Теорема Стоуна–Вейерштрасса

В математическом анализе теорема аппроксимации Вейерштрасса утверждает , что каждая непрерывная функция, определенная на замкнутом интервале $[a, b],$ может быть равномерно аппроксимирована полиномиальной функцией настолько близко, насколько это необходимо . Поскольку полиномы являются одними из самых простых функций, и поскольку компьютеры могут напрямую вычислять полиномы, эта теорема имеет как практическое, так и теоретическое значение, особенно в полиномиальной интерполяции . Первоначальная версия этого результата была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году с использованием преобразования Вейерштрасса .

Маршалл Х. Стоун значительно обобщил теорему ^[1] и упростил доказательство. ^[2] Его результат известен как теорема Стоуна–Вейерштрасса . Теорема Стоуна–Вейерштрасса обобщает теорему аппроксимации Вейерштрасса в двух направлениях: вместо действительного интервала $[a, b]$ рассматривается произвольное компактное хаусдорфово пространство $X$ , а вместо алгебры полиномиальных функций показано, что достаточно множества других семейств непрерывных функций на , как подробно описано ниже. Теорема Стоуна–Вейерштрасса является важным результатом в изучении алгебры непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве . $X$

Кроме того, существует обобщение теоремы Стоуна–Вейерштрасса на некомпактные тихоновские пространства , а именно, любая непрерывная функция на тихоновском пространстве приближается равномерно на компактных множествах алгебрами типа, фигурирующего в теореме Стоуна–Вейерштрасса и описанного ниже.

Другим обобщением исходной теоремы Вейерштрасса является теорема Мергеляна , которая обобщает ее на функции, определенные на некоторых подмножествах комплексной плоскости .

Теорема приближения Вейерштрасса

Формулировка теоремы об аппроксимации, первоначально открытой Вейерштрассом, выглядит следующим образом:

Теорема аппроксимации Вейерштрасса — Предположим, что $f$ — непрерывная вещественная функция, определенная на вещественном интервале $[a, b]$ . Для любого $ε > 0$ существует полином $p$ такой, что для всех $x$ из $[a, b]$ имеем $| f (x) - p (x)| < ε$ или, что эквивалентно, супремум-норма $‖ f - p ‖ < ε$ .

Конструктивное доказательство этой теоремы с использованием полиномов Бернштейна изложено на этой странице.

Степень приближения

Для дифференцируемых функций неравенство Джексона ограничивает погрешность приближений многочленами заданной степени: если имеет непрерывную k-ю производную, то для любого существует многочлен степени не выше такой, что . ^[3] $f$ $n\in \mathbb {N}$ $p_{n}$ $n$ $\lВерт f-p_{n}\rВерт \leq {\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{(n+1)^{k}}}\lВерт f^{(k)}\rВерт$

Однако, если является просто непрерывным, сходимость приближений может быть сколь угодно медленной в следующем смысле: для любой последовательности положительных действительных чисел, убывающей к 0, существует функция такая, что для любого полинома степени не выше . ^[4] $f$ $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $f$ $\lВерт fp\rВерт >a_{n}$ $p$ $n$

Приложения

Как следствие теоремы Вейерштрасса об аппроксимации, можно показать, что пространство $C[a, b]$ является сепарабельным : полиномиальные функции плотны, и каждая полиномиальная функция может быть равномерно приближена функцией с рациональными коэффициентами; существует только счетное число полиномов с рациональными коэффициентами. Поскольку C[ a , b ] метризуемо и сепарабельно , то $C [a, b$ ] имеет $мощность$ $не$ $более$ $2$ $ℵ$ 0 . ( $Замечание$ $:$ $этот$ результат о мощности также следует из того факта, что непрерывная функция на действительных числах однозначно определяется своим ограничением на рациональные числа.)

