теорема де Рама

В математике, а точнее в дифференциальной геометрии , теорема де Рама гласит, что кольцевой гомоморфизм из когомологий де Рама в сингулярные когомологии, заданные интегрированием, является изоморфизмом .

Из леммы Пуанкаре следует, что когомологии де Рама являются когомологиями пучка с постоянным пучком . Таким образом, по абстрактной причине когомологии де Рама изоморфны как группа сингулярным когомологиям. Но теорема де Рама дает более явный изоморфизм между двумя когомологиями; таким образом, связывая анализ и топологию более непосредственно. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Заявление

Гомоморфизм де Рама хорошо определен, поскольку для любого , представляющего один и тот же класс гомологии , и если является точной формой, то ${\displaystyle {\widetilde {c}},{\widetilde {c}}'}$ ${\displaystyle {\widetilde {c}}-{\widetilde {c}}'=\partial {\widetilde {b}}}$ ${\displaystyle \int _{\widetilde {c}}\omega -\int _{{\widetilde {c}}'}\omega =0'}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \int _{\widetilde {c}}\omega =0}$

Ключевая часть теоремы — построение гомоморфизма де Рама. ^[1] Пусть M — многообразие. Тогда существует отображение

${\displaystyle k:\Omega ^{p}(M)\to S_{{\mathcal {C}}^{\infty }}^{p}(M)}$

из пространства дифференциальных p -форм в пространство гладких сингулярных p -коцепей, заданное формулой

${\displaystyle \omega \mapsto \left(\sigma \mapsto \int _{\sigma }\omega \right).}$

Из формулы Стокса следует: ; т.е. является цепным отображением и поэтому индуцирует: ${\displaystyle k\circ d=\partial \circ k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle [k]:\operatorname {H} _{\textrm {deRham}}^{*}(M)\to \operatorname {H} _{\infty -\mathrm {sing} }^{*}(M)}$

где эти когомологии являются когомологиями с действительными коэффициентами и , соответственно. Как оказывается, является кольцевым гомоморфизмом и называется гомоморфизмом де Рама . Нетрудно показать, что гомоморфизм де Рама является естественным преобразованием между функтором когомологий де Рама и функтором сингулярных когомологий. ${\displaystyle \Omega ^{*}(M)}$ ${\displaystyle S_{{\mathcal {C}}^{\infty }}^{*}(M)}$ ${\displaystyle [k]}$

Наконец, теорема утверждает, что индуцированный гомоморфизм является изоморфизмом (т.е. биекцией). ^[2] ${\displaystyle [k]}$

Существует также вариант теоремы, который утверждает, что когомологии де Рама кольца M изоморфны его когомологиям Чеха. ^[3] Эта версия Чеха по сути принадлежит Андре Вейлю.

Обсуждение

При рассмотрении сингулярных когомологий с коэффициентами в другой абелевой группе, например, целых чисел, то, конечно, не следует ожидать подобного изоморфизма. Бутылка Клейна , например, имеет группу гомологий , и поскольку когомологии с вещественными коэффициентами не учитывают никаких конечных (более общо, торсионных) групп, мы имеем . Это действительно совпадает с соответствующей группой когомологий де Рама. ${\displaystyle H_{1}(K)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle H^{1}(K;\mathbb {R} )=\mathbb {R} }$

Как указано выше, гомоморфизм де Рама является изоморфизмом между когомологиями де Рама и гладкими сингулярными когомологиями с действительными коэффициентами, то есть когомологиями относительно гладких цепей. Однако технический результат подразумевает, что сингулярные группы гомологий совпадают с гладкими сингулярными группами гомологий. Это показывает, что теорема де Рама на самом деле показывает изоморфизм между когомологиями де Рама и (негладкими) сингулярными группами когомологий (с действительными коэффициентами).

Идея доказательства

Одно доказательство примерно следует этим идеям ^[4] : ​​Назовем многообразие «де Рамом», если теорема для него верна. Назовем открытое покрытие многообразия «покрытием де Рамом», если все элементы покрытия являются покрытиями де Рамом, а также все их конечные пересечения. Покажем, что выпуклые множества в являются покрытиями де Рамом, в основном по гомотопической инвариантности обеих рассматриваемых когомологий. Затем, с помощью последовательности Майера-Виеториса, покажем индуктивно, что многообразия, имеющие конечное покрытие де Рамом, являются покрытиями де Рамом. Затем результат распространяется на многообразия, имеющие базис, который является покрытием де Рамом. Этот шаг более технический. Наконец, легко показать, что открытые подмножества и, следовательно, любое многообразие имеют базис, который является покрытием де Рамом. Таким образом, вызывая предыдущий шаг, завершаем доказательство. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Версия с единственной гомологией

Существует также версия теоремы, включающая сингулярные гомологии вместо когомологий. Она гласит, что спаривание

${\displaystyle (\omega ,\sigma )\mapsto \int _{\sigma }\omega }$

индуцирует совершенное спаривание между когомологиями де Рама и (гладкими) сингулярными гомологиями; а именно,

${\displaystyle \operatorname {H} _{\mathrm {deRham} }^{*}(M)\to \operatorname {H} _{*}^{\mathrm {sing} }(M)^{*},\,[\omega ]\mapsto \left([\sigma ]\mapsto \int _{\sigma }\omega \right)}$

является изоморфизмом векторных пространств. ^[5]

Эта теорема имеет следующее следствие (знакомое из исчисления); а именно, замкнутая дифференциальная форма точна тогда и только тогда, когда ее интегрирование по произвольным циклам равно нулю. Для однократной формы это означает, что замкнутая однократная форма точна (т.е. допускает потенциальную функцию) тогда и только тогда, когда не зависит от пути . Это в точности утверждение в исчислении. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \int _{\gamma }\omega }$ ${\displaystyle \gamma }$

Текущая версия

Существует также версия теоремы де Рама для токов (дифференциальная форма с коэффициентами распределения), которая гласит, что сингулярные когомологии могут быть вычислены как когомологии комплекса токов. ^[6] Эта версия слабее в том смысле, что изоморфизм не является кольцевым гомоморфизмом (поскольку токи нельзя умножать, и поэтому пространство токов не является кольцом).

Ссылки

1. Уорнер 1983, 5.35.
2. Уорнер 1983, 5.36., 5.45.
3. Приложение D. к Conlon, Lawrence (2001). Дифференцируемые многообразия (2-е изд.). Springer. doi :10.1007/978-0-8176-4767-4. ISBN 978-0-8176-4766-7.
4. Ли 2012, стр. Глава 18 harvnb error: no target: CITEREFLee2012 (help)
5. Уорнер 1983, 4.17.
6. Гриффитс и Харрис 1994 ^{[ нужна страница ]}

• Гриффитс, Филлип; Харрис, Джозеф (1994). Принципы алгебраической геометрии . doi :10.1002/9781118032527. ISBN 978-0-471-05059-9.
• Джон М. Ли (2012). Введение в гладкие многообразия. doi :10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9981-8 . 
• Уорнер, Фрэнк В. (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-90894-3.
• Вейль, Андре (1952). «Сюр-ле-теоремы де Рам». Комментарии по математике Helvetici . 26 : 119–145. дои : 10.1007/BF02564296. S2CID  124799328.