Дружественные числа

Дружественные числа — это два разных натуральных числа, связанных таким образом, что сумма собственных делителей каждого равна другому числу. То есть s ( a )= b и s ( b )= a , где s ( n )=σ( n )-n равно сумме положительных делителей n, кроме самого n (см. также функцию делителя ).

Наименьшая пара дружественных чисел — ( 220 , 284 ). Они дружественны, потому что собственные делители числа 220 суть 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма которых равна 284; а собственные делители числа 284 — это 1, 2, 4, 71 и 142, сумма которых равна 220. (Правильный делитель числа — это положительный множитель этого числа, отличный от самого числа. Например, правильные делители числа из 6 это 1, 2 и 3.)

Первые десять дружественных пар: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), ( 17296, 18416), (63020, 76084) и (66928, 66992). (последовательность A259180 в OEIS ). (Также см. OEIS : A002025 и OEIS : A002046 ). Неизвестно, существует ли бесконечно много пар дружественных чисел.

Пара дружественных чисел образует аликвотную последовательность периода 2. Связанное с этим понятие — это понятие совершенного числа , которое представляет собой число, равное сумме своих собственных делителей, другими словами, число, которое образует аликвотную последовательность периода 1 . Числа, являющиеся членами аликвотной последовательности с периодом больше 2, называются общительными числами .

История

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много дружественных чисел?

(еще нерешенные задачи по математике)

Дружественные числа были известны пифагорейцам , которые приписывали им множество мистических свойств. Общая формула, по которой можно было вывести некоторые из этих чисел, была изобретена около 850 г. иракским математиком Табитом ибн Куррой (826–901). Другими арабскими математиками, изучавшими дружественные числа, являются аль-Маджрити (умер в 1007 г.), аль-Багдади (980–1037 гг.) и аль-Фариси (1260–1320 гг.). Иранский математик Мухаммад Бакир Язди (16 век) открыл пару (9363584, 9437056), хотя это часто приписывают Декарту . ^[1] Большая часть работ восточных математиков в этой области забыта.

Формула Табита ибн Курры была заново открыта Ферма (1601–1665) и Декартом (1596–1650), которым ее иногда приписывают, и расширена Эйлером ( 1707–1783). В 1972 году Борхо расширил его. Ферма и Декарт также заново открыли пары дружественных чисел, известные арабским математикам. Эйлер также открыл десятки новых пар. ^[2] Вторая наименьшая пара (1184, 1210) была открыта в 1867 году 16-летним Б. Николо И. Паганини (не путать с композитором и скрипачом), хотя ранние математики ее не заметили. ^[3]^[4]

По состоянию на 16 марта 2024 года ^{[обновлять]}известно более 1 228 891 906 дружественных пар. ^[5]

Правила генерации

Хотя эти правила действительно генерируют некоторые пары дружественных чисел, известно множество других пар, поэтому эти правила ни в коем случае не являются всеобъемлющими.

В частности, два приведенных ниже правила производят только четные дружественные пары, поэтому они не представляют интереса для открытой проблемы поиска дружественных пар, взаимно простых с 210 = 2·3·5·7, в то время как более 1000 пар взаимно простых с 30 = 2·3 ·5 известны [García, Pedersen & te Riele (2003), Sándor & Crstici (2004)].

Теорема Сабита ибн Курры

Теорема Табита ибн Курры — метод открытия дружественных чисел, изобретенный в 9 веке арабским математиком Сабитом ибн Куррой . ^[6]

В нем говорится, что если

{\begin{aligned}p&=3\times 2^{n-1}-1,\\q&=3\times 2^{n}-1,\\r&=9\times 2^{2n -1}-1,\end{aligned}}

где $n > 1$ — целое число , а $p, q, r$ — простые числа , то $2 n \times p \times q$ и $2 n \times r$ — пара дружественных чисел. Эта формула дает пары $(220, 284)$ для $n = 2$ , $(17296, 18416)$ для $n = 4$ и $(9363584, 9437056)$ для $n = 7$ , но другие такие пары неизвестны. Числа вида $3 \times 2 n - 1$ известны как числа Табита . Чтобы формула Ибн Курры образовала дружественную пару, два последовательных числа Сабита должны быть простыми; это серьезно ограничивает возможные значения $n$ .