Теорема Стоуна–Вейерштрасса, реальная версия

Множество $C[a, b]$ непрерывных вещественных функций на $[a, b]$ вместе с супремум-нормой $‖ f ‖ = sup a \leq x \leq b | f (x) |$ является банаховой алгеброй (то есть ассоциативной алгеброй и банаховым пространством , таким что $‖ fg ‖ \leq ‖ f ‖\cdot‖ g ‖$ для всех $f$ $,$ $g$ ). Множество всех полиномиальных функций образует подалгебру $C[$ $a$ $,$ $b$ $]$ (то есть векторное подпространство $C[$ $a$ $,$ $b$ $]$ , замкнутое относительно умножения функций), и содержание теоремы Вейерштрасса об аппроксимации состоит в том, что эта подалгебра плотна в $C[$ $a$ $,$ $b$ $]$ .

Стоун начинает с произвольного компактного хаусдорфова пространства $X$ и рассматривает алгебру $C(X, R)$ вещественнозначных непрерывных функций на $X$ с топологией равномерной сходимости . Он хочет найти подалгебры $C(X, R)$ , которые являются плотными. Оказывается, что важнейшее свойство, которому должна удовлетворять подалгебра, состоит в том, что она разделяет точки : говорят, что множество $A$ функций, определенных на $X$ , разделяет точки, если для любых двух различных точек $x$ и $y$ в $X$ существует функция $p$ в $A$ с $p (x) \neq p (y)$ . Теперь мы можем утверждать:

Теорема Стоуна–Вейерштрасса (действительные числа) — Предположим, что $X$ — компактное хаусдорфово пространство, а $A$ — подалгебра $C(X, R)$ , содержащая ненулевую постоянную функцию. Тогда $A$ плотно в $C(X, R)$ тогда и только тогда, когда оно разделяет точки.

Это подразумевает исходное утверждение Вейерштрасса, поскольку многочлены на $[a, b]$ образуют подалгебру $C[a, b]$ , которая содержит константы и разделяет точки.

Локально компактная версия

Версия теоремы Стоуна–Вейерштрасса также верна, когда $X$ только локально компактно . Пусть $C 0 (X, R)$ — пространство действительнозначных непрерывных функций на $X$ , которые исчезают на бесконечности ; то есть непрерывная функция $f$ принадлежит $C$ $0$ $($ $X$ $,$ $R$ $)$ , если для любого $ε$ $> 0$ существует компактное множество $K$ $\subset$ $X$ такое, что $|$ $f$ $| <$ $ε$ на $X$ $\$ $K$ . Опять же, $C$ $0$ $($ $X$ $,$ $R$ $)$ — банахова алгебра с супремум-нормой . Говорят, что подалгебра $A$ в $C$ $0$ $($ $X$ $,$ $R$ $)$ нигде не исчезает , если не все элементы $A$ одновременно исчезают в точке; то есть для любого $x$ в $X$ существует некоторая $f$ в $A$ такая, что $f$ $($ $x$ $) \neq 0$ . Теорема обобщается следующим образом:

Теорема Стоуна–Вейерштрасса (локально компактные пространства) — Предположим, что $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство, а $A$ — подалгебра $C 0 (X, R)$ . Тогда $A$ плотно в $C 0 (X, R)$ (при топологии равномерной сходимости ) тогда и только тогда, когда оно разделяет точки и нигде не обращается в нуль.

Эта версия явно подразумевает предыдущую версию в случае, когда $X$ компактно, поскольку в этом случае $C 0 (X, R) = C(X, R)$ . Существуют также более общие версии Стоуна–Вейерштрасса, которые ослабляют предположение о локальной компактности. ^[5]

Приложения

Теорему Стоуна–Вейерштрасса можно использовать для доказательства следующих двух утверждений, которые выходят за рамки результата Вейерштрасса.

