^[3] Теорема характеризует гамма -функцию , определенную для x > 0 как

${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}$

как единственная положительная функция  f  с областью определения на интервале x > 0 , которая одновременно обладает следующими тремя свойствами:

•  f  (1) = 1 , и
•  f  ( x + 1) = x  f  ( x ) для x > 0 и
•  f  является логарифмически выпуклой .

Трактовка этой теоремы содержится в книге Артина « Гамма-функция » ^[4] , которая была переиздана Американским математическим обществом в сборнике трудов Артина. ^[5]

Теорема была впервые опубликована в учебнике по комплексному анализу , поскольку Бор и Моллеруп считали, что она уже доказана. ^[3]

Теорема допускает далеко идущее обобщение на широкий спектр функций (имеющих свойства выпуклости или вогнутости любого порядка). ^[6]

Заявление

Теорема Бора–Моллерупа.     Γ( x ) — единственная функция, которая удовлетворяет условию f  ( x + 1) = x f  ( x ) с выпуклым log(  f  ( x )) и также с f  (1) = 1 .   

Доказательство

Пусть Γ( x ) — функция с предполагаемыми свойствами, установленными выше: Γ( x + 1) = x Γ( x ) и log(Γ( x )) выпукла, и Γ(1) = 1. Из Γ( x + 1) = x Γ( x ) можно установить

${\displaystyle \Gamma (x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots (x+1)x\Gamma (x)}$

Цель условия, что Γ(1) = 1, заставляет свойство Γ( x + 1) = x Γ( x ) дублировать факториалы целых чисел, поэтому теперь мы можем заключить, что Γ( n ) = ( n − 1)! если n ∈ N и если Γ( x ) вообще существует. Из-за нашего соотношения для Γ( x + n ) , если мы можем полностью понять Γ( x ) для 0 < x ≤ 1 , то мы понимаем Γ( x ) для всех значений x .

Для x ₁ , x ₂ наклон S ( x ₁ , x ₂ ) отрезка прямой, соединяющего точки ( x ₁ , log(Γ ( x ₁ ))) и ( x ₂ , log(Γ ( x ₂ ))), монотонно возрастает по каждому аргументу с x ₁ < x _{2 ,} поскольку мы условились, что log(Γ( x )) является выпуклым. Таким образом, мы знаем, что

${\displaystyle S(n-1,n)\leq S(n,n+x)\leq S(n,n+1)\quad {\text{for all }}x\in (0,1].}$

После упрощения с использованием различных свойств логарифма, а затем возведения в степень (что сохраняет неравенства, поскольку показательная функция монотонно возрастает), получаем

${\displaystyle (n-1)^{x}(n-1)!\leq \Gamma (n+x)\leq n^{x}(n-1)!.}$

Из предыдущей работы это расширяется до

${\displaystyle (n-1)^{x}(n-1)!\leq (x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x\Gamma (x)\leq n^{x}(n-1)!,}$

и так

${\displaystyle {\frac {(n-1)^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}}\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right).}$

Последняя строка является сильным утверждением. В частности, это верно для всех значений n . То есть Γ( x ) не больше правой части для любого выбора n и, аналогично, Γ( x ) не меньше левой части для любого другого выбора n . Каждое отдельное неравенство стоит особняком и может быть интерпретировано как независимое утверждение. Из-за этого факта мы свободны выбирать различные значения n для правой и левой частей. В частности, если мы оставим n для правой части и выберем n + 1 для левой части, мы получим:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {((n+1)-1)^{x}((n+1)-1)!}{(x+(n+1)-1)(x+(n+1)-2)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\end{aligned}}}$

Из этой последней строки очевидно, что функция зажата между двумя выражениями, что является распространенным методом анализа для доказательства различных вещей, таких как существование предела или сходимости. Пусть n → ∞ :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n+x}{n}}=1}$

поэтому левая часть последнего неравенства стремится к равенству правой части в пределе и

${\displaystyle {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

зажат между ними. Это может означать только то, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}=\Gamma (x).}$

В контексте данного доказательства это означает, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

имеет три указанных свойства, принадлежащих Γ( x ) . Кроме того, доказательство дает конкретное выражение для Γ( x ) . И последняя критическая часть доказательства - помнить, что предел последовательности уникален. Это означает, что для любого выбора 0 < x ≤ 1 может существовать только одно возможное число Γ( x ) . Следовательно, не существует другой функции со всеми свойствами, назначенными Γ( x ) .

Оставшимся нерешенным вопросом является доказательство того, что Γ( x ) имеет смысл для всех x , где

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

существует. Проблема в том, что наше первое двойное неравенство

${\displaystyle S(n-1,n)\leq S(n+x,n)\leq S(n+1,n)}$

было построено с ограничением 0 < x ≤ 1. Если, скажем, x > 1 , то тот факт, что S монотонно возрастает, сделал бы S ( n + 1, n ) < S ( n + x , n ) , что противоречит неравенству, на котором построено все доказательство. Однако,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x+1)&=\lim _{n\to \infty }x\cdot \left({\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\right){\frac {n}{n+x+1}}\\\Gamma (x)&=\left({\frac {1}{x}}\right)\Gamma (x+1)\end{aligned}}}$

что демонстрирует, как выполнить начальную загрузку Γ( x ) для всех значений x , где определен предел.

Смотрите также

• Теорема Виландта

Ссылки

1. "Теорема Бора–Моллерупа", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
2. Weisstein, Eric W. «Теорема Бора–Моллерупа». MathWorld .
3. Моллерап, Дж., Бор, Х. (1922). Леребог и Комплекс Анализ, том. III, Копенгаген .{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
4. Артин, Эмиль (1964). Гамма-функция . Холт, Райнхарт, Уинстон.
5. Розен, Майкл (2006). Изложение Эмиля Артина: Избранное . Американское математическое общество.
6. J.-L. Marichal; N. Zenaïdi (2022). Обобщение теоремы Бора-Моллерупа для выпуклых функций высшего порядка. Developments in Mathematics. Vol. 70. Developments in Mathematics, Vol. 70. Springer, Cham, Switzerland. doi :10.1007/978-3-030-95088-0. ISBN 978-3-030-95087-3.