Теорема Стокса

Теорема векторного исчисления

Иллюстрация теоремы Стокса с поверхностью Σ , ее границей ∂Σ и нормальным вектором n . Направление положительной циркуляции ограничивающего контура ∂Σ и направление n положительного потока через поверхность Σ связаны правилом правой руки (т. е. пальцы правой руки циркулируют вдоль ∂Σ , а большой палец направлен вдоль n ).

Теорема Стокса ^[1], также известная как теорема Кельвина–Стокса ^{[2] [3]} в честь лорда Кельвина и Джорджа Стокса , фундаментальная теорема для вихрей или просто теорема о вихрях ^[4] — теорема векторного исчисления на . Если задано векторное поле , теорема связывает интеграл вихря векторного поля по некоторой поверхности с линейным интегралом векторного поля вокруг границы поверхности. Классическую теорему Стокса можно сформулировать одним предложением: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Линейный интеграл векторного поля по контуру равен поверхностному интегралу его ротора по замкнутой поверхности.

Теорема Стокса является частным случаем обобщенной теоремы Стокса . ^{[5] [6]} В частности, векторное поле на можно рассматривать как 1-форму, в этом случае его ротор является его внешней производной , 2-формой. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Теорема

Пусть будет гладкой ориентированной поверхностью в с границей . Если векторное поле определено и имеет непрерывные частные производные первого порядка в области, содержащей , то Более явно равенство говорит, что ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \partial \Sigma \equiv \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z))}$ ${\displaystyle \Sigma }$ $${\displaystyle \iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right)\\&=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z{\Bigr )}.\end{aligned}}}$$

Основная проблема в точной формулировке теоремы Стокса заключается в определении понятия границы. Известно, что такие поверхности, как снежинка Коха , например, не имеют интегрируемой по Риману границы, а понятие меры поверхности в теории Лебега не может быть определено для нелипшицевой поверхности . Один (продвинутый) метод заключается в переходе к слабой формулировке , а затем применении аппарата геометрической теории меры ; для этого подхода см. формулу коплощади . В этой статье мы вместо этого используем более элементарное определение, основанное на том факте, что границу можно различить для полномерных подмножеств . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Более подробное утверждение будет дано для последующих обсуждений. Пусть будет кусочно- гладкой жордановой плоской кривой . Теорема Жордана о кривой подразумевает, что делится на две компоненты, компактную и некомпактную. Пусть обозначает компактную часть; тогда ограничена . Теперь достаточно перенести это понятие границы вдоль непрерывного отображения на нашу поверхность в . Но у нас уже есть такое отображение: параметризация . ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Предположим, что является кусочно- гладким в окрестности , причем . ^{[примечание 1]} Если — пространственная кривая, определяемая ^{[примечание 2]} , то мы называем границу , обозначаемую . ${\displaystyle \psi :D\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Sigma =\psi (D)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$

С учетом приведенных выше обозначений, если — любое гладкое векторное поле на , то ^{[7] [8]} ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {\Gamma } }=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } .}$$

Здесь « » представляет собой скалярное произведение в . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Частный случай более общей теоремы

Теорему Стокса можно рассматривать как частный случай следующего тождества: ^[9] где — любое гладкое векторное или скалярное поле в . Когда — однородное скалярное поле, восстанавливается стандартная теорема Стокса. $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }(\mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {\Gamma } })\,\mathbf {g} =\iint _{\Sigma }\left[\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} -\mathbf {F} \times \nabla \right)\right]\mathbf {g} ,}$$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$

Доказательство

Доказательство теоремы состоит из 4 шагов. Мы предполагаем теорему Грина , поэтому нас интересует, как свести трехмерную сложную задачу (теорему Стокса) к двухмерной элементарной задаче (теореме Грина). ^[10] При доказательстве этой теоремы математики обычно выводят ее как частный случай более общего результата , который формулируется в терминах дифференциальных форм и доказывается с использованием более сложной техники. Несмотря на свою мощь, эти методы требуют существенного опыта, поэтому доказательство ниже избегает их и не предполагает никаких знаний, выходящих за рамки знакомства с основами векторного исчисления и линейной алгебры. ^[8] В конце этого раздела дано короткое альтернативное доказательство теоремы Стокса как следствие обобщенной теоремы Стокса.