Если $f$ — непрерывная вещественная функция, определенная на множестве $[$ $a$ $,$ $b$ $] \times [$ $c$ $,$ $d$ $]$ и $ε$ $> 0$ , то существует полиномиальная функция $p$ от двух переменных такая, что $|$ $f$ $($ $x$ $,$ $y$ $) -$ $p$ $($ $x$ $,$ $y$ $) | <$ $ε$ для всех $x$ из $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ и $y$ из $[$ $c$ $,$ $d$ $]$ . ^[^{требуется ссылка}^]
Если $X$ и $Y$ — два компактных хаусдорфовых пространства, а $f : X \times Y \to R$ — непрерывная функция, то для любого $ε > 0$ существуют $n > 0$ и непрерывные функции $f$ $1$ $, ...,$ $f$ $n$ на $X$ и непрерывные функции $g$ $1$ $, ...,$ $g$ $n$ на $Y$ такие, что $‖$ $f$ $- Σ$ $f$ $i$ $g$ $i$ $‖ <$ $ε$ . ^[^{требуется ссылка}^]

Теорема Стоуна–Вейерштрасса, комплексная версия

Чуть более общей является следующая теорема, в которой мы рассматриваем алгебру комплекснозначных непрерывных функций на компактном пространстве , снова с топологией равномерной сходимости. Это C*-алгебра с *-операцией, заданной поточечным комплексным сопряжением . $C(X,\mathbb {C} )$ $X$

Теорема Стоуна–Вейерштрасса (комплексные числа) — Пусть — компактное хаусдорфово пространство, а — разделяющее подмножество . Тогда комплексная унитальная *-алгебра, порожденная , плотна в . $X$ $S$ $C(X,\mathbb {C} )$ $S$ $C(X,\mathbb {C} )$

Комплексная унитальная *-алгебра, порожденная , состоит из всех тех функций, которые могут быть получены из элементов , добавляя постоянную функцию $1$ и складывая их, умножая их, сопрягая их или умножая их на комплексные скаляры, и повторяя конечное число раз. $S$ $S$

Эта теорема подразумевает действительную версию, поскольку если сеть комплекснозначных функций равномерно аппроксимирует заданную функцию, , то действительные части этих функций равномерно аппроксимируют действительную часть этой функции, , и поскольку для действительных подмножеств взятие действительных частей сгенерированной комплексной унитальной (самосопряженной) алгебры согласуется с сгенерированной действительной унитальной алгеброй. $f_{n}\to f$ $\operatorname {Re} f_{n}\to \operatorname {Re} f$ $S\subset C(X,\mathbb {R} )\subset C(X,\mathbb {C} ),$

Как и в вещественном случае, аналог этой теоремы верен для локально компактных хаусдорфовых пространств.

Ниже приведено применение этой сложной версии.

Ряд Фурье : Множество линейных комбинаций функций $e n (x) = e 2 πinx, n \in Z$ плотно в $C([0, 1]/{0, 1})$ , где мы отождествляем конечные точки интервала $[0, 1]$ для получения окружности. Важным следствием этого является то, что $e n$ являются ортонормированным базисом пространства $L 2 ([0, 1])$ квадратично -интегрируемых функций на $[0, 1]$ . ^{[ необходима цитата ]}

Теорема Стоуна–Вейерштрасса, кватернионная версия

Следуя Холладею (1957), рассмотрим алгебру $C(X, H)$ кватернионнозначных непрерывных функций на компактном пространстве $X$ , снова с топологией равномерной сходимости.

Если кватернион $q$ записан в виде ${\textstyle д=а+иб+йс+кд}$

его скалярная часть $a$ — действительное число . ${\frac {q-iqi-jqj-kqk}{4}}$

Так же

скалярная часть $- qi$ равна $b,$ что является действительным числом . ${\frac {-qi-iq+jqk-kqj}{4}}$
скалярная часть $- qj$ равна $c$ , что является действительным числом . ${\frac {-qj-iqk-jq+kqi}{4}}$
скалярная часть $- qk$ равна $d,$ что является действительным числом . ${\frac {-qk+iqj-jqk-kq}{4}}$

Тогда мы можем заявить:

Теорема Стоуна–Вейерштрасса (кватернионные числа) — Предположим, что $X$ — компактное хаусдорфово пространство, а $A$ — подалгебра $C(X, H)$ , содержащая ненулевую постоянную функцию. Тогда $A$ плотно в $C(X, H)$ тогда и только тогда, когда оно разделяет точки .

