stringtranslate.com

Теорема Монски

В геометрии теорема Монски утверждает , что невозможно разрезать квадрат на нечетное число треугольников равной площади. [1] Другими словами, квадрат не имеет нечетной равнобедренной рассечки .

Задача была поставлена ​​Фредом Ричманом в American Mathematical Monthly в 1965 году и доказана Полом Монски в 1970 году. [2] [3] [4]

Доказательство

Квадрат можно разделить на четное число треугольников равной площади (слева), но на нечетное число треугольников лишь приблизительно равной площади (справа).

Доказательство Монски сочетает комбинаторные и алгебраические методы и в общих чертах выглядит следующим образом:

  1. Возьмем квадрат как единичный квадрат с вершинами в (0, 0), (0, 1), (1, 0) и (1, 1). Если есть разбиение на n треугольников равной площади, то площадь каждого треугольника равна 1/ n .
  2. Раскрасьте каждую точку квадрата в один из трех цветов в зависимости от 2-адической оценки ее координат.
  3. Покажите, что прямая линия может содержать точки только двух цветов.
  4. Используйте лемму Шпернера, чтобы показать, что каждая триангуляция квадрата на треугольники, соприкасающиеся ребром к ребру, должна содержать по крайней мере один треугольник, вершины которого имеют три разных цвета.
  5. Из свойства прямых линий следует, что трехцветный треугольник должен существовать и в каждом разбиении квадрата на треугольники, не обязательно пересекающиеся ребром к ребру.
  6. Используйте декартову геометрию, чтобы показать, что 2-адическая оценка площади треугольника, вершины которого имеют три разных цвета, больше 1. Таким образом, каждое разбиение квадрата на треугольники должно содержать по крайней мере один треугольник, площадь которого имеет 2-адическую оценку больше 1.
  7. Если n нечетно, то 2-адическая оценка 1/ n равна 1, поэтому невозможно разбить квадрат на треугольники, все из которых имеют площадь 1/ n . [5]

Оптимальные диссекции

По теореме Монски, необходимо иметь треугольники с разными площадями, чтобы разбить квадрат на нечетное число треугольников. Нижние границы для разностей площадей, которые должны быть получены для разбиения квадрата на нечетное число треугольников, и оптимальные разбиения были изучены. [6] [7] [8]

Обобщения

Теорему можно обобщить на более высокие измерения: n -мерный гиперкуб можно разделить на симплексы равного объема только в том случае, если число симплексов кратно n !. [2]

Ссылки

  1. ^ Айгнер, Мартин ; Циглер, Гюнтер М. (2010). «Один квадрат и нечетное число треугольников». Доказательства из Книги (4-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. С. 131–138. doi :10.1007/978-3-642-00856-6_20. ISBN 978-3-642-00855-9.
  2. ^ ab Xu, Moor (4 апреля 2012 г.). Лемма Шпернера (PDF) (Технический отчет). Калифорнийский университет в Беркли.
  3. ^ Монски, П. (1970). «О делении квадрата на треугольники». The American Mathematical Monthly . 77 (2): 161–164. doi :10.2307/2317329. JSTOR  2317329. MR  0252233.
  4. ^ Stein, S. (2004). Kleber, M.; Vakil, R. (ред.). «Разрезание многоугольника на треугольники равной площади». The Mathematical Intelligencer . 26 : 17–21. doi :10.1007/BF02985395. S2CID  117930135.
  5. ^ Verrill, HA (8 сентября 2004 г.). "Разделение квадрата на треугольники" (PDF) . Университет штата Луизиана. Архивировано из оригинала (PDF) 18 августа 2010 г. . Получено 2010-08-18 .
  6. ^ Мансоу, К. (2003), Ungerade Triangulierungen eines Quadrats von kleiner Diskrepanz (en. Нечетные триангуляции квадрата небольшого несоответствия) (Diplomarbeit), Германия: TU Berlin.
  7. ^ Шульце, Бернд (1 июля 2011 г.). «О разнице площадей триангуляций квадратов и трапеций». Электронный журнал комбинаторики . 18 (1): #P137. doi : 10.37236/624 . Zbl  1222.52017.
  8. ^ Лаббе, Жан-Филипп; Роте, Гюнтер; Циглер, Гюнтер М. (2018). «Границы разности площадей для разбиений квадрата на нечетное число треугольников». Experimental Mathematics . 29 (3): 1–23. arXiv : 1708.02891 . doi :10.1080/10586458.2018.1459961. S2CID  3995120.