В теории гомотопий (раздел математики ) теорема Уайтхеда утверждает, что если непрерывное отображение f между CW-комплексами X и Y индуцирует изоморфизмы на всех гомотопических группах , то f является гомотопической эквивалентностью . Этот результат был доказан Дж. Х. Уайтхедом в двух знаковых работах 1949 года и дает обоснование для работы с понятием CW-комплекса, которое он там ввел. Это модельный результат алгебраической топологии , в котором поведение определенных алгебраических инвариантов (в данном случае гомотопических групп) определяет топологическое свойство отображения.
Более подробно, пусть X и Y — топологические пространства . Дано непрерывное отображение
и точку x в X , рассмотрим для любого n ≥ 0 индуцированный гомоморфизм
где π n ( X , x ) обозначает n -ю гомотопическую группу X с базовой точкой x . (Для n = 0 π 0 ( X ) просто означает множество компонентов пути X .) Отображение f является слабой гомотопической эквивалентностью, если функция
является биективным , и гомоморфизмы являются биективными для всех x из X и всех n ≥ 1. (Для линейно-связных X и Y первое условие выполняется автоматически, и достаточно сформулировать второе условие для одной точки x из X. ) Теорема Уайтхеда утверждает, что слабая гомотопическая эквивалентность из одного комплекса CW в другой является гомотопической эквивалентностью. (То есть отображение f : X → Y имеет гомотопически обратное g : Y → X , что совсем не ясно из предположений.) Это подразумевает тот же вывод для пространств X и Y , которые гомотопически эквивалентны комплексам CW.
Объединение этого с теоремой Гуревича дает полезное следствие: непрерывное отображение между односвязными CW-комплексами, которое индуцирует изоморфизм на всех целочисленных группах гомологии , является гомотопической эквивалентностью.
Предупреждение: недостаточно предположить, что π n ( X ) изоморфно π n ( Y ) для каждого n , чтобы заключить, что X и Y гомотопически эквивалентны. На самом деле нужно отображение f : X → Y , индуцирующее изоморфизм на гомотопических группах. Например, возьмем X = S 2 × RP 3 и Y = RP 2 × S 3 . Тогда X и Y имеют одну и ту же фундаментальную группу , а именно циклическую группу Z /2, и одно и то же универсальное покрытие, а именно S 2 × S 3 ; таким образом, они имеют изоморфные гомотопические группы. С другой стороны, их группы гомологии различны (как можно видеть из формулы Кюннета ); таким образом, X и Y не являются гомотопически эквивалентными.
Теорема Уайтхеда не верна для общих топологических пространств или даже для всех подпространств R n . Например, Варшавская окружность , компактное подмножество плоскости, имеет все гомотопические группы равные нулю, но отображение из Варшавской окружности в одну точку не является гомотопической эквивалентностью. Изучение возможных обобщений теоремы Уайтхеда на более общие пространства является частью предмета теории форм .
В любой модельной категории слабая эквивалентность между кофибрантными объектами является гомотопической эквивалентностью.