Теорема Стоуна–Вейерштрасса, версия C*-алгебры

Пространство комплекснозначных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве ie является каноническим примером унитальной коммутативной C*-алгебры . Пространство X можно рассматривать как пространство чистых состояний на , с топологией weak-*. Следуя указанной выше подсказке, некоммутативное расширение теоремы Стоуна–Вейерштрасса, которое остается нерешенным, выглядит следующим образом: $X$ $C(X,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}$

Гипотеза — Если унитальная C*-алгебра имеет C*-подалгебру , которая разделяет чистые состояния , то . ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}$

В 1960 году Джим Глимм доказал более слабую версию вышеуказанной гипотезы.

Теорема Стоуна–Вейерштрасса (C*-алгебры) ^[6] — Если унитальная C*-алгебра имеет C*-подалгебру , которая разделяет пространство чистых состояний (т.е. слабое* замыкание чистых состояний) , то . ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}$

Версии решеток

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство. Первоначальное доказательство теоремы Стоуна использовало идею решеток в $C(X, R)$ . Подмножество $L$ из $C(X, R)$ называется решеткой , если для любых двух элементов $f$ $,$ $g$ $\in$ $L$ функции $max{$ $f$ $,$ $g$ $}, min{$ $f$ $,$ $g$ $}$ также принадлежат $L$ . Решеточная версия теоремы Стоуна–Вейерштрасса гласит:

Теорема Стоуна–Вейерштрасса (решетки) — Предположим, что $X$ — компактное хаусдорфово пространство с по крайней мере двумя точками, а $L$ — решетка в $C(X, R)$ со свойством, что для любых двух различных элементов $x$ и $y$ из $X$ и любых двух действительных чисел $a$ и $b$ существует элемент $f$ $\in$ $L$ с $f$ $($ $x$ $) =$ $a$ и $f$ $($ $y$ $) =$ $b$ . Тогда $L$ плотно в $C($ $X$ $,$ $R$ $)$ .

Вышеуказанные версии Стоуна–Вейерштрасса могут быть доказаны из этой версии, как только мы поймем, что свойство решетки также может быть сформулировано с использованием абсолютного значения $| f |,$ которое, в свою очередь, может быть аппроксимировано полиномами от $f$ . Вариант теоремы применим к линейным подпространствам $C($ $X$ $,$ $R$ $),$ замкнутым относительно max: ^[7]

Теорема Стоуна–Вейерштрасса (максимально замкнутая) — Предположим, что $X$ — компактное хаусдорфово пространство, а $B$ — семейство функций в $C(X, R)$ такое, что

$B$ разделяет точки.
$B$ содержит постоянную функцию 1.
Если $f$ $\in$ $B$ , то $af$ $\in$ $B$ для всех констант $a$ $\in$ $R.$
Если $f$ $,$ $g$ $\in$ $B$ , то $f$ $+$ $g$ $, max{$ $f$ $,$ $g$ $} \in$ $B$ .

Тогда $B$ плотно в $C(X, R)$ .

Более точная информация доступна:

Предположим, что

X — компактное хаусдорфово пространство с по крайней мере двумя точками, а L — решетка в C( X , R ). Функция φ \in C( X , R ) принадлежит замыканию L

тогда

только

тогда

, когда для каждой пары

различных

точек x и y в X

и для каждого ε > 0 существует некоторая

f

∈

L

,

для

которой

|

f

(

x

)

-

φ

(

x

)

|

<

ε

|

f

(

y

) -

φ

(

y

)| <

ε

Теорема Бишопа

Другое обобщение теоремы Стоуна–Вейерштрасса принадлежит Эрретту Бишопу . Теорема Бишопа выглядит следующим образом: ^[8]

Теорема Бишопа — Пусть $A —$ замкнутая подалгебра комплексной банаховой алгебры $C(X, C)$ непрерывных комплекснозначных функций на компактном хаусдорфовом пространстве $X$ , использующая супремум-норму. Для $S \subset X$ запишем $A S = {g| S : g \in A}$ . Предположим, что $f \in C(X, C)$ обладает следующим свойством:

f | S \in A S

для любого максимального множества

S \subset X

такого, что все действительные функции из

A S

постоянны.

