Голдстоуновский бозон

Безмассовый бозон, который должен присутствовать в квантовой системе со спонтанно нарушенной симметрией

В физике частиц и конденсированных сред бозоны Голдстоуна или бозоны Намбу–Голдстоуна ( NGB ) — это бозоны , которые обязательно появляются в моделях, демонстрирующих спонтанное нарушение непрерывных симметрий . Они были обнаружены Ёитиро Намбу в физике частиц в контексте механизма сверхпроводимости БКШ ^[1] и впоследствии объяснены Джеффри Голдстоуном ^[2] и систематически обобщены в контексте квантовой теории поля ^[3] . В физике конденсированных сред такие бозоны являются квазичастицами и известны как моды Андерсона–Боголюбова. ^{[4] [5] [6]}

Эти бесспиновые бозоны соответствуют спонтанно нарушенным внутренним генераторам симметрии и характеризуются их квантовыми числами . Они преобразуются нелинейно (смещаются) под действием этих генераторов и, таким образом, могут быть возбуждены из асимметричного вакуума этими генераторами. Таким образом, их можно рассматривать как возбуждения поля в направлениях нарушенной симметрии в групповом пространстве — и они безмассовы , если спонтанно нарушенная симметрия также не нарушена явно .

Если же симметрия не является точной, то есть если она явно нарушена, а также спонтанно нарушена, то бозоны Намбу–Голдстоуна не являются безмассовыми, хотя они обычно остаются относительно легкими; тогда их называют псевдоголдстоуновскими бозонами или псевдонамбу–голдстоуновскими бозонами (сокращенно PNGB ).

Теорема Голдстоуна

Теорема Голдстоуна рассматривает общую непрерывную симметрию , которая спонтанно нарушается ; т. е. ее токи сохраняются, но основное состояние не инвариантно под действием соответствующих зарядов. Затем, обязательно, в спектре возможных возбуждений появляются новые безмассовые (или легкие, если симметрия не точная) скалярные частицы. Для каждого генератора симметрии, которая нарушена, т. е. которая не сохраняет основное состояние , существует одна скалярная частица — называемая бозоном Намбу–Голдстоуна. Мода Намбу–Голдстоуна — это длинноволновая флуктуация соответствующего параметра порядка .

В силу своих особых свойств в соединении с вакуумом соответствующей теории с нарушенной симметрией исчезающие импульсные («мягкие») бозоны Голдстоуна, участвующие в амплитудах теории поля, заставляют такие амплитуды исчезать («нули Адлера»).

Примеры

Естественный

• В жидкостях фонон продольный и является бозоном Голдстоуна спонтанно нарушенной галилеевой симметрии . В твердых телах ситуация сложнее; бозоны Голдстоуна являются продольными и поперечными фононами, и они оказываются бозонами Голдстоуна спонтанно нарушенной галилеевой , трансляционной и вращательной симметрии без простого взаимно-однозначного соответствия между модами Голдстоуна и нарушенными симметриями.
• В магнитах исходная вращательная симметрия (присутствующая при отсутствии внешнего магнитного поля) спонтанно нарушается, так что намагниченность указывает в определенном направлении. Голдстоуновские бозоны тогда являются магнонами , т. е. спиновыми волнами, в которых локальное направление намагниченности колеблется.
• Пионы — это псевдоголдстоуновские бозоны , которые возникают в результате спонтанного нарушения симметрий хирального аромата КХД, вызванного конденсацией кварков из-за сильного взаимодействия. Эти симметрии далее явно нарушаются массами кварков, так что пионы не являются безмассовыми, но их масса значительно меньше типичных масс адронов.
• Продольные поляризационные компоненты W- и Z-бозонов соответствуют голдстоуновским бозонам спонтанно нарушенной части электрослабой симметрии SU(2)⊗U(1), которые, однако, не наблюдаются. ^{[nb 1]} Поскольку эта симметрия калибруется, три потенциальных голдстоуновских бозона поглощаются тремя калибровочными бозонами, соответствующими трем нарушенным генераторам; это дает этим трем калибровочным бозонам массу и связанную с ними необходимую третью поляризационную степень свободы. Это описывается в Стандартной модели через механизм Хиггса . Аналогичное явление происходит в сверхпроводимости , которая послужила исходным источником вдохновения для Намбу, а именно, фотон развивает динамическую массу (выраженную как исключение магнитного потока из сверхпроводника), ср. теорию Гинзбурга–Ландау .
• Первичные флуктуации во время инфляции можно рассматривать как бозоны Голдстоуна, возникающие из-за спонтанного нарушения симметрии временного переноса вселенной де Ситтера . Эти флуктуации в скалярном поле инфлатона впоследствии зарождают формирование космической структуры . ^[7]
• Риччарди и Умедзава предложили в 1967 году общую теорию (квантовый мозг) о возможном мозговом механизме хранения и извлечения памяти в терминах бозонов Намбу-Голдстоуна. ^[8] Впоследствии эта теория была расширена в 1995 году Джузеппе Витьелло с учетом того, что мозг является «открытой» системой (диссипативная квантовая модель мозга). ^[9] Приложения спонтанного нарушения симметрии и теоремы Голдстоуна к биологическим системам в целом были опубликованы Э. Дель Джудиче, С. Доглиа, М. Милани и Дж. Витьелло, ^{[10] [11]} и Э. Дель Джудиче, Дж. Препарата и Дж. Витьелло. ^[12] Мари Джибу и Кунио Ясуэ ^[13] и Джузеппе Витьелло, ^[14] на основе этих результатов обсудили последствия для сознания.

Теория

Рассмотрим комплексное скалярное поле ϕ с ограничением, что , константа. Один из способов наложить ограничение такого рода — включить потенциальное взаимодействие в его плотность Лагранжа , ${\displaystyle \phi ^{*}\phi =v^{2}}$

${\displaystyle \lambda (\phi ^{*}\phi -v^{2})^{2}~,}$

и принимая предел при λ → ∞ . Это называется «Абелева нелинейная σ-модель». ^{[nb 2]}

Ограничение и действие, приведенные ниже, инвариантны относительно фазового преобразования U (1), δϕ =i εϕ . Поле можно переопределить, чтобы получить реальное скалярное поле (т.е. частицу со спином ноль) θ без каких-либо ограничений

${\displaystyle \phi =ve^{i\theta }}$

где θ — бозон Намбу–Голдстоуна (на самом деле так и есть), а преобразование симметрии U (1) приводит к сдвигу θ , а именно ${\displaystyle v\theta }$

${\displaystyle \delta \theta =\epsilon ~,}$

но не сохраняет основное состояние |0〉 (т.е. указанное выше бесконечно малое преобразование не уничтожает его — признак инвариантности), как это очевидно из заряда тока ниже.

Таким образом, вакуум вырожден и неинвариантен под действием спонтанно нарушенной симметрии.

Соответствующая плотность Лагранжа определяется выражением

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi ^{*})\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi ={\frac {1}{2}}(-ive^{-i\theta }\partial ^{\mu }\theta )(ive^{i\theta }\partial _{\mu }\theta )-m^{2}v^{2},}$

и таким образом

${\displaystyle ={\frac {v^{2}}{2}}(\partial ^{\mu }\theta )(\partial _{\mu }\theta )-m^{2}v^{2}~.}$

Обратите внимание, что постоянный член в плотности Лагранжа не имеет физического значения, а другой член в нем — это просто кинетический член для безмассового скаляра. ${\displaystyle m^{2}v^{2}}$

Симметрично обусловленный сохраняющийся ток U (1) равен

${\displaystyle J_{\mu }=v^{2}\partial _{\mu }\theta ~.}$

Заряд Q , возникающий в результате этого тока, сдвигает θ и основное состояние в новое, вырожденное основное состояние. Таким образом, вакуум с 〈θ〉 = 0 сместится в другой вакуум с 〈θ〉 = ε . Ток соединяет исходный вакуум с состоянием бозона Намбу–Голдстоуна, 〈0| J ₀ (0)| θ〉≠ 0 .

В общем случае в теории с несколькими скалярными полями ϕ _j мода Намбу–Голдстоуна ϕ _g является безмассовой и параметризует кривую возможных (вырожденных) вакуумных состояний. Ее отличительной чертой при нарушенном преобразовании симметрии является неисчезающее вакуумное ожидание 〈δϕ _g〉 , параметр порядка , для исчезновения 〈ϕ _g〉 = 0 , в некотором основном состоянии |0〉 , выбранном в минимуме потенциала 〈∂ V /∂ ϕ _i〉 = 0 . В принципе вакуум должен быть минимумом эффективного потенциала, который учитывает квантовые эффекты, однако он равен классическому потенциалу в первом приближении. Симметрия диктует, что все вариации потенциала относительно полей во всех направлениях симметрии исчезают. Вакуумное значение вариации первого порядка в любом направлении исчезает, как только что было показано; в то время как вакуумное значение вариации второго порядка также должно исчезнуть, как следует. Исчезающие вакуумные значения инкрементов преобразования симметрии поля не добавляют никакой новой информации.

Однако, напротив, неисчезающие вакуумные ожидания приращений преобразования , 〈δϕ _g〉 , определяют соответствующие (голдстоуновские) нулевые собственные векторы матрицы масс ,

${\displaystyle \left\langle {\partial ^{2}V \over \partial \phi _{i}\partial \phi _{j}}\right\rangle \langle \delta \phi _{j}\rangle =0~,}$

и, следовательно, соответствующие собственные значения нулевой массы.

Аргумент Голдстоуна

Принцип, лежащий в основе аргумента Голдстоуна, заключается в том, что основное состояние не является уникальным. Обычно, в силу сохранения тока, оператор заряда для любого тока симметрии не зависит от времени,

${\displaystyle {d \over dt}Q={d \over dt}\int _{x}J^{0}(x)=0.}$

Действие оператора заряда на вакуум либо уничтожает вакуум , если он симметричен; в противном случае, если нет , как в случае спонтанного нарушения симметрии, он создает из него состояние нулевой частоты, посредством его функции преобразования сдвига, проиллюстрированной выше. На самом деле, здесь сам заряд плохо определен, ср. аргумент Фабри–Пикассо ниже.

Но его коммутаторы с полями, ведущие себя лучше, то есть неисчезающие сдвиги преобразований 〈δϕ _g〉 , тем не менее, инвариантны во времени ,

${\displaystyle {\frac {d\langle \delta \phi _{g}\rangle }{dt}}=0,}$

таким образом, генерируя δ( k ⁰ ) в своем преобразовании Фурье. ^[15] (Это гарантирует, что вставка полного набора промежуточных состояний в неисчезающий коммутатор тока может привести к исчезающей временной эволюции только тогда, когда одно или несколько из этих состояний являются безмассовыми.)

Таким образом, если вакуум не инвариантен относительно симметрии, действие оператора заряда создает состояние, которое отличается от выбранного вакуума, но имеет нулевую частоту. Это длинноволновое колебание поля, которое почти стационарно: существуют физические состояния с нулевой частотой, k ⁰ , так что теория не может иметь массовую щель .

Этот аргумент еще более проясняется, если осторожно взять предел. Если приближенный оператор заряда, действующий в огромной, но конечной области A, применяется к вакууму,

${\displaystyle {d \over dt}Q_{A}={d \over dt}\int _{x}e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}J^{0}(x)=-\int _{x}e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}\nabla \cdot J=\int _{x}\nabla \left(e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}\right)\cdot J,}$

создается состояние с приблизительно исчезающей производной по времени,

${\displaystyle \left\|{d \over dt}Q_{A}|0\rangle \right\|\approx {\frac {1}{A}}\left\|Q_{A}|0\rangle \right\|.}$

Предполагая, что массовый зазор m ₀ неисчезает , частота любого состояния, подобного приведенному выше, которое ортогонально вакууму, составляет по крайней мере m ₀ ,

${\displaystyle \left\|{\frac {d}{dt}}|\theta \rangle \right\|=\|H|\theta \rangle \|\geq m_{0}\||\theta \rangle \|.}$

Если позволить A стать большим, то это приведет к противоречию. Следовательно, m ₀  = 0. Однако этот аргумент не работает, когда симметрия калибруется, потому что тогда генератор симметрии выполняет только калибровочное преобразование. Калибровочно-преобразованное состояние — это то же самое точное состояние, так что действие с генератором симметрии не выводит его из вакуума (см. механизм Хиггса ).

Теорема Фабри–Пикассо. Q не существует в гильбертовом пространстве, если только Q |0〉 = 0 .

Аргумент ^{[16] [17]} требует, чтобы и вакуум, и заряд Q были трансляционно инвариантными, P |0〉 = 0 , [ P,Q ]= 0 .

Рассмотрим корреляционную функцию заряда с самим собой,

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|QQ|0\rangle &=\int d^{3}x\langle 0|j_{0}(x)Q|0\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|e^{iPx}j_{0}(0)e^{-iPx}Q\right|0\right\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|e^{iPx}j_{0}(0)e^{-iPx}Qe^{iPx}e^{-iPx}\right|0\right\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|j_{0}(0)Q\right|0\right\rangle \end{aligned}}}$

поэтому подынтегральное выражение в правой части не зависит от положения.

Таким образом, его значение пропорционально общему объему пространства, — если только симметрия не нарушена, Q |0〉 = 0. Следовательно, Q не существует в гильбертовом пространстве в собственном смысле. ${\displaystyle \|Q|0\rangle \|^{2}=\infty }$

Инфрачастицы

В теореме есть спорная лазейка. Если внимательно прочитать теорему, то она утверждает только то, что существуют невакуумные состояния с произвольно малыми энергиями. Возьмем, к примеру, киральную N = 1 супермодель КХД с ненулевым скварком VEV, которая конформна в ИК . Киральная симметрия — это глобальная симметрия , которая (частично) спонтанно нарушена. Некоторые из «бозонов Голдстоуна», связанных с этим спонтанным нарушением симметрии, заряжены под ненарушенной калибровочной группой, и, следовательно, эти составные бозоны имеют непрерывный спектр масс с произвольно малыми массами, но при этом нет бозона Голдстоуна с точно нулевой массой . Другими словами, бозоны Голдстоуна являются инфрачастицами .

Расширения

Нерелятивистские теории

Версия теоремы Голдстоуна также применима к нерелятивистским теориям. ^{[18] [19]} По сути, она утверждает, что для каждой спонтанно нарушенной симметрии соответствует некоторая квазичастица , которая обычно является бозоном и не имеет энергетической щели . В конденсированном веществе эти голдстоуновские бозоны также называются бесщелевыми модами (т. е. состояниями, в которых соотношение дисперсии энергии подобно и равно нулю для ), нерелятивистской версией безмассовых частиц (т. е. фотонами, в которых соотношение дисперсии также равно и нулю для ). Обратите внимание, что энергия в случае нерелятивистского конденсированного вещества равна H − μN − α → ⋅ P → , а не H , как это было бы в релятивистском случае. Однако два разных спонтанно нарушенных генератора теперь могут порождать один и тот же бозон Намбу–Голдстоуна. ${\displaystyle E\propto p^{n}}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle E=pc}$ ${\displaystyle p=0}$

В качестве первого примера антиферромагнетик имеет 2 голдстоуновских бозона, ферромагнетик имеет 1 голдстоуновский бозон, где в обоих случаях мы нарушаем симметрию от SO(3) до SO(2), для антиферромагнетика дисперсия равна , а математическое ожидание основного состояния равно нулю, для ферромагнетика вместо этого дисперсия равна , а математическое ожидание основного состояния не равно нулю, т.е. имеет место спонтанно нарушенная симметрия для основного состояния ^{[20] [21]} ${\displaystyle E\propto p}$ ${\displaystyle E\propto p^{2}}$

В качестве второго примера, в сверхтекучей жидкости спонтанно нарушаются как симметрия числа частиц U(1) , так и симметрия Галилея . Однако фонон является бозоном Голдстоуна для обеих. ^{[22] [23]}

Тем не менее, в отношении нарушения симметрии существует также близкая аналогия между бесщелевыми модами в конденсированном веществе и бозоном Хиггса, например, при фазовом переходе из парамагнетика в ферромагнетик ^{[24] [25]}

Нарушение симметрии пространства-времени

В отличие от случая нарушения внутренних симметрий, когда симметрии пространства-времени, такие как симметрия Лоренца , конформная, вращательная или трансляционная, нарушаются, параметр порядка не обязательно должен быть скалярным полем, но может быть тензорным полем, а число независимых безмассовых мод может быть меньше числа спонтанно нарушенных генераторов. Для теории с параметром порядка , который спонтанно нарушает симметрию пространства-времени, число нарушенных генераторов минус число нетривиальных независимых решений для ${\displaystyle \langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle }$ ${\displaystyle T^{a}}$ ${\displaystyle c_{a}({\boldsymbol {r}})}$

${\displaystyle c_{a}({\boldsymbol {r}})T^{a}\langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle =0}$

— это число возникающих мод Голдстоуна. ^[26] Для внутренних симметрий приведенное выше уравнение не имеет нетривиальных решений, поэтому обычная теорема Голдстоуна верна. Когда решения существуют, это происходит потому, что моды Голдстоуна линейно зависят друг от друга, в том смысле, что результирующая мода может быть выражена как градиент другой моды. Поскольку пространственно-временная зависимость решений направлена ​​на неразрушенные генераторы, когда все генераторы трансляции разорваны, нетривиальных решений не существует, и число мод Голдстоуна снова в точности равно числу разорванных генераторов. ${\displaystyle c_{a}({\boldsymbol {r}})}$

В общем случае фонон фактически является бозоном Намбу–Голдстоуна для спонтанно нарушенной трансляционной ^[27] симметрии.

