Теорема Кронекера

В математике теорема Кронекера — теорема о диофантовых приближениях, введенная Леопольдом Кронекером  (1884).

Теорема приближения Кронекера была впервые доказана Л. Кронекером в конце 19-го века. Теперь было обнаружено, что она связана с идеей n-тора и мерой Малера с конца 20-го века. С точки зрения физических систем, это имеет следствие, что планеты на круговых орбитах, движущиеся равномерно вокруг звезды, со временем примут все выравнивания, если только не будет точной зависимости между их орбитальными периодами.

Заявление

Теорема Кронекера представляет собой результат диофантовых приближений, применяемых к нескольким действительным числам x _i , для 1 ≤ i ≤ n , который обобщает теорему Дирихле об аппроксимации на случай нескольких переменных.

Классическая теорема Кронекера о приближении формулируется следующим образом.

Дано вещественное число n - кортежей и , условие: ${\displaystyle \alpha _{i}=(\alpha _{i1},\dots ,\alpha _{in})\in \mathbb {R} ^{n},i=1,\dots ,m}$ ${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\dots ,\beta _{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\exists q_{i},p_{j}\in \mathbb {Z} :{\biggl |}\sum _{i=1}^{m}q_{i}\alpha _{ij}-p_{j}-\beta _{j}{\biggr |}<\epsilon ,1\leq j\leq n}$

выполняется тогда и только тогда, когда для любого с ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}\in \mathbb {Z} ,\ i=1,\dots ,m}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\alpha _{ij}r_{j}\in \mathbb {Z} ,\ \ i=1,\dots ,m\ ,}$

число также является целым числом. ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\beta _{j}r_{j}}$

Проще говоря, первое условие гласит, что кортеж может быть сколь угодно хорошо аппроксимирован линейными комбинациями s (с целыми коэффициентами) и целочисленных векторов. ${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Для случая a и теорема Кронекера об аппроксимации может быть сформулирована следующим образом. ^[1] Для любого с иррациональным и существуют целые числа и с , такие, что ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\epsilon \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q>0}$

${\displaystyle |\alpha q-p-\beta |<\epsilon .}$

Отношение к торам

В случае N чисел, взятых как один N - кортеж и точка P тора

Т = Р ^Н /З ^Н ,

замыкание подгруппы < P > , порожденной P , будет конечным, или некоторый тор T′, содержащийся в T. Исходная теорема Кронекера ( Леопольд Кронекер , 1884) утверждала, что необходимое условие для

Т′ = Т ,

которое заключается в том, что числа x _i вместе с 1 должны быть линейно независимы над рациональными числами , также достаточно . Здесь легко видеть, что если некоторая линейная комбинация x i и 1 с ненулевыми коэффициентами рациональных чисел равна нулю, то коэффициенты могут быть взяты как целые числа, и _{характер} χ группы T, отличный от тривиального характера, принимает значение 1 на P . По двойственности Понтрягина мы имеем T′, содержащееся в ядре χ, и, следовательно, не равное T .

На самом деле тщательное использование двойственности Понтрягина здесь показывает, что вся теорема Кронекера описывает замыкание < P > как пересечение ядер χ с

χ( P ) = 1.

Это дает ( антитонный ) Галуа-коннектор между моногенными замкнутыми подгруппами T (теми, у которых есть один генератор в топологическом смысле) и множествами характеров с ядром, содержащим заданную точку. Не все замкнутые подгруппы встречаются как моногенные; например, подгруппа, имеющая тор размерности ≥ 1 в качестве связной компоненты единичного элемента, и которая не является связной, не может быть такой подгруппой.

Теорема оставляет открытым вопрос о том, насколько хорошо (равномерно) кратные mP P заполняют замыкание. В одномерном случае распределение равномерно по теореме о равнораспределении .

Смотрите также

• Критерий Вейля
• Теорема Дирихле о приближении

Ссылки

• Кронекер, Л. (1884), "Näherungsweise ganzzahlige Auflösung Linearer Gleichungen", Berl. Бер. : 1179–1193, 1271–1299 гг.
• Онищик, А.Л. (2001) [1994], "Теорема Кронекера", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press

1. "Теорема Кронекера об аппроксимации". Wolfram Mathworld . Получено 2019-10-26 .