Теорема Туннеля

В теории чисел теорема Туннела дает частичное решение проблемы конгруэнтности чисел , а согласно гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера — полное решение.

Проблема конгруэнтности чисел

Задача о конгруэнтных числах спрашивает, какие положительные целые числа могут быть площадью прямоугольного треугольника со всеми тремя сторонами рациональными. Теорема Туннелла связывает это с числом целочисленных решений нескольких довольно простых диофантовых уравнений .

Теорема

Для заданного целого числа n , свободного от квадратов , определите

{\begin{aligned}A_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=2x^{2}+y^{ 2}+32z^{2}\},\\B_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=2x^{2} +y^{2}+8z^{2}\},\\C_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=8x ^{2}+2y^{2}+64z^{2}\},\\D_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\ середина n=8x^{2}+2y^{2}+16z^{2}\}.\end{align}}

Теорема Туннелла утверждает, что если n — конгруэнтное число, то если n нечетно, то 2 A _n = B _n , а если n четно, то 2 C _n = D _n . Наоборот, если гипотеза Бирча и Суиннертона-Дайера верна для эллиптических кривых вида , то этих равенств достаточно, чтобы заключить, что n — конгруэнтное число. $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$

История

Теорема названа в честь Джерролда Б. Таннелла , специалиста по теории чисел из Ратгерского университета , который доказал ее в работе Таннелла (1983).

Важность

Важность теоремы Туннелла заключается в том, что критерий, который она дает, можно проверить с помощью конечного вычисления. Например, для заданного числа можно вычислить, проведя исчерпывающий поиск в диапазоне . $n$ $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}$ $x,y,z$ $-{\sqrt {n}},\ldots ,{\sqrt {n}}$

Смотрите также

Ссылки

Коблиц, Нил (2012), Введение в эллиптические кривые и модулярные формы , Graduate Texts in Mathematics (Book 97) (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-1-4612-6942-7
Туннелл, Джерролд Б. (1983), «Классическая диофантова задача и модулярные формы веса 3/2», Inventiones Mathematicae , 72 (2): 323–334, doi : 10.1007/BF01389327, hdl : 10338.dmlcz/137483