В математике набор IP — это набор натуральных чисел , который содержит все конечные суммы некоторого бесконечного набора .
Конечные суммы множества натуральных чисел D — это все те числа, которые можно получить сложением элементов некоторого конечного непустого подмножества D. Множество всех конечных сумм над D часто обозначается как FS( D ). В более общем смысле, для последовательности натуральных чисел ( n i ) можно рассматривать множество конечных сумм FS(( n i )), состоящее из сумм всех подпоследовательностей конечной длины из ( n i ).
Набор натуральных чисел A является набором IP, если существует бесконечное множество D такое, что FS( D ) является подмножеством A . Эквивалентно, можно потребовать, чтобы A содержал все конечные суммы FS(( ni ) ) последовательности ( ni ) .
Некоторые авторы дают несколько иное определение наборов IP: они требуют, чтобы FS( D ) равнялся A , а не был просто подмножеством.
Термин «множество IP» был придуман Гиллелем Фюрстенбергом и Бенджамином Вайсом [1] [ 2 ] для сокращения « бесконечномерного параллелепипеда ». По счастливой случайности аббревиатуру IP также можно расширить до « idempotent » [3] (множество является IP тогда и только тогда, когда оно является членом идемпотентного ультрафильтра ).
Если — набор IP и , то хотя бы один — набор IP. Это известно как теорема Хиндмана или теорема о конечных суммах . [4] [5] Другими словами, теорема Хиндмана утверждает, что класс множеств IP является регулярным по разделам .
Поскольку набор натуральных чисел сам по себе является набором IP, а разбиения также можно рассматривать как раскраски, можно переформулировать частный случай теоремы Хиндмана в более привычных терминах: предположим, что натуральные числа «раскрашены» в n различных цветов; каждому натуральному числу соответствует один и только один цвет. Тогда существует цвет c и бесконечное множество D натуральных чисел, окрашенных в цвет c , такие, что каждая конечная сумма по D также имеет цвет c .
Теорема Хиндмана названа в честь математика Нила Хиндмана, который доказал ее в 1974 году. [4] Теорема Милликена-Тейлора является общим обобщением теоремы Хиндмана и теоремы Рэмси .
Определение IP было расширено за счет подмножеств специальной полугруппы натуральных чисел с добавлением подмножеств полугрупп и частичных полугрупп в целом. Вариант теоремы Хиндмана верен для произвольных полугрупп. [6] [7]
{{cite book}}
: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )