Уравнение Райчаудхури

Результат в общей теории относительности

В общей теории относительности уравнение Райчаудхури , или уравнение Ландау–Райчаудхури , ^[1] является фундаментальным результатом, описывающим движение близлежащих частиц материи.

Уравнение важно как фундаментальная лемма для теорем Пенроуза–Хокинга о сингулярностях и для изучения точных решений в общей теории относительности , но имеет и самостоятельный интерес, поскольку оно предлагает простое и общее подтверждение нашего интуитивного ожидания, что гравитация должна быть универсальной силой притяжения между любыми двумя частицами массы-энергии в общей теории относительности, как это имеет место в теории гравитации Ньютона .

Уравнение было открыто независимо индийским физиком Амалом Кумаром Райчаудхури ^[2] и советским физиком Львом Ландау . ^[3]

Математическое утверждение

При наличии времениподобного единичного векторного поля (которое можно интерпретировать как семейство или конгруэнтность непересекающихся мировых линий посредством интегральной кривой , не обязательно геодезических ), уравнение Райчаудхури можно записать: ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}+2\omega ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}+{{\dot {X}}^{a}}_{;a}}$

где

${\displaystyle 2\sigma ^{2}=\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;2\omega ^{2}=\omega _{mn}\,\omega ^{mn}}$

являются (неотрицательными) квадратичными инвариантами тензора сдвига

${\displaystyle \sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}}$

и тензор вихреобразования

${\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}$

соответственно. Здесь,

${\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}}$

- тензор расширения , - его след , называемый скаляром расширения , и ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}}$

— тензор проекции на гиперплоскости, ортогональные . Также точка обозначает дифференциацию по собственному времени, отсчитываемому вдоль мировых линий в конгруэнции. Наконец, след приливного тензора можно также записать как ${\displaystyle {\vec {X}}}$ ${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}}$

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$

Эту величину иногда называют скаляром Райчаудхури .

Интуитивная значимость

Скаляр расширения измеряет дробную скорость, с которой объем небольшого шарика материи изменяется относительно времени, измеренного центральным сопутствующим наблюдателем (и поэтому он может принимать отрицательные значения). Другими словами, приведенное выше уравнение дает нам уравнение эволюции для расширения времениподобной конгруэнтности. Если производная (по отношению к собственному времени) этой величины оказывается отрицательной вдоль некоторой мировой линии (после определенного события), то любое расширение небольшого шарика материи (чей центр масс следует за рассматриваемой мировой линией) должно сопровождаться повторным коллапсом. В противном случае возможно продолжение расширения.

Тензор сдвига измеряет любую тенденцию изначально сферического шара материи деформироваться в эллипсоидальную форму. Тензор вихреобразования измеряет любую тенденцию близлежащих мировых линий закручиваться друг вокруг друга (если это происходит, наш маленький сгусток материи вращается, как это происходит с жидкими элементами в обычном потоке жидкости, который демонстрирует ненулевую вихреобразность).

Правая часть уравнения Райчаудхури состоит из двух типов членов:

1. термины, способствующие (повторному) коллапсу
   • изначально ненулевой скаляр расширения,
   • ненулевой сдвиг,
   • положительный след приливного тензора; это именно то условие, которое гарантируется предположением сильного энергетического условия , которое выполняется для наиболее важных типов решений, таких как физически обоснованные жидкие решения ,
2. термины, которые выступают против (повторного) коллапса
   • ненулевая завихренность, соответствующая ньютоновским центробежным силам ,
   • положительное отклонение вектора ускорения (например, направленное наружу ускорение из-за сферически симметричного взрыва или, что более прозаично, из-за сил, действующих на элементы жидкости в шаре жидкости, удерживаемом вместе собственной самогравитацией).

Обычно побеждает один термин. Однако есть ситуации, в которых можно достичь баланса. Этот баланс может быть:

• устойчивый : в случае гидростатического равновесия шара идеальной жидкости (например, в модели внутренней части звезды) расширение, сдвиг и завихренность исчезают, а радиальное расхождение вектора ускорения (необходимая сила тела на каждый сгусток жидкости обеспечивается давлением окружающей жидкости) противодействует скаляру Райчаудхури, который для идеальной жидкости находится в геометризированных единицах . В ньютоновской гравитации след приливного тензора равен ; в общей теории относительности тенденция давления противостоять гравитации частично компенсируется этим членом, который при определенных обстоятельствах может стать важным. ${\displaystyle E[{\vec {X}}]^{a}{}_{a}=4\pi (\mu +3p)}$ ${\displaystyle 4\pi \mu }$
• нестабильны : например, мировые линии частиц пыли в решении Гёделя имеют исчезающий сдвиг, расширение и ускорение, но постоянную завихренность, просто уравновешивающую постоянный скаляр Райчуадхури из-за ненулевой энергии вакуума («космологическая постоянная»).

Теорема о фокусировке

Предположим, что сильное энергетическое условие выполняется в некоторой области нашего пространства-времени, и пусть будет времяподобным геодезическим единичным векторным полем с исчезающей завихренностью или, что эквивалентно, которое является гиперповерхностно-ортогональным. Например, эта ситуация может возникнуть при изучении мировых линий пылевых частиц в космологических моделях, которые являются точными пылевыми решениями уравнения поля Эйнштейна (при условии, что эти мировые линии не закручиваются друг вокруг друга, в этом случае конгруэнтность будет иметь ненулевую завихренность). ${\displaystyle {\vec {X}}}$

Тогда уравнение Райчаудхури становится

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}}$

Теперь правая часть всегда отрицательна или равна нулю, поэтому скаляр расширения никогда не увеличивается со временем.