Элементарное доказательство

Первый шаг элементарного доказательства (параметризация интеграла)

Как и в § Теорема , мы уменьшаем размерность, используя естественную параметризацию поверхности. Пусть ψ и γ будут такими, как в этом разделе, и отметим, что заменой переменных , где J _y ψ обозначает матрицу Якоби ψ при y = γ ( t ) . $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } ))\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } )}=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\,\mathrm {d} \gamma }}$$

Теперь пусть _{eu,ev } будет ортонормированным базисом в координатных направлениях _R2 . ^[ примечание ^3]

Признавая, что столбцы J _y ψ являются в точности частными производными ψ в точке y , мы можем разложить предыдущее уравнение в координатах следующим образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }&=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{u}(\mathbf {e} _{u}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )+\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{v}(\mathbf {e} _{v}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )}\\&=\oint _{\gamma }{\left(\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{v}\right)\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} }\end{aligned}}}$$

Второй шаг элементарного доказательства (определение обратного пути)

Предыдущий шаг предполагает, что мы определяем функцию $${\displaystyle \mathbf {P} (u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{v}}$$

Теперь, если скалярные значения функционируют и определяются следующим образом, то, ${\displaystyle P_{u}}$ ${\displaystyle P_{v}}$ $${\displaystyle {P_{u}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)}$$ $${\displaystyle {P_{v}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)}$$ $${\displaystyle \mathbf {P} (u,v)={P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v}.}$$

Это обратный ход F вдоль ψ , и , согласно вышесказанному, он удовлетворяет условию $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{\mathbf {P} (\mathbf {y} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }}$$

Мы успешно свели одну сторону теоремы Стокса к двумерной формуле; теперь перейдем к другой стороне.

Третий шаг элементарного доказательства (второе уравнение)

Сначала вычислим частные производные, появляющиеся в теореме Грина , с помощью правила произведения : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial v\,\partial u}}\\[5pt]{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial u\,\partial v}}\end{aligned}}}$$

Удобно, что второй член исчезает в разности, в силу равенства смешанных частичных . Итак, ^{[примечание 4]} $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}-{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}&&{\text{(chain rule)}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot \left(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\end{aligned}}}$$

Но теперь рассмотрим матрицу в квадратичной форме, то есть . Мы утверждаем, что эта матрица на самом деле описывает векторное произведение. Здесь верхний индекс " " представляет транспонирование матриц . ${\displaystyle J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$

Чтобы быть точным, пусть будет произвольной матрицей 3 × 3 и пусть ${\displaystyle A=(A_{ij})_{ij}}$ $${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{32}-A_{23}\\A_{13}-A_{31}\\A_{21}-A_{12}\end{bmatrix}}}$$

Обратите внимание, что x ↦ a × x является линейным, поэтому он определяется его действием на базисные элементы. Но прямым вычислением Здесь { e ₁ , e ₂ , e ₃ } представляет собой ортонормированный базис в координатных направлениях . ^{[примечание 5]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{1}&={\begin{bmatrix}0\\a_{3}\\-a_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{1}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{2}&={\begin{bmatrix}-a_{3}\\0\\a_{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{2}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{3}&={\begin{bmatrix}a_{2}\\-a_{1}\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Таким образом, ( A − A ^T ) x = a × x для любого x .

Подставляя вместо A , получаем ${\displaystyle {(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}}$ $${\displaystyle \left({(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}-{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} =(\nabla \times \mathbf {F} )\times \mathbf {x} ,\quad {\text{for all}}\,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$$

Теперь мы можем распознать разницу частичных чисел как (скалярное) тройное произведение : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\end{aligned}}}$$

С другой стороны, определение поверхностного интеграла также включает в себя тройное произведение — то самое! $${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,d\mathbf {\Sigma } &=\iint _{D}{(\nabla \times \mathbf {F} )({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}\end{aligned}}}$$

Итак, получаем $${\displaystyle \iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$$

Четвертый шаг элементарного доказательства (сведение к теореме Грина)