Чтобы доказать теорему, Сабит ибн Курра доказал девять лемм, разделенных на две группы. Первые три леммы касаются определения кратных частей натурального целого числа . Вторая группа лемм более конкретно касается образования совершенных, избыточных и дефицитных чисел. ^[6]

правило Эйлера

Правило Эйлера является обобщением теоремы Сабита ибн Курры. В нем говорится, что если

{\begin{aligned}p&=(2^{n-m}+1)\times 2^{m}-1,\\q&=(2^{n-m}+1)\times 2^{n}-1,\\r&=(2^{n-m}+1)^{2}\times 2^{m+n}-1,\end{aligned}}

n > m > 0

целые числа

p, q, r

простые числа

2 n \times p \times q

2 n \times r

m = n - 1

(m, n) = (1,8), (29,40),

^[2]^[7]

Обычные пары

Пусть ( $m$ , $n$ ) — пара дружественных чисел с $m < n$ , и запишите $m = gM$ и $n = gN$ $,$ где $g$ — наибольший общий делитель m $и$ n . Если $M$ и $N$ взаимно просты с $g$ и свободны от квадратов , то пара ( $m$ , $n$ ) называется регулярной (последовательность A215491 в OEIS ); в противном случае его называют нерегулярным или экзотическим . Если ( $m$ , $n$ ) является регулярным и $M$ и $N$ имеют $i$ и $j$ простых множителей соответственно, то $($ $m$ $,$ $n$ $)$ называется типом $($ $i$ $,$ $j$ $)$ .

Например, при $(m, n) = (220, 284)$ наибольший общий делитель равен $4$ , поэтому $M = 55$ и $N = 71$ . Следовательно, $(220, 284)$ регулярно типа $(2, 1)$ .

Дружественные пары-близнецы

Дружественная пара $(m, n) является близнецом, если между$ $m$ и $n$ нет целых чисел, принадлежащих какой-либо другой дружественной паре (последовательность A273259 в OEIS ).

Другие результаты

В каждом известном случае числа пары либо четные , либо оба нечетные. Неизвестно, существует ли четно-нечетная пара дружественных чисел, но если это так, то четное число должно быть либо квадратным числом, либо дважды единицей, а нечетное число должно быть квадратным числом. Однако дружественные числа, в которых два члена имеют разные наименьшие простые делители, существуют: известно семь таких пар. ^[8] Кроме того, каждая известная пара имеет хотя бы один общий простой делитель . Неизвестно, существует ли пара взаимно простых дружественных чисел, но если они существуют, то произведение этих двух чисел должно быть больше 10 ⁶⁷ . ^{[ нужна цитация ]} Кроме того, пара взаимно простых дружественных чисел не может быть получена ни по формуле Табита (см. выше), ни по какой-либо аналогичной формуле.

В 1955 году Пол Эрдеш показал, что плотность дружественных чисел относительно целых положительных чисел равна 0. ^[9]

В 1968 году Мартин Гарднер заметил, что большинство известных в его время даже дружественных пар имеют суммы, делящиеся на 9, ^[10] и было получено правило для характеристики исключений (последовательность A291550 в OEIS ). ^[11]

Согласно гипотезе о сумме дружественных пар, когда число дружественных чисел приближается к бесконечности, процент сумм дружественных пар, делящихся на десять, приближается к 100% (последовательность A291422 в OEIS ). Хотя все дружественные пары до 10 000 являются четными, доля нечетных дружественных пар неуклонно увеличивается в сторону большего числа, и предположительно их больше, чем четных дружественных пар (A360054 в OEIS).

Существуют гауссовские дружественные пары. ^[12]

Обобщения

Дружественные кортежи

Дружественные числа удовлетворяют и которые можно записать вместе как . Это можно обобщить на более крупные кортежи, скажем , где нам требуется $(m,n)$ $\sigma (m)-m=n$ $\sigma (n)-n=m$ $\sigma (m)=\sigma (n)=m+n$ $(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k})$

\sigma (n_{1})=\sigma (n_{2})=\dots =\sigma (n_{k})=n_{1}+n_{2}+\dots +n_{k}

Например, (1980, 2016, 2556) — дружественная тройка (последовательность A125490 в OEIS ), а (3270960, 3361680, 3461040, 3834000) — дружественная четверка (последовательность A036471 в OEIS ).

Дружественные мультимножества определяются аналогично и немного обобщают это (последовательность A259307 в OEIS ).

Общительные номера

Общительные числа — это числа в циклических списках чисел (длиной больше 2), где каждое число представляет собой сумму собственных делителей предыдущего числа. Например, являются общительными числами порядка 4. $1264460\mapsto 1547860\mapsto 1727636\mapsto 1305184\mapsto 1264460\mapsto \dots$

Поиск общительных номеров

Последовательность аликвот можно представить в виде ориентированного графа , , для заданного целого числа , где обозначает сумму собственных делителей . ^[13]Циклы представляют собой общительные числа в интервале . Двумя особыми случаями являются циклы, представляющие совершенные числа , и циклы длины два, представляющие дружественные пары . $G_{n,s}$ $n$ $s(k)$ $k$ $G_{n,s}$ $[1,n]$