Тогда $f$ $\in$ $A.$

Гликсберг (1962) дает краткое доказательство теоремы Бишопа, используя теорему Крейна–Мильмана существенным образом, а также теорему Хана–Банаха : процесс Луи де Бранжа (1959). См. также Рудин (1973, §5.7).

Теорема Нахбина

Теорема Нахбина дает аналог теоремы Стоуна–Вейерштрасса для алгебр комплекснозначных гладких функций на гладком многообразии. ^[9] Теорема Нахбина выглядит следующим образом: ^[10]

Теорема Нахбина — Пусть $A$ — подалгебра алгебры $C \infty (M)$ гладких функций на конечномерном гладком многообразии $M$ . Предположим, что $A$ разделяет точки $M$ , а также разделяет касательные векторы $M$ : для каждой точки m ∈ M и касательного вектора v в касательном пространстве в точке m существует f ∈ $A$ такой, что d f ( x )( v ) ≠ 0. Тогда $A$ плотно в $C \infty (M)$ .

История редакции

В 1885 году была также опубликована английская версия статьи под названием « О возможности дать аналитическое представление произвольной функции действительной переменной» . ^[11]^[12]^[13]^[14]^[15] По словам математика Ямилета Кинтаны , Вейерштрасс «подозревал, что любые аналитические функции могут быть представлены степенными рядами ». ^[15]^[14]

Смотрите также

Теорема Мюнца–Саса
полином Бернштейна
Феномен Рунге показывает, что нахождение полинома $P$ , такого что $f$ $($ $x$ $) =$ $P$ $($ $x$ $)$ для некоторого мелко разнесенного $x$ $=$ $x$ $n,$ является плохим способом попытаться найти полином, аппроксимирующий $f$ равномерно. Лучший подход, изложенный, например, в Rudin (1976), стр. 160, ур. (51) и далее, состоит в построении полиномов $P$ , равномерно аппроксимирующих $f,$ путем взятия свертки $f$ с семейством надлежащим образом выбранных полиномиальных ядер.
Теорема Мергеляна о полиномиальных приближениях комплексных функций.

