Теорема Картана–Келера

В математике теорема Картана -Келера является важным результатом об условиях интегрируемости для дифференциальных систем , в случае аналитических функций , для дифференциальных идеалов . Он назван в честь Эли Картана и Эриха Келера . ${\displaystyle I}$

Значение

Неверно, что для интегрируемости достаточно простого присутствия в . Существует проблема, вызванная единичными решениями . Теорема вычисляет определенные константы, которые должны удовлетворять неравенству, чтобы существовало решение. ${\displaystyle dI}$ ${\displaystyle I}$

Заявление

Пусть это настоящая аналитическая ЭЦП . Предположим, что это связное -мерное вещественно-аналитическое регулярное интегральное многообразие с (т. е. касательные пространства «расширяемы» до целочисленных элементов более высокой размерности). ${\displaystyle (M,I)}$ ${\displaystyle P\subseteq M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r(P)\geq 0}$ ${\displaystyle T_{p}P}$

Более того, предположим, что существует вещественное аналитическое подмногообразие коразмерности, содержащее и такое, что имеет размерность для всех . ${\displaystyle R\subseteq M}$ ${\displaystyle r(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T_{p}R\cap H(T_{p}P)}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle p\in P}$

Тогда существует (локально) единственное связное -мерное вещественное аналитическое интегральное многообразие, удовлетворяющее условию . ${\displaystyle (k+1)}$ ${\displaystyle X\subseteq M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle P\subseteq X\subseteq R}$

Доказательства и предположения

В доказательстве используется теорема Коши-Ковалевской , поэтому аналитичность необходима.

Рекомендации

• Жан Дьедонне , «Элементы анализа» , том. 4, (1977) Глава. XVIII.13
• Р. Брайант, С. С. Черн, Р. Гарднер, Х. Гольдшмидт, П. Гриффитс, Внешние дифференциальные системы , Springer Verlag, Нью-Йорк, 1991.

Внешние ссылки

• Алексеевский, Д.В. (2001) [1994], «Проблема Пфаффа», Энциклопедия математики , EMS Press
• Р. Брайант, «Девять лекций по внешним дифференциальным системам», 1999 г.
• Картан Э., Об интегрировании систем полных дифференциальных уравнений, пер. от Д. Х. Дельфениха
• Келер Э., «Введение в теорию систем дифференциальных уравнений», пер. от Д. Х. Дельфениха