Теоремы Мертенса

В аналитической теории чисел теоремы Мертенса — это три результата 1874 года, связанные с плотностью простых чисел, доказанные Францем Мертенсом . ^[1]

Ниже мы будем иметь в виду все простые числа, не превышающие n . ${\displaystyle p\leq n}$

Первая теорема

Первая теорема Мертенса состоит в том, что

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}-\log n}$

не превышает 2 по абсолютной величине для любого . (А083343) ${\displaystyle n\geq 2}$

Вторая теорема

Вторая теорема Мертенса :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log n-M\right)=0,}$

где M — константа Мейселя–Мертенса (A077761). Точнее, Мертенс ^[1] доказывает, что предельное выражение по абсолютной величине не превосходит

${\displaystyle {\frac {4}{\log(n+1)}}+{\frac {2}{n\log n}}}$

для любого . ${\displaystyle n\geq 2}$

Доказательство

Основным шагом в доказательстве второй теоремы Мертенса является

${\displaystyle O(n)+n\log n=\log n!=\sum _{p^{k}\leq n}\lfloor n/p^{k}\rfloor \log p=\sum _{p^{k}\leq n}\left({\frac {n}{p^{k}}}+O(1)\right)\log p=n\sum _{p^{k}\leq n}{\frac {\log p}{p^{k}}}\ +O(n)}$

где необходимо последнее равенство , которое следует из . ${\displaystyle \sum _{p^{k}\leq n}\log p=O(n)}$ ${\displaystyle \sum _{p\in (n,2n]}\log p\leq \log {2n \choose n}=O(n)}$

Таким образом, мы доказали, что

${\displaystyle \sum _{p^{k}\leq n}{\frac {\log p}{p^{k}}}=\log n+O(1)}$.

Поскольку сумма по простым степеням сходится, отсюда следует ${\displaystyle k\geq 2}$

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}=\log n+O(1)}$.

Частичное суммирование дает

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}=\log \log n+M+O(1/\log n)}$.

Изменения знака

В статье ^[2] о скорости роста функции суммы делителей , опубликованной в 1983 году, Гай Робин доказал, что во 2-й теореме Мертенса разность

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log n-M}$

меняет знак бесконечно часто, и что в 3-й теореме Мертенса разность

${\displaystyle \log n\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)-e^{-\gamma }}$

меняет знак бесконечно часто. Результаты Робина аналогичны знаменитой теореме Литтлвуда о том, что разность π( x ) − li( x ) бесконечно часто меняет знак. В случае 2-й и 3-й теорем Мертенса не известен аналог числа Скьюса (верхняя граница первого натурального числа x , для которого π( x ) > li( x )).

Связь с теоремой о простых числах

По поводу этой асимптотической формулы Мертенс в своей статье ссылается на «две любопытные формулы Лежандра» ^[1] , первая из которых является прототипом второй теоремы Мертенса (а вторая — прототипом третьей теоремы Мертенса: см. самые первые строки статьи). ). Он вспоминает, что она содержится в третьем издании Лежандра его «Теории чисел» (1830 г.; фактически она упоминается уже во втором издании 1808 г.), а также что более развернутая версия была доказана Чебышевым в 1851 г. ^{[3] ]} Заметим, что уже в 1737 г. Эйлер знал асимптотику этой суммы.

Мертенс дипломатично характеризует свое доказательство как более точное и строгое. На самом деле ни одно из предыдущих доказательств не приемлемо по современным стандартам: вычисления Эйлера включают бесконечность (и гиперболический логарифм бесконечности, и логарифм логарифма бесконечности!); Аргумент Лежандра эвристический; а доказательство Чебышева, хотя и совершенно обоснованное, использует гипотезу Лежандра-Гаусса, которая не была доказана до 1896 года и стала более известна как теорема о простых числах .

Доказательство Мертенса апеллирует не к какой-либо недоказанной гипотезе (1874 г.), а лишь к элементарному реальному анализу. Прошло 22 года до первого доказательства теоремы о простых числах, которое, напротив, опирается на тщательный анализ поведения дзета- функции Римана как функции комплексной переменной. Доказательство Мертенса в этом отношении замечательно. Действительно, в современных обозначениях это дает

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(1/\log x)}$

тогда как можно показать, что из теоремы о простых числах (в ее простейшей форме, без оценки погрешности) следует ^[4]

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1/\log x).}$

В 1909 году Эдмунд Ландау , используя лучшую версию теоремы о простых числах, имевшуюся на тот момент в его распоряжении, доказал ^[5] , что

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14}})}$

держит; в частности, член ошибки меньше, чем для любого фиксированного целого числа k . Простое суммирование по частям , использующее наиболее сильную известную форму теоремы о простых числах, улучшает ее до ${\displaystyle 1/(\log x)^{k}}$

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}})}$

для некоторых . ${\displaystyle c>0}$

Аналогично, частичное суммирование показывает, что подразумевается под PNT. ${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {\log p}{p}}=\log x+C+o(1)}$

Третья теорема

Третья теорема Мертена :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\log n\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma }\approx 0.561459483566885,}$

где γ — постоянная Эйлера–Машерони (A001620).

Связь с теорией сита

Оценка вероятности того, что ( ) не будет иметь множителя, определяется выражением ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\gg n}$ ${\displaystyle \leq n}$

${\displaystyle \prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$

Это тесно связано с третьей теоремой Мертенса, которая дает асимптотическое приближение

${\displaystyle P(p\nmid X\ \forall p\leq n)={\frac {1}{e^{\gamma }\log n}}}$

Рекомендации

1. Ф. Мертенс. Дж. Рейн Ангью. Математика. 78 (1874), 46–62 Эйн Бейтраг для аналитической теории
2. Робин, Г. (1983). «Sur l'ordre Maximum de la fonction Some des Diviseurs». Семинар Деланж-Пизо-Пуату, Теория чисел (1981–1982). Прогресс в математике . 38 : 233–244.
3. П.Л. Чебычев. Сюр-ла-функция, которая определяет совокупность имен премьер-министров. Мемуары, представленные в Имперской академии наук Санкт-Петербурга, от дайверов, VI 1851, 141–157
4. I.3 из: Г. Тененбаум. Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел. Перевод второго французского издания (1995 г.) CB Thomas. Кембриджские исследования по высшей математике, 46. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1995.
5. Эдмунд Ландау. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Тойбнер, Лейпциг, 1909 г., репр. Челси, Нью-Йорк, 1953, § 55, с. 197-203.

дальнейшее чтение

• Яглом и Яглом Сложные математические задачи с элементарными решениями Том 2, задачи 171, 173, 174

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Мертенс Констан». Математический мир .
• Варун Раджкумар, π(x) и решето Эратосфена