Теорема Дарбу

Основополагающий результат в симплектической геометрии

В дифференциальной геометрии , области математики , теорема Дарбу — это теорема, дающая нормальную форму для специальных классов дифференциальных 1-форм , частично обобщающая теорему интегрирования Фробениуса . Она названа в честь Жана Гастона Дарбу ^[1], который установил ее как решение проблемы Пфаффа . ^[2]

Это основополагающий результат в нескольких областях, главной из которых является симплектическая геометрия . Действительно, одним из его многочисленных следствий является то, что любые два симплектических многообразия одинаковой размерности локально симплектоморфны друг другу. То есть, каждое -мерное симплектическое многообразие можно заставить выглядеть локально как линейное симплектическое пространство с его канонической симплектической формой. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Аналогичное следствие теоремы имеет место и в применении к контактной геометрии .

Заявление

Предположим, что — дифференциальная 1-форма на -мерном многообразии, имеющая постоянный ранг . Тогда ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$ ${\displaystyle p}$

• если всюду, то существует локальная система координат , в которой ${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}=0}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n-p},y_{1},\ldots ,y_{p})}$ $${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p};}$$
• если всюду, то существует локальная система координат , в которой ${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq 0}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n-p},y_{1},\ldots ,y_{p})}$ $${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p}+\mathrm {d} x_{p+1}.}$$

Первоначальное доказательство Дарбу использовало индукцию по и его можно эквивалентно представить в терминах распределений ^[3] или дифференциальных идеалов . ^[4] ${\displaystyle p}$

Теорема Фробениуса

Теорема Дарбу для гарантирует, что любая 1-форма такая, что может быть записана как в некоторой системе координат . ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle \theta \neq 0}$ ${\displaystyle \theta \wedge d\theta =0}$ ${\displaystyle \theta =dx_{1}}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Это восстанавливает одну из формулировок теоремы Фробениуса в терминах дифференциальных форм: если — дифференциальный идеал, порожденный , то подразумевает существование системы координат , где фактически порожден . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset \Omega ^{*}(M)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta \wedge d\theta =0}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset \Omega ^{*}(M)}$ ${\displaystyle dx_{1}}$

Теорема Дарбу для симплектических многообразий

Предположим, что является симплектической 2-формой на -мерном многообразии . В окрестности каждой точки , по лемме Пуанкаре , существует 1-форма с . Более того, удовлетворяет первому набору гипотез в теореме Дарбу, и поэтому локально существует координатная карта вблизи , в которой ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \theta =\omega }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{m}\,\mathrm {d} y_{m}.}$$

Взятие внешней производной теперь показывает

$${\displaystyle \omega =\mathrm {d} \theta =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\ldots +\mathrm {d} x_{m}\wedge \mathrm {d} y_{m}.}$$

Говорят, что эта карта является картой Дарбу вокруг . ^[5] Многообразие может быть покрыто такими картами. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$

Чтобы выразить это по-другому, отождествим с , позволив . Если — карта Дарбу, то можно записать как обратный образ стандартной симплектической формы на : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle z_{j}=x_{j}+{\textit {i}}\,y_{j}}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \omega =\varphi ^{*}\omega _{0}.\,}$

Современное доказательство этого результата, без использования общего утверждения Дарбу об 1-формах, сделано с использованием трюка Мозера . ^{[5] [6]}

Сравнение с римановой геометрией

Теорема Дарбу для симплектических многообразий подразумевает, что в симплектической геометрии нет локальных инвариантов: всегда можно взять базис Дарбу , действительный вблизи любой заданной точки. Это резко контрастирует с ситуацией в римановой геометрии , где кривизна является локальным инвариантом, препятствием к метрике, которая локально является суммой квадратов дифференциалов координат.

Разница в том, что теорема Дарбу утверждает, что можно заставить принять стандартную форму во всей окрестности вокруг . В римановой геометрии метрику всегда можно заставить принять стандартную форму в любой заданной точке, но не всегда в окрестности вокруг этой точки. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p}$

Теорема Дарбу для контактных многообразий

Другой частный случай восстанавливается, когда ; если всюду, то является контактной формой . Более простое доказательство может быть дано, как в случае симплектических структур, с использованием трюка Мозера . ^[7] ${\displaystyle n=2p+1}$ ${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq 0}$ ${\displaystyle \theta }$

Теорема Дарбу-Вайнштейна

Алан Вайнштейн показал, что теорему Дарбу для симплектических многообразий можно усилить так, чтобы она была верна в окрестности подмногообразия : [ 8 ^]

Пусть — гладкое многообразие, снабженное двумя симплектическими формами и , и пусть — замкнутое подмногообразие. Если , то существуют окрестность в и диффеоморфизм такой, что . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle \left.\omega _{1}\right|_{N}=\left.\omega _{2}\right|_{N}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:U\to U}$ ${\displaystyle f^{*}\omega _{2}=\omega _{1}}$

Стандартная теорема Дарбу восстанавливается, когда — точка, а — стандартная симплектическая структура на координатной карте. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

Эта теорема справедлива также для бесконечномерных банаховых многообразий .

Смотрите также

• Теорема Каратеодори–Якоби–Ли , обобщение этой теоремы.
• трюк Мозера
• Симплектический базис

Ссылки

1. Дарбу, Гастон (1882). «Sur le problème de Pfaff» [О проблеме Пфаффа]. Бык. наук. Математика. (на французском языке). 6 : 14–36, 49–68. ЖФМ  05.0196.01.
2. Пфафф, Иоганн Фридрих (1814–1815). «Methodus Generalis, aequationes Differentiarum Partialium NEC Non aequationes Differentiales Vulgates, Ultrasque Primi Ordinis, Inter quotcunque переменные, Complete Integrandi» [Общий метод полного интегрирования уравнений в частных производных, а также обыкновенных дифференциальных уравнений порядка выше единицы, с любыми количество переменных]. Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften в Берлине (на латыни): 76–136.
3. Штернберг, Шломо (1964). Лекции по дифференциальной геометрии. Prentice Hall . С. 140–141. ISBN 9780828403160.
4. Брайант, Роберт Л .; Черн, СС ; Гарднер, Роберт Б .; Гольдшмидт, Хьюберт Л.; Гриффитс, П. А. (1991). "Внешние дифференциальные системы". Издания Научно-исследовательского института математических наук . doi :10.1007/978-1-4613-9714-4. ISSN  0940-4740.
5. McDuff, Dusa ; Salamon, Dietmar (2017-06-22). Введение в симплектическую топологию. Том 1. Oxford University Press . doi :10.1093/oso/9780198794899.001.0001. ISBN 978-0-19-879489-9.
6. Каннас Сильва, Ана (2008). Лекции по симплектической геометрии. Спрингер . дои : 10.1007/978-3-540-45330-7. ISBN 978-3-540-42195-5.
7. Гейгес, Хансйорг (2008). Введение в контактную топологию. Кембриджские исследования по высшей математике. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 67–68. дои : 10.1017/cbo9780511611438. ISBN 978-0-521-86585-2.
8. Вайнштейн, Алан (1971). «Симплектические многообразия и их лагранжевы подмногообразия». Успехи математики . 6 (3): 329–346. doi : 10.1016/0001-8708(71)90020-X .

Внешние ссылки

• Ж. Дарбу, «О проблеме Пфаффа», перевод Д. Х. Дельфенича
• Ж. Дарбу, «О проблеме Пфаффа (продолжение)», перевод Д. Х. Дельфенича