Объединение второго и третьего шагов, а затем применение теоремы Грина завершает доказательство. Теорема Грина утверждает следующее: для любой области D, ограниченной замкнутой жордановой кривой γ и двумя скалярнозначными гладкими функциями, определенными на D; ${\displaystyle P_{u}(u,v),P_{v}(u,v)}$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$$

Мы можем подставить заключение ШАГА2 в левую часть теоремы Грина выше, а заключение ШАГА3 — в правую часть. QED

Доказательство через дифференциальные формы

Функции могут быть идентифицированы с помощью дифференциальных 1-форм с помощью карты ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle F_{x}\mathbf {e} _{1}+F_{y}\mathbf {e} _{2}+F_{z}\mathbf {e} _{3}\mapsto F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z.}$$

Запишите дифференциальную 1-форму, связанную с функцией F, как ω _F . Тогда можно вычислить, что где ★ — звезда Ходжа , а — внешняя производная . Таким образом, по обобщенной теореме Стокса, ^[11] $${\displaystyle \star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }=\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} },}$$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\gamma } }=\oint _{\partial \Sigma }{\omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }}=\iint _{\Sigma }{\nabla \times \mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }}$$

Приложения

Безвихревые поля

В этом разделе мы обсудим безвихревое поле ( пластинчатое векторное поле ) на основе теоремы Стокса.

Определение 2-1 (безвихревое поле). Гладкое векторное поле F на открытом пространстве является безвихревым ( пластинчатым векторным полем ), если ∇ × F = 0 . ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

Эта концепция является фундаментальной в механике; как мы докажем позже, если F безвихревое и область определения F односвязна , то F является консервативным векторным полем .

Теорема Гельмгольца

В этом разделе мы представим теорему, которая выводится из теоремы Стокса и характеризует безвихревые векторные поля. В классической механике и гидродинамике она называется теоремой Гельмгольца .

Теорема 2-1 (теорема Гельмгольца в гидродинамике). ^{[5] [3] : 142} Пусть — открытое подмножество с пластинчатым векторным полем F и пусть c ₀ , c ₁ : [0, 1] → U — кусочно-гладкие петли. Если существует функция H : [0, 1] × [0, 1] → U такая, что ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

• [TLH0] H — кусочно-гладкая,
• [TLH1] H ( t , 0) = c ₀ ( t ) для всех t ∈ [0, 1] ,
• [TLH2] H ( t , 1) = c ₁ ( t ) для всех t ∈ [0, 1] ,
• [TLH3] H (0, s ) = H (1, s ) для всех s ∈ [0, 1] .

Затем, $${\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=\int _{c_{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{1}}$$

Некоторые учебники, такие как Lawrence ^[5], называют связь между c ₀ и c _{1 ,} указанную в теореме 2-1, «гомотопной», а функцию H : [0, 1] × [0, 1] → U — «гомотопией между c ₀ и c ₁ ». Однако «гомотопный» или «гомотопия» в вышеупомянутом смысле отличаются (сильнее) типичных определений «гомотопного» или «гомотопии»; последние опускают условие [TLH3]. Поэтому с этого момента мы будем называть гомотопию (гомотоп) в смысле теоремы 2-1 трубчатой ​​гомотопией (соотв. трубчато-гомотопной) . ^{[примечание 6]}

Доказательство теоремы Гельмгольца

Определения γ ₁ , ..., γ ₄

В дальнейшем мы будем злоупотреблять обозначениями и использовать « » для конкатенации путей в фундаментальном группоиде и « » для изменения ориентации пути на противоположную. ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \ominus }$

Пусть D = [0, 1] × [0, 1] и разделим ∂ D на четыре отрезка γ _j так , чтобы $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{1}(t)=(t,0)\\\gamma _{2}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{2}(s)=(1,s)\\\gamma _{3}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{3}(t)=(1-t,1)\\\gamma _{4}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{4}(s)=(0,1-s)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \partial D=\gamma _{1}\oplus \gamma _{2}\oplus \gamma _{3}\oplus \gamma _{4}}$$

По нашему предположению, что c ₀ и c ₁ являются кусочно гладкими гомотопными, существует кусочно гладкая гомотопия H : D → M $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{i}(t)&=H(\gamma _{i}(t))&&i=1,2,3,4\\\Gamma (t)&=H(\gamma (t))=(\Gamma _{1}\oplus \Gamma _{2}\oplus \Gamma _{3}\oplus \Gamma _{4})(t)\end{aligned}}}$$