Упоминания в популярной культуре

Дружеские числа фигурируют в романе Ёко Огавы « Экономка и профессор» и снятом по нему японском фильме .
В сборнике рассказов Пола Остера под названием «Правдивые истории американской жизни» есть рассказ («Математический афродизиак» Алекса Галта), в котором важную роль играют дружественные числа.
Дружественные числа кратко представлены в романе Реджинальда Хилла «Незнакомый дом » .
Дружественные числа упоминаются во французском романе Дени Геджа «Теорема попугая» .
Дружеские номера упоминаются в JRPG Persona 4 Golden .
Дружественные числа представлены в визуальном романе Rewrite .
Дружественные числа (220, 284) упоминаются в 13 серии корейской драмы «Анданте» 2017 года .
Дружеские числа фигурируют в греческом фильме « Другой я» (фильм 2016 года) .
Дружественные числа обсуждаются в книге « Реальны ли числа?». Брайан Клегг .
Дружественные числа упоминаются в романе Колума Макканна «Апейрогон» 2020 года .

Смотрите также

Обрученные числа (квазидружественные числа)
Дружественная тройка — трехзначная вариация Дружественных чисел.

Примечания

^ Костелло, Патрик (1 мая 2002 г.). «Новые дружественные пары типа (2; 2) и типа (3; 2)» (PDF) . Математика вычислений . 72 (241): 489–497. doi : 10.1090/S0025-5718-02-01414-X. Архивировано (PDF) из оригинала 29 февраля 2008 г. Проверено 19 апреля 2007 г.
^ аб Сандифер, К. Эдвард (2007). Как Эйлер это сделал . Математическая ассоциация Америки . стр. 49–55. ISBN 978-0-88385-563-8.
↑ Спруньоли, Ренцо (27 сентября 2005 г.). «Introduzione alla matematica: La matematica della scuola media» (PDF) (на итальянском языке). Universita degli Studi di Firenze: Dipartimento di Sistemi e Informatica. п. 59. Архивировано из оригинала (PDF) 13 сентября 2012 года . Проверено 21 августа 2012 года .
^ Мартин Гарднер (2020) [первоначально опубликовано в 1977 году]. Математическое магическое шоу. Американское математическое общество . п. 168. ИСБН 9781470463588. Архивировано из оригинала 12 сентября 2023 г. Проверено 18 марта 2023 г.
^ Черных, Сергей. «Список дружеских пар». Архивировано из оригинала 16 августа 2017 г. Проверено 16 марта 2024 г.
^ Аб Рашид, Рошди (1994). Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй . Том. 156. Дордрехт, Бостон, Лондон: Kluwer Academic Publishers. п. 278 279. ISBN 978-0-7923-2565-9.
^ См. Уильяма Данэма в видео: Вечер с Леонардом Эйлером - YouTube, архивировано 16 мая 2016 г. на Wayback Machine.
^ "Новости дружных пар". Архивировано из оригинала 18 июля 2021 г. Проверено 31 января 2016 г.
^ Эрдеш, Пол (2022). «О дружных числах» (PDF) . Публикации Mathematicae Дебрецен . 4 (1–2): 108–111. дои : 10.5486/PMD.1955.4.1-2.16. S2CID 253787916. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
^ Гарднер, Мартин (1968). «Математические игры». Научный американец . 218 (3): 121–127. Бибкод : 1968SciAm.218c.121G. doi : 10.1038/scientificamerican0368-121. ISSN 0036-8733. JSTOR 24926005. Архивировано из оригинала 25 сентября 2022 г. Проверено 7 сентября 2020 г.
^ Ли, Элвин (1969). «О делимости на девять сумм четных дружественных пар». Математика вычислений . 23 (107): 545–548. дои : 10.2307/2004382 . ISSN 0025-5718. JSTOR 2004382.
^ Патрик Костелло, Рэнтони AC Эдмондс. «Дружественные пары по Гауссу». Журнал математических наук Миссури, 30 (2) 107–116, ноябрь 2018 г.
^ Роча, Родриго Каэтано; Татте, Бхалчандра (2015), Обнаружение распределенных циклов в крупномасштабных разреженных графах , Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO), doi : 10.13140/RG.2.1.1233.8640

Внешние ссылки

М. Гарсиа; Дж. М. Педерсен; HJJ те Риле (31 июля 2003 г.). «Дружественные пары, опрос» (PDF) . Отчет MAS-R0307 .
Грайм, Джеймс. «220 и 284 (Дружественные числа)». Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 16 июля 2017 г. Проверено 2 апреля 2013 г.
Грайм, Джеймс. «MegaFavNumbers - гипотеза о четных числах». YouTube . Архивировано из оригинала 23 ноября 2021 г. Проверено 9 июня 2020 г.
Куцуку-Аргираки, Анжелики (4 августа 2020 г.). «Дружественные числа (разработка формальных доказательств в Isabelle/HOL, Архив формальных доказательств)».
Черных, Сергей. «Список дружеских пар» . Проверено 10 сентября 2023 г.(база данных всех известных дружеских номеров)