Поскольку последние два члена неотрицательны, то имеем

${\displaystyle {\dot {\theta }}\leq -{\frac {\theta ^{2}}{3}}}$

Интегрирование этого неравенства по собственному времени дает ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}\geq {\frac {1}{\theta _{0}}}+{\frac {\tau }{3}}}$

Если начальное значение скаляра расширения отрицательно, это означает, что наши геодезические должны сходиться в каустике ( стремится к минус бесконечности) в течение собственного времени не более после измерения начального значения скаляра расширения. Это не обязательно должно означать столкновение с сингулярностью кривизны, но это означает сбой в нашем математическом описании движения пыли. ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 3/|\theta _{0}|}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

Оптические уравнения

Существует также оптическая (или нулевая) версия уравнения Райчаудхури для нулевых геодезических конгруэнций.

${\displaystyle {\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}$.

Здесь шляпы указывают, что расширение, сдвиг и завихренность только по отношению к поперечным направлениям. Когда завихренность равна нулю, то, предполагая условие нулевой энергии , каустики будут образовываться до того, как аффинный параметр достигнет . ${\displaystyle 2/{\widehat {\theta }}_{0}}$

Приложения

Горизонт событий определяется как граница причинного прошлого нулевой бесконечности. Такие границы генерируются нулевыми геодезическими. Аффинный параметр стремится к бесконечности по мере приближения к нулевой бесконечности, и до тех пор каустики не образуются. Таким образом, расширение горизонта событий должно быть неотрицательным. Поскольку расширение дает скорость изменения логарифма плотности площади, это означает, что площадь горизонта событий никогда не может уменьшиться, по крайней мере, классически, предполагая условие нулевой энергии.

Смотрите также

• Конгруэнтность (общая теория относительности) , для вывода кинематического разложения и уравнения Райчаудхури
• Гравитационная сингулярность
• Теоремы Пенроуза–Хокинга о сингулярностях для применения теоремы о фокусировке

Примечания

1. Пространство-время как деформируемое твердое тело, М.О. Тахим, Р.Р. Ландим и К.А. Алмейда, arXiv :0705.4120v1.
2. Дадхич, Нареш (август 2005 г.). «Амаль Кумар Райчаудхури (1923–2005)» (PDF) . Современная наука . 89 : 569–570.
3. Крупномасштабная структура пространства-времени Стивена У. Хокинга и Г. Ф. Р. Эллиса , Cambridge University Press, 1973, стр. 84, ISBN 0-521-09906-4 . 

Ссылки

• Пуассон, Эрик (2004). Инструментарий релятивиста: Математика механики черных дыр . Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83091-5.См. главу 2 , где представлено превосходное обсуждение уравнения Райчаудхури как для времениподобных, так и для нулевых геодезических , а также теоремы о фокусировке.
• Кэрролл, Шон М. (2004). Пространство-время и геометрия: Введение в общую теорию относительности . Сан-Франциско: Addison-Wesley . ISBN 0-8053-8732-3.См. приложение F.
• Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; Маккаллум, Малкольм; Хоенселаерс, Корнелиус; Хертл, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.) . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7.Подробное введение в геодезические сравнения, включая общую форму уравнения Райчаудхури, см . в главе 6.
• Хокинг, Стивен и Эллис, GFR (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09906-4.Обсуждение общей формы уравнения Райчаудхури см . в разделе 4.1.
• Райчаудхури, АК (1955). «Релятивистская космология I». Phys . Rev. 98 (4): 1123–1126. Bibcode :1955PhRv...98.1123R. doi :10.1103/PhysRev.98.1123. hdl : 10821/7599 . Статья Райчаудхури, представляющая его уравнение.
• Дасгупта, Анирван; Нандан, Хемвати и Кар, Саян (2009). «Кинематика геодезических потоков на фоне струнных черных дыр». Phys. Rev. D. 79 ( 12): 124004. arXiv : 0809.3074 . Bibcode : 2009PhRvD..79l4004D. doi : 10.1103/PhysRevD.79.124004. S2CID  118628925.См. раздел IV для вывода общей формы уравнений Райчаудхури для трех кинематических величин (а именно скаляра расширения, сдвига и вращения).
• Кар, Саян и СенГупта, Сумитра (2007). «Уравнения Райчаудхури: краткий обзор». Прамана . 69 (1): 49–76. arXiv : gr-qc/0611123 . Бибкод : 2007Прама..69...49К. дои : 10.1007/s12043-007-0110-9. S2CID  119438891.См. обзор уравнений Райчаудхури.

Внешние ссылки

• Значение уравнения поля Эйнштейна Джона К. Баеза и Эмори Ф. Банна. Уравнение Рейчаудхури занимает центральное место в этом хорошо известном (и настоятельно рекомендуемом) полутехническом изложении того, что говорит уравнение Эйнштейна.
• Теоретическая космология Райчаудхури, AK Clarendon Press, 1979 https://books.google.co.in/books/about/Theoretical_Cosmology.html?id=p1DApKmlaFoC&redir_esc=y