stringtranslate.com

IP-набор

В математике набор IP — это набор натуральных чисел , который содержит все конечные суммы некоторого бесконечного набора .

Конечные суммы множества натуральных чисел D — это все те числа, которые можно получить сложением элементов некоторого конечного непустого подмножества D. Множество всех конечных сумм над D часто обозначается как FS( D ). В более общем смысле, для последовательности натуральных чисел ( n i ) можно рассматривать множество конечных сумм FS(( n i )), состоящее из сумм всех подпоследовательностей конечной длины из ( n i ).

Набор натуральных чисел A является набором IP, если существует бесконечное множество D такое, что FS( D ) является подмножеством A . Эквивалентно, можно потребовать, чтобы A содержал все конечные суммы FS(( ni ) ) последовательности ( ni ) .

Некоторые авторы дают несколько иное определение наборов IP: они требуют, чтобы FS( D ) равнялся A , а не был просто подмножеством.

Термин «множество IP» был придуман Гиллелем Фюрстенбергом и Бенджамином Вайсом [1] [ 2 ] для сокращения « бесконечномерного параллелепипеда ». По счастливой случайности аббревиатуру IP также можно расширить до « idempotent » [3] (множество является IP тогда и только тогда, когда оно является членом идемпотентного ультрафильтра ).

Теорема Хиндмана

Если — набор IP и , то хотя бы один — набор IP. Это известно как теорема Хиндмана или теорема о конечных суммах . [4] [5] Другими словами, теорема Хиндмана утверждает, что класс множеств IP является регулярным по разделам .

Поскольку набор натуральных чисел сам по себе является набором IP, а разбиения также можно рассматривать как раскраски, можно переформулировать частный случай теоремы Хиндмана в более привычных терминах: предположим, что натуральные числа «раскрашены» в n различных цветов; каждому натуральному числу соответствует один и только один цвет. Тогда существует цвет c и бесконечное множество D натуральных чисел, окрашенных в цвет c , такие, что каждая конечная сумма по D также имеет цвет c .

Теорема Хиндмана названа в честь математика Нила Хиндмана, который доказал ее в 1974 году. [4] Теорема Милликена-Тейлора является общим обобщением теоремы Хиндмана и теоремы Рэмси .

Полугруппы

Определение IP было расширено за счет подмножеств специальной полугруппы натуральных чисел с добавлением подмножеств полугрупп и частичных полугрупп в целом. Вариант теоремы Хиндмана верен для произвольных полугрупп. [6] [7]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Фюрстенберг, Х .; Вайс, Б. (1978). «Топологическая динамика и комбинаторная теория чисел». Журнал Математического Анализа . 34 : 61–85. дои : 10.1007/BF02790008 .
  2. ^ Гарри, Фюрстенберг (июль 2014 г.). Рекуррентность в эргодической теории и комбинаторной теории чисел . Принстон, Нью-Джерси. ISBN 9780691615363. OCLC  889248822.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  3. ^ Бергельсон, В.; Лейбман, А. (2016). «Наборы больших значений корреляционных функций для полиномиальных кубических конфигураций». Эргодическая теория и динамические системы . 38 (2): 499–522. дои : 10.1017/etds.2016.49. ISSN  0143-3857. S2CID  31083478.
  4. ^ аб Хиндман, Нил (1974). «Конечные суммы из последовательностей внутри ячеек раздела N». Журнал комбинаторной теории . Серия А. 17 (1): 1–11. дои : 10.1016/0097-3165(74)90023-5 . hdl : 10338.dmlcz/127803 .
  5. ^ Баумгартнер, Джеймс Э. (1974). «Краткое доказательство теоремы Хиндмана». Журнал комбинаторной теории . Серия А. 17 (3): 384–386. дои : 10.1016/0097-3165(74)90103-4 .
  6. ^ Голаны, Гили; Цабан, Вооз (2013). «Теорема Хиндмана о раскраске в произвольных полугруппах». Журнал алгебры . 395 : 111–120. arXiv : 1303.3600 . дои : 10.1016/j.jalgebra.2013.08.007 . S2CID  11437903.
  7. ^ Хиндман, Нил; Штраус, Дона (1998). Алгебра в компактификации Стоуна-Чеха: теория и приложения . Нью-Йорк: Уолтер де Грюйтер. ISBN 311015420X. ОСЛК  39368501.

дальнейшее чтение