Фермионы Намбу–Голдстоуна

Спонтанно нарушенные глобальные фермионные симметрии, которые возникают в некоторых суперсимметричных моделях, приводят к фермионам Намбу-Голдстоуна , или голдстино . ^{[28] [29]} Они имеют спин ⁠ 1 /2⁠ , вместо 0, и несут все квантовые числа соответствующих генераторов суперсимметрии, нарушенных спонтанно.

Спонтанное нарушение суперсимметрии разбивает («редуцирует») супермультиплетные структуры в характерные нелинейные реализации нарушенной суперсимметрии, так что голдстино являются суперпартнерами всех частиц в теории, любого спина , и единственными суперпартнерами, при этом. То есть, две не-голдстино частицы связаны только с голдстино посредством преобразований суперсимметрии, а не друг с другом, даже если они были связаны таким образом до нарушения суперсимметрии. В результате массы и спиновые кратности таких частиц тогда произвольны.

Смотрите также

• Псевдо-голдстоуновский бозон
• Майорон
• механизм Хиггса
• Теорема Мермина–Вагнера
• Ожидаемое значение вакуума
• Теорема Нётер

Примечания

1. В теориях с калибровочной симметрией голдстоуновские бозоны отсутствуют. Их степени свободы поглощаются («съедаются», калибруются) калибровочными бозонами через механизм Хиггса . Последние становятся массивными, а их новая, продольная поляризация обеспечивается потенциальным голдстоуновским бозоном в сложной перестройке степеней свободы.
2. Это соответствует потенциалу сомбреро Голдстоуна , где кончик и стороны стремятся к бесконечности, сохраняя положение минимума у ​​основания.

