Теорема о биссектрисе угла

Геометрическая теорема, связывающая длины двух отрезков, разделяющих треугольник

Теорема утверждает, что для любого треугольника ∠ DAB и ∠ DAC, где AD — биссектриса, тогда ${\displaystyle |BD|:|CD|=|AB|:|AC|.}$

В геометрии теорема о биссектрисе угла касается относительных длин двух отрезков , на которые делится сторона треугольника линией , делящей пополам противолежащий угол . Она приравнивает их относительные длины к относительным длинам двух других сторон треугольника.

Обратите внимание, что эту теорему не следует путать с теоремой о вписанном угле , которая также включает деление угла пополам (но угла треугольника, вписанного в окружность).

Теорема

Рассмотрим треугольник △ ABC . Пусть биссектриса угла ∠ A пересекает сторону BC в точке D между B и C. Теорема о биссектрисе угла утверждает, что отношение длины отрезка BD к длине отрезка CD равно отношению длины стороны AB к длине стороны AC :

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BA|}{|CA|}},}$

и наоборот , если точка D на стороне BC треугольника △ ABC делит BC в том же отношении , что и стороны AB и AC , то AD является биссектрисой угла ∠ A.

Обобщенная теорема о биссектрисе угла утверждает, что если D лежит на прямой BC , то

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BA|\sin \angle DAB}{|CA|\sin \angle DAC}}.}$

Это сводится к предыдущей версии, если AD является биссектрисой ∠ BAC . Когда D является внешним по отношению к отрезку BC , в расчетах необходимо использовать направленные отрезки и направленные углы.

Теорема о биссектрисе угла обычно используется, когда известны биссектрисы угла и длины сторон. Она может быть использована в расчетах или в доказательстве.

Непосредственным следствием теоремы является то, что биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника также делит пополам противолежащую сторону.

Доказательства

Существует много различных способов доказательства теоремы о биссектрисе угла. Некоторые из них показаны ниже.

Доказательство с использованием подобных треугольников.

Анимированная иллюстрация теоремы о биссектрисе угла.

Как показано в прилагаемой анимации, теорему можно доказать с помощью подобных треугольников. В версии, проиллюстрированной здесь, треугольник отражается относительно линии, перпендикулярной биссектрисе угла , в результате чего получается треугольник с биссектрисой . Тот факт, что углы и , полученные делением пополам, равны, означает, что и являются прямыми. Это позволяет построить треугольник , подобный . Поскольку соотношения между соответствующими сторонами подобных треугольников все равны, отсюда следует, что . Однако был построен как отражение линии , и поэтому эти две линии имеют одинаковую длину. Следовательно, , что дает результат, заявленный в теореме. ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle AD}$ ${\displaystyle \triangle AB_{2}C_{2}}$ ${\displaystyle AD_{2}}$ ${\displaystyle \angle BAD}$ ${\displaystyle \angle CAD}$ ${\displaystyle BAC_{2}}$ ${\displaystyle CAB_{2}}$ ${\displaystyle \triangle C_{2}BC}$ ${\displaystyle \triangle ABD}$ ${\displaystyle |AB|/|AC_{2}|=|BD|/|CD|}$ ${\displaystyle AC_{2}}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle |AB|/|AC|=|BD|/|CD|}$

Доказательство с использованием закона синусов

На приведенной выше диаграмме воспользуйтесь теоремой синусов для треугольников △ ABD и △ ACD :

Углы ∠ ADB и ∠ ADC образуют линейную пару, то есть являются смежными дополнительными углами . Поскольку дополнительные углы имеют равные синусы,

${\displaystyle {\sin \angle ADB}={\sin \angle ADC}.}$

Углы ∠ DAB и ∠ DAC равны. Следовательно, правые части уравнений ( 1 ) и ( 2 ) равны, поэтому их левые части также должны быть равны.

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},}$

что является теоремой о биссектрисе угла.

Если углы ∠ DAB , ∠ DAC не равны, уравнения ( 1 ) и ( 2 ) можно переписать как:

${\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle DAB=\sin \angle ADB},}$

${\displaystyle {{\frac {|AC|}{|CD|}}\sin \angle DAC=\sin \angle ADC}.}$

Углы ∠ ADB , ∠ ADC по-прежнему являются дополнительными, поэтому правые части этих уравнений по-прежнему равны, поэтому мы получаем:

${\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle DAB={\frac {|AC|}{|CD|}}\sin \angle DAC},}$

что приводит к «обобщенной» версии теоремы.

Доказательство с использованием высот треугольника

Пусть D — точка на прямой BC , не равная B или C и такая, что AD не является высотой треугольника △ ABC .

Пусть B ₁ будет основанием (подошвой) высоты в треугольнике △ ABD, проходящей через B , и пусть C ₁ будет основанием высоты в треугольнике △ ACD, проходящей через C. Тогда, если D находится строго между B и C , один и только один из B ₁ или C ₁ лежит внутри △ ABC , и можно предположить без потери общности , что B ₁ лежит. Этот случай изображен на соседней диаграмме. Если D лежит вне отрезка BC , то ни B ₁ , ни C ₁ не лежат внутри треугольника.

∠ DB ₁ B , ∠ DC ₁ C являются прямыми углами, в то время как углы ∠ B ₁ DB , ∠ C ₁ DC равны, если D лежит на отрезке BC (то есть между B и C ), и они идентичны в других рассматриваемых случаях, поэтому треугольники △ DB ₁ B , △ DC ₁ C подобны (AAA), что означает, что:

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BB_{1}|}{|CC_{1}|}}={\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}}.}$

Если D — основание высоты, то,

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|AB|}}=\sin \angle \ BAD{\text{ and }}{\frac {|CD|}{|AC|}}=\sin \angle \ DAC,}$

и обобщенная форма следует далее.