Пусть S будет образом D при H. Это немедленно следует из теоремы Стокса. F — пластинчатая, поэтому левая часть равна нулю, т.е. $${\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} S=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }$$ $${\displaystyle 0=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma =\sum _{i=1}^{4}\oint _{\Gamma _{i}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }$$

Так как H является трубчатым (удовлетворяющим [TLH3]), и . Таким образом, линейные интегралы вдоль Γ ₂ ( s ) и Γ ₄ ( s ) сокращаются, оставляя ${\displaystyle \Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}}$ ${\displaystyle \Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}}$ $${\displaystyle 0=\oint _{\Gamma _{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma +\oint _{\Gamma _{3}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }$$

С другой стороны, c ₁ = Γ ₁ , так что желаемое равенство следует почти сразу. ${\displaystyle c_{3}=\ominus \Gamma _{3}}$

Консервативные силы

Выше теорема Гельмгольца дает объяснение, почему работа, совершаемая консервативной силой при изменении положения объекта, не зависит от пути. Сначала мы вводим Лемму 2-2, которая является следствием и частным случаем теоремы Гельмгольца.

Лемма 2-2. ^{[5] [6]} Пусть будет открытым подмножеством с пластинчатым векторным полем F и кусочно-гладкой петлей c ₀ : [0, 1] → U. Зафиксируем точку p ∈ U , если существует гомотопия H : [0, 1] × [0, 1] → U такая, что ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

• [SC0] H — кусочно-гладкая ,
• [SC1] H ( t , 0) = c ₀ ( t ) для всех t ∈ [0, 1] ,
• [SC2] H ( t , 1) = p для всех t ∈ [0, 1] ,
• [SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p для всех s ∈ [0, 1] .

Затем, $${\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0}$$

Вышеприведенная лемма 2-2 следует из теоремы 2–1. В лемме 2-2 существование H , удовлетворяющего [SC0] в [SC3], имеет решающее значение; вопрос в том, можно ли взять такую ​​гомотопию для произвольных петель. Если U односвязно, такое H существует. Определение односвязного пространства следует:

Определение 2-2 (односвязное пространство). ^{[5] [6]} Пусть непусто и линейно связно . M называется односвязным тогда и только тогда, когда для любой непрерывной петли, c : [0, 1] → M существует непрерывная трубчатая гомотопия H : [0, 1] × [0, 1] → M из c в фиксированную точку p ∈ c ; то есть, ${\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

• [SC0' ] H непрерывен ,
• [SC1] H ( t , 0) = c ( t ) для всех t ∈ [0, 1] ,
• [SC2] H ( t , 1) = p для всех t ∈ [0, 1] ,
• [SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p для всех s ∈ [0, 1] .

Утверждение, что «для консервативной силы работа, проделанная при изменении положения объекта, не зависит от пути», может показаться вытекающим немедленно, если M односвязно. Однако напомним, что односвязность гарантирует только существование непрерывной гомотопии, удовлетворяющей [SC1-3]; вместо этого мы ищем кусочно-гладкую гомотопию, удовлетворяющую этим условиям.

К счастью, разрыв в регулярности устраняется теоремой аппроксимации Уитни. ^{[6] : 136, 421  [12]} Другими словами, возможность нахождения непрерывной гомотопии, но невозможности интегрировать по ней, фактически устраняется с помощью высшей математики. Таким образом, мы получаем следующую теорему.

Теорема 2-2. ^{[5] [6]} Пусть открыто и односвязно с безвихревым векторным полем F. Для всех кусочно-гладких петель c : [0, 1] → U ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0}$$

Уравнения Максвелла

В физике электромагнетизма теорема Стокса дает обоснование эквивалентности дифференциальной формы уравнения Максвелла–Фарадея и уравнения Максвелла–Ампера и интегральной формы этих уравнений. Для закона Фарадея теорема Стокса применяется к электрическому полю : ${\displaystyle \mathbf {E} }$ $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}$$

Для закона Ампера теорема Стокса применяется к магнитному полю : ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}$$