Примечания

↑ Стоун, М. Х. (1937), «Применение теории булевых колец к общей топологии», Труды Американского математического общества , 41 (3): 375–481, doi : 10.2307/1989788 , JSTOR 1989788
^ Стоун, М. Х. (1948), «Обобщенная теорема аппроксимации Вейерштрасса», Mathematics Magazine , 21 (4): 167–184, doi : 10.2307/3029750, JSTOR 3029750, MR 0027121; 21 (5), 237–254.
^ Чейни, Эллиотт В. (2000). Введение в теорию приближений (2-е изд., переизд.). Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publ. ISBN 978-0-8218-1374-4.
^ де ла Серда, София (2023-08-09). «Полиномиальные приближения непрерывных функций». The American Mathematical Monthly . 130 (7): 655–655. doi :10.1080/00029890.2023.2206324. ISSN 0002-9890.
^ Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Эддисон-Уэсли. стр. 293. ISBN 0-486-43479-6.
^ Глимм, Джеймс (1960). «Теорема Стоуна–Вейерштрасса для C*-алгебр». Annals of Mathematics . Вторая серия. 72 (2): 216–244 [Теорема 1]. doi :10.2307/1970133. JSTOR 1970133.
^ Хьюитт, Э .; Стромберг, К. (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag, Теорема 7.29
^ Бишоп, Эрретт (1961), «Обобщение теоремы Стоуна–Вейерштрасса», Pacific Journal of Mathematics , 11 (3): 777–783, doi : 10.2140/pjm.1961.11.777
^ Нахбин, Л. (1949), "Sur les algèbres dens de fonctions diffèrentiables sur une variété", CR Acad. наук. Париж , 228 : 1549–1551.
^ Льявона, Хосе Г. (1986), Аппроксимация непрерывно дифференцируемых функций , Амстердам: Северная Голландия, ISBN 9780080872414
^ Пинкус, Аллан. "Weierstrass and Approximation Theory" (PDF) . Журнал теории приближений . 107 (1): 8. ISSN 0021-9045. OCLC 4638498762. Архивировано (PDF) из оригинала 19 октября 2013 г. . Получено 3 июля 2021 г. .
^ Пинкус, Аллан (2004). «Методы плотности и результаты в теории приближения». Orlicz Centenary Volume . Публикации Banach Center. 64. Институт математики Польской академии наук : 3. CiteSeerX 10.1.1.62.520 . ISSN 0137-6934. OCLC 200133324. Архивировано из оригинала 3 июля 2021 г.
^ Ciesielski, Zbigniew ; Pełczyński, Aleksander ; Skrzypczak, Leszek (2004). Orlicz centenary volume : материалы конференций "The Wladyslaw Orlicz Centenary Conference" и Function Spaces VII : Poznan, 20-25 July 2003. Vol. I, Plenary lectures. Banach Center publications. Vol. 64. Institute of Mathematics. Polish Academy of Sciences. p. 175. OCLC 912348549.
^ ab Quintana, Yamilet; Perez D. (2008). "Обзор теоремы аппроксимации Вейерштрасса". Divulgaciones Matematicas . 16 (1): 232. OCLC 810468303. Получено 3 июля 2021 г. Восприятие Вейерштрассом аналитических функций сводилось к функциям, которые можно было представить степенными рядами.(arXiv 0611038v2).
^ ab Quintana, Yamilet (2010). «О расширениях Гильберта теоремы Вейерштрасса с весами». Журнал функциональных пространств . 8 (2). Scientific Horizon: 202. arXiv : math/0611034 . doi : 10.1155/2010/645369 . ISSN 0972-6802. OCLC 7180746563.(arXiv 0611034v3). Цитата: Д. С. Любинский, Теорема Вейерштрасса в двадцатом веке: избранные работы , в Quaestiones Mathematicae 18 (1995), 91–130.

Ссылки

Холладей, Джон К. (1957), «Теорема Стоуна–Вейерштрасса для кватернионов» (PDF) , Proc. Amer. Math. Soc. , 8 : 656, doi : 10.1090/S0002-9939-1957-0087047-7.
Луи де Бранж (1959), «Теорема Стоуна – Вейерштрасса», Proc. амер. Математика. Соц. , 10 (5): 822–824, doi : 10.1090/s0002-9939-1959-0113131-7.
Ян Бринкхейс и Владимир Тихомиров (2005) Оптимизация: идеи и приложения , Princeton University Press ISBN 978-0-691-10287-0 MR 2168305.
Глимм, Джеймс (1960), «Теорема Стоуна–Вейерштрасса для C*-алгебр», Annals of Mathematics , вторая серия, 72 (2): 216–244, doi :10.2307/1970133, JSTOR 1970133
Гликсберг, Ирвинг (1962), «Меры, ортогональные алгебрам и множествам антисимметрии», Труды Американского математического общества , 105 (3): 415–435, doi : 10.2307/1993729 , JSTOR 1993729.
Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054235-8
Рудин, Уолтер (1973), Функциональный анализ , McGraw-Hill, ISBN 0-07-054236-8.
Дж. Г. Беркилл, Лекции по аппроксимации многочленами (PDF).

Исторические труды

Историческая публикация Вейерштрасса (на немецком языке ) находится в свободном доступе в цифровом онлайн-архиве Берлинской Бранденбургской академии наук :

К. Вейерштрасс (1885). Über die Analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , 1885 (II).
Erste Mitteilung (часть 1), стр. 633–639, Zweite Mitteilung (часть 2), стр. 789–805.

Внешние ссылки

«Теорема Стоуна–Вейерштрасса», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]