Ссылки

1. Намбу, Y (1960). «Квазичастицы и калибровочная инвариантность в теории сверхпроводимости». Physical Review . 117 (3): 648–663. Bibcode : 1960PhRv..117..648N. doi : 10.1103/PhysRev.117.648.
2. Голдстоун, Дж. (1961). «Теории поля с решениями сверхпроводников». Nuovo Cimento . 19 (1): 154–164. Bibcode : 1961NCim...19..154G. doi : 10.1007/BF02812722. S2CID  120409034.
3. Голдстоун, Дж.; Салам, Абдус; Вайнберг, Стивен (1962). «Нарушенные симметрии». Physical Review . 127 (3): 965–970. Bibcode : 1962PhRv..127..965G. doi : 10.1103/PhysRev.127.965.
4. Андерсон, П. У. (1958-05-15). «Когерентные возбужденные состояния в теории сверхпроводимости: калибровочная инвариантность и эффект Мейсснера». Physical Review . 110 (4). Американское физическое общество (APS): 827–835. Bibcode : 1958PhRv..110..827A. doi : 10.1103/physrev.110.827. ISSN  0031-899X.
5. Андерсон, П. У. (1958-12-15). «Приближение случайных фаз в теории сверхпроводимости». Physical Review . 112 (6). Американское физическое общество (APS): 1900–1916. Bibcode : 1958PhRv..112.1900A. doi : 10.1103/physrev.112.1900. ISSN  0031-899X.
6. Боголюбов, НН; Толмачев, ВВ; Ширков, ДВ (1958). «Новый метод в теории сверхпроводимости». Fortschritte der Physik . 6 (11–12). Wiley: 605–682. Bibcode :1958ForPh...6..605B. doi :10.1002/prop.19580061102. ISSN  0015-8208.
7. Бауманн, Д.; МакАллистер, Л. (2015). "1". Инфляция и теория струн . Cambridge University Press. стр. 5–8. ISBN 978-1107089693.
8. LM Ricciardi, H. Umezawa (1967). Brain and physics of many-body problems. Kybernetik, 4, 44–48. Перепечатано в: Globus GG, Pribram KH, Vitiello G., publishers. Brain and being. Amsterdam: John Benjamins. P. 255–66 (2004).
9. G. Vitiello, (1995). Рассеивание памяти и емкость в квантовой модели мозга. Int. J. Mod. Phys. B9, 973-989.
10. E. Del Giudice, S. Doglia, M. Milani, G. Vitiello (1985). Квантовополевой теоретический подход к коллективному поведению биологических систем. Nucl. Phys., B251 (FS 13), 375 - 400.
11. E. Del Giudice, S. Doglia, M. Milani, G. Vitiello (1986). Электромагнитное поле и спонтанное нарушение симметрии в биологической материи. Nucl. Phys., B275 (FS 17), 185 - 199.
12. Э. Дель Джудиче, Г. Препарата, Г. Витиелло (1988). Вода как лазер на свободных электронах. Физ. Преподобный Летт., 61, 1085–1088.
13. М. Джибу, К. Ясуэ (1995). Квантовая динамика мозга и сознание. Амстердам: Джон Бенджаминс.
14. Джузеппе Витиелло, Мой двойник раскрыт — Диссипативная квантовая модель мозга. John Benjamins Publ. Co., Амстердам, 2001.
15. Scholarpedia доказательство теоремы Голдстоуна - kibble
16. Фабри, Э.; Пикассо, Л. Э. (1966-03-07). «Квантовая теория поля и приближенные симметрии». Physical Review Letters . 16 (10). Американское физическое общество (APS): 408–410. Bibcode : 1966PhRvL..16..408F. doi : 10.1103/physrevlett.16.408.2. ISSN  0031-9007.
17. Фабри распределил 1965
18. https://www.theorie.physik.uni-muenchen.de/activities/lectures/twentyfourth_series/murayama_2/video_murayama_colloquium/index.html Архивировано 14.01.2022 в Wayback Machine - мин. 30-60
19. Харуки Ватанабэ, Хитоши Мураяма, Унифицированное описание бозонов Намбу Голдстоуна без лоренц-инвариантности Phys. Rev. Lett. 108,251602,2012, https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.108.251602
20. "min 42". Архивировано из оригинала 2022-01-14 . Получено 2022-01-14 .
21. Фабри распределил 1965
22. Хойнка, Саша; Дайк, Пол; Лингхэм, Маркус Г.; Киннунен, Джами Дж.; Брюун, Георг М.; Вейл, Крис Дж. (2017). «Режим Голдстоуна и парные возбуждения в атомных ферми-сверхтекучих средах». Физика природы . 13 (10): 943–946. arXiv : 1707.00406 . Бибкод : 2017NatPh..13..943H. дои : 10.1038/nphys4187. S2CID  59392755.
23. Leutwyler, H. "Phonons as Goldstone bosons" (PDF) . cds.cern.ch . Получено 4 ноября 2023 г. .
24. Lykken, Joseph; Spiropulu, Maria (2013). «Будущее бозона Хиггса». Physics Today . 66 (12): 28–33. Bibcode : 2013PhT....66l..28L. doi : 10.1063/PT.3.2212 . OSTI  1131296.
25. Lykken, Joseph; Spiropulu, Maria (2013). «Будущее бозона Хиггса». Physics Today . 66 (12): 28–33. Bibcode : 2013PhT....66l..28L. doi : 10.1063/PT.3.2212 . OSTI  1131296.
26. Low, I.; Manohar, AV (февраль 2002 г.). «Спонтанно нарушенные симметрии пространства-времени и теорема Голдстоуна». Phys. Rev. Lett . 88 (10): 101602–101605. arXiv : hep-th/0110285 . Bibcode :2002PhRvL..88j1602L. doi :10.1103/PhysRevLett.88.101602. PMID  11909340. S2CID  15997403.
27. Ган, Вун Сьонг (2019). «Спонтанное нарушение симметрии и фонон как мода Голдстоуна». Подход к акустическим полям с точки зрения инвариантности калибровки . стр. 59–62. doi :10.1007/978-981-13-8751-7_11. ISBN 978-981-13-8750-0. S2CID  201256113.
28. Волков, ДВ; Акулов, В. (1973). «Является ли нейтрино частицей Голдстоуна?». Physics Letters . B46 (1): 109–110. Bibcode : 1973PhLB...46..109V. doi : 10.1016/0370-2693(73)90490-5.
29. Салам, А.; и др. (1974). «О фермионе Голдстоуна». Physics Letters . B49 (5): 465–467. Bibcode : 1974PhLB...49..465S. doi : 10.1016/0370-2693(74)90637-6.