Примечания

1. представляет собой набор изображений ${\displaystyle \Sigma =\psi (D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \psi }$
2. может не быть жордановой кривой, если петля плохо взаимодействует с . Тем не менее, всегда является петлей и топологически представляет собой связную сумму счетного числа жордановых кривых, так что интегралы определены корректно. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \Gamma }$
3. В этой статье, Обратите внимание, что в некоторых учебниках по векторному анализу они приписываются разным вещам. Например, в обозначениях некоторых учебников { eu , e _v } может означать следующее { t _u , t _v } соответственно. В этой статье, однако, это две совершенно разные вещи. _Здесь , и " " представляет евклидову норму . $${\displaystyle \mathbf {e} _{u}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{v}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {t} _{u}={\frac {1}{h_{u}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\,,\mathbf {t} _{v}={\frac {1}{h_{v}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}.}$$ $${\displaystyle h_{u}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right\|,h_{v}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right\|,}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$
4. Для всех , для всех квадратных матриц , и поэтому . ${\displaystyle {\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A;n\times n}$ ${\displaystyle {\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}}$ ${\displaystyle {\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {b}}\cdot A^{\mathsf {T}}{\textbf {a}}}$
5. В этой статье следует отметить, что в некоторых учебниках по векторному анализу эти понятия отнесены к разным вещам. $${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{3}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}.}$$
6. Существуют учебники, в которых термины «гомотопия» и «гомотопный» используются в смысле теоремы 2-1. ^[5] Действительно, это очень удобно для конкретной проблемы консервативных сил. Однако оба использования гомотопии встречаются достаточно часто, поэтому для устранения неоднозначности необходима некоторая терминология, и принятый здесь термин «трубчатая гомотопия» вполне подходит для этой цели.

Ссылки

1. Стюарт, Джеймс (2012). Исчисление – Ранние трансцендентали (PDF) (7-е изд.). Брукс/Коул . стр. 1122. ISBN 978-0-538-49790-9.
2. Нагаёси, Ивахори (1983). 微分積分学 (Бибун секибунгаку) (на японском языке). Шокабо. ISBN 978-4-7853-1039-4. OCLC  673475347.
3. Ацуо, Фудзимото (1979).現代数学レクチャーズ. C 1, ベクトル解析 (Gendai sūgaku rekuchāzu. C(1), Bekutoru kaiseki) (на японском языке). Байфукан. ОСЛК  674186011.
4. Гриффитс, Дэвид Дж. (2013). Введение в электродинамику (PDF) . Always learning (4-е изд.). Бостон: Pearson . стр. 34. ISBN 978-0-321-85656-2.
5. Конлон, Лоуренс (2008). Дифференцируемые многообразия. Современная классика Биркхойзера (2-е изд.). Бостон; Берлин: Биркхойзер . ISBN 978-0-8176-4766-7.
6. Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия. Выпускные тексты по математике. Том 218 (2-е изд.). Нью-Йорк; Лондон: Springer . ISBN 978-1-4419-9982-5.
7. Стюарт, Джеймс (2010). Essential calculus: early transcendentals. Австралия; США: Brooks/Cole . ISBN 978-0-538-49739-8.
8. Роберт Шейхл, конспект лекций по курсу математики в Университете Бата
9. Перес-Гарридо, А. (2024-05-01). «Восстановление редко используемых теорем векторного исчисления и их применение к проблемам электромагнетизма». American Journal of Physics . 92 (5): 354–359. arXiv : 2312.17268 . doi : 10.1119/5.0182191. ISSN  0002-9505.
10. Колли, Сьюзан Джейн (2012). Векторные исчисления (PDF) (4-е изд.). Бостон: Pearson. С. 500–3. ISBN 978-0-321-78065-2. OCLC  732967769.
11. Эдвардс, Гарольд М. (1994). Расширенный исчисление: подход дифференциальных форм (3-е изд.). Бостон: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3707-1.
12. Понтрягин, Л.С. (1959). «Гладкие многообразия и их приложения в теории гомотопий» (PDF) . Переводы Американского математического общества: Серия 2. 11. Перевод Хилтона, П. Дж. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 1–114. doi :10.1090/trans2/011/01. ISBN 978-0-8218-1711-7. МР  0115178.См. теоремы 7 и 8.