Доказательство с использованием площадей треугольников

${\textstyle \alpha ={\frac {\angle BAC}{2}}=\angle BAD=\angle CAD}$

Быстрое доказательство можно получить, посмотрев на отношение площадей двух треугольников △ BAD , △ CAD , которые образованы биссектрисой угла A. Вычисление этих площадей дважды с использованием разных формул , то есть с основанием и высотой h и со сторонами a, b и их углом γ , даст желаемый результат. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}gh}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(\gamma )}$

Пусть h обозначает высоту треугольников на основании BC и будет половиной угла в A. Тогда ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|BD|h}{{\frac {1}{2}}|CD|h}}={\frac {|BD|}{|CD|}}}$

и

${\displaystyle {\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|AB||AD|\sin(\alpha )}{{\frac {1}{2}}|AC||AD|\sin(\alpha )}}={\frac {|AB|}{|AC|}}}$

урожайность

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}.}$

Длина биссектрисы угла

Схема теоремы Стюарта

Длину биссектрисы угла можно найти по формуле : ${\displaystyle d}$ ${\textstyle d^{2}=bc-mn=mn(k^{2}-1)=bc\left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)}$

где — коэффициент пропорциональности из теоремы о биссектрисе угла. ${\displaystyle k={\frac {b}{n}}={\frac {c}{m}}={\frac {b+c}{a}}}$

Доказательство : По теореме Стюарта имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}m+c^{2}n&=a(d^{2}+mn)\\(kn)^{2}m+(km)^{2}n&=a(d^{2}+mn)\\k^{2}(m+n)mn&=(m+n)(d^{2}+mn)\\k^{2}mn&=d^{2}+mn\\(k^{2}-1)mn&=d^{2}\\\end{aligned}}}$

Биссектрисы внешнего угла

Биссектрисы внешнего угла (пунктирные красные):
Точки D, E, F лежат на одной прямой и справедливы следующие уравнения для отношений: , ,
${\displaystyle {\tfrac {|EB|}{|EC|}}={\tfrac {|AB|}{|AC|}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {|FB|}{|FA|}}={\tfrac {|CB|}{|CA|}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {|DA|}{|DC|}}={\tfrac {|BA|}{|BC|}}}$

Для биссектрис внешнего угла в неравностороннем треугольнике существуют аналогичные уравнения для отношений длин сторон треугольника. Точнее, если биссектриса внешнего угла в A пересекает продолженную сторону BC в E , биссектриса внешнего угла в B пересекает продолженную сторону AC в D , а биссектриса внешнего угла в C пересекает продолженную сторону AB в F , то выполняются следующие уравнения: ^[1]

${\displaystyle {\frac {|EB|}{|EC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}}$, , ${\displaystyle {\frac {|FB|}{|FA|}}={\frac {|CB|}{|CA|}}}$ ${\displaystyle {\frac {|DA|}{|DC|}}={\frac {|BA|}{|BC|}}}$

Три точки пересечения между биссектрисами внешнего угла и продолженными сторонами треугольника D, E, F являются коллинеарными, то есть лежат на одной прямой. ^[2]

История

Теорема о биссектрисе угла появляется как Предложение 3 Книги VI в Элементах Евклида . Согласно Хиту (1956, стр. 197 (т. 2)), соответствующее утверждение для внешней биссектрисы угла было дано Робертом Симсоном , который отметил, что Паппус принял этот результат без доказательства. Хит продолжает, говоря, что Август де Морган предложил объединить два утверждения следующим образом: ^[3]

Если угол треугольника разделен пополам изнутри или снаружи прямой линией, пересекающей противоположную сторону или полученную противоположную сторону, то отрезки этой стороны будут иметь то же самое отношение, что и другие стороны треугольника; и если сторона треугольника разделена изнутри или снаружи так, что ее отрезки имеют то же самое отношение, что и другие стороны треугольника, то прямая линия, проведенная из точки сечения в угловую точку, которая противоположна первой упомянутой стороне, разделит внутренний или внешний угол в этой угловой точке пополам.

Приложения

Эта теорема была использована для доказательства следующих теорем/результатов:

• Координаты инцентра треугольника
• Круги Аполлония

Ссылки

1. Альфред С. Посаментье: Расширенная евклидова геометрия: Экскурсии для студентов и преподавателей . Springer, 2002, ISBN  9781930190856 , стр. 3-4
2. Роджер А. Джонсон: Продвинутая евклидова геометрия . Дувр 2007, ISBN 978-0-486-46237-0 , стр. 149 (первоначальная публикация 1929 года в издательстве Houghton Mifflin Company (Бостон) под названием Modern Geometry ). 
3. Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг «Начал Евклида» (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] ред.). Нью-Йорк: Dover Publications.

   (3 тома): ISBN 0-486-60088-2 (т. 1), ISBN 0-486-60089-0 (т. 2), ISBN 0-486-60090-4 (т. 3). Авторитетный перевод Хита плюс обширные исторические исследования и подробные комментарии по всему тексту.   

Дальнейшее чтение

• GWIS Amarasinghe: О стандартных длинах биссектрис угла и теореме о биссектрисе угла, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol 01(01), pp. 15–27, 2012

Внешние ссылки

• Свойство биссектрис угла в точке разрезания узла
• Введение в теорему о биссектрисе угла в Академии Хана