В квантовой теории поля и статистической теории поля теорема Элицура утверждает, что в калибровочных теориях единственными операторами, которые могут иметь неисчезающие значения ожидания, являются те, которые инвариантны относительно локальных калибровочных преобразований. Важным следствием является то, что калибровочная симметрия не может быть спонтанно нарушена . Теорема была впервые доказана в 1975 году Шмуэлем Элицуром в решеточной теории поля [1] , хотя тот же результат, как ожидается, будет справедлив в пределе континуума . Теорема показывает, что наивная интерпретация механизма Хиггса как спонтанного нарушения симметрии калибровочной симметрии неверна, хотя это явление можно полностью переформулировать в терминах калибровочно-инвариантных величин в том, что известно как механизм Фрелиха–Моркио–Строкки. [2]
Теория поля допускает различные типы симметрий , из которых два наиболее распространенных — глобальные и локальные симметрии. Глобальные симметрии — это преобразования полей, действующие одинаково везде, в то время как локальные симметрии действуют на поля в зависимости от положения. Последние соответствуют избыточности в описании системы. Это следствие второй теоремы Нётер , которая гласит, что каждая локальная степень свободы симметрии соответствует соотношению между уравнениями Эйлера–Лагранжа , что делает систему недоопределенной . Недоопределенность требует фиксации калибровки нераспространяющихся степеней свободы, так что уравнения движения допускают единственное решение. [3]
Спонтанное нарушение симметрии происходит, когда действие теории имеет симметрию, но вакуумное состояние нарушает эту симметрию. В этом случае будет существовать локальный оператор , который неинвариантен относительно симметрии, что дает ему ненулевое вакуумное ожидание. Такие неинвариантные локальные операторы всегда имеют исчезающие вакуумные ожидания для систем конечного размера, запрещая спонтанное нарушение симметрии. Это происходит, потому что на больших временных масштабах конечные системы всегда переходят между всеми возможными основными состояниями, усредняя ожидание оператора . [4]
В то время как спонтанное нарушение симметрии может происходить для глобальных симметрий, теорема Элицура утверждает, что то же самое не относится к калибровочным симметриям; все вакуумные ожидания калибровочно-неинвариантных операторов равны нулю даже в системах бесконечного размера. [5] На решетке это следует из того факта, что интегрирование калибровочно-неинвариантных наблюдаемых по групповой мере всегда дает ноль для компактных калибровочных групп . [6] Положительность меры и калибровочная инвариантность достаточны для доказательства теоремы. [7] Это также объясняет, почему калибровочные симметрии являются просто избыточностью в решеточных теориях поля, где уравнения движения не должны определять корректно поставленную задачу, поскольку их не нужно решать. Вместо этого теорема Элицура показывает, что любая наблюдаемая, которая не инвариантна относительно симметрии, имеет исчезающее математическое ожидание, что делает ее ненаблюдаемой и, следовательно, избыточной.
Чтобы показать, что система допускает спонтанное нарушение симметрии, необходимо ввести слабое внешнее поле источника, которое нарушает симметрию и приводит к предпочтительному основному состоянию . Затем система доводится до термодинамического предела , после чего внешнее поле источника отключается. Если вакуумное ожидание неинвариантных операторов симметрии в этом пределе отлично от нуля, то происходит спонтанное нарушение симметрии. [8] Физически это означает, что система никогда не покидает исходное основное состояние, в которое она была помещена внешним полем. Для глобальных симметрий это происходит, потому что энергетический барьер между различными основными состояниями пропорционален объему, поэтому в термодинамическом пределе это расходится, запирая систему в основном состоянии. Локальные симметрии обходят эту конструкцию, потому что энергетический барьер между двумя основными состояниями зависит только от локальных особенностей, поэтому переходы в различные калибровочно-связанные основные состояния могут происходить локально и не требуют, чтобы поле изменялось везде одновременно, как это происходит для глобальных симметрий.
Теорема имеет ряд ограничений. В частности, спонтанное нарушение симметрии калибровочной симметрии допускается в системе с бесконечными пространственными измерениями или симметрии с бесконечным числом переменных, поскольку в этих случаях существуют бесконечные энергетические барьеры между конфигурациями, связанными с калибровкой. Теорема также не применима к остаточным калибровочным степеням свободы [9] или большим калибровочным преобразованиям [10] , которые в принципе могут быть спонтанно нарушены. Более того, все текущие доказательства опираются на формулировку решеточной теории поля, поэтому они могут быть недействительны в настоящей континуальной теории поля. Поэтому в принципе правдоподобно, что могут существовать экзотические континуальные теории, для которых калибровочные симметрии могут быть спонтанно нарушены, хотя такой сценарий остается маловероятным из-за отсутствия каких-либо известных примеров.
Классификация фаз Ландау использует ожидаемые значения локальных операторов для определения фазы системы . Однако теорема Элицура показывает, что этот подход недопустим в некоторых системах, таких как теории Янга–Миллса , для которых ни один локальный оператор не может действовать как оператор порядка для ограничения . Вместо этого, чтобы обойти теорему, требуется построить нелокальные калибровочно-инвариантные операторы, ожидаемые значения которых не обязательно равны нулю. Наиболее распространенными являются петли Вильсона и их тепловые эквиваленты, петли Полякова . Другим нелокальным оператором, действующим как оператор порядка, является петля 'т Хоофта .
Поскольку калибровочные симметрии не могут быть спонтанно нарушены, это ставит под сомнение справедливость механизма Хиггса. В обычном представлении поле Хиггса имеет потенциал , который, по-видимому, дает полю Хиггса неисчезающее вакуумное ожидание. Однако это всего лишь следствие наложения фиксации калибровки, обычно унитарной калибровки . Любое значение вакуумного ожидание может быть получено путем выбора соответствующей фиксации калибровки. Вычисление ожидаемого значения калибровочно-инвариантным способом всегда дает ноль, в соответствии с теоремой Элицура. Механизм Хиггса, однако, можно полностью переформулировать калибровочно-инвариантным способом в том, что известно как механизм Фрелиха–Моркио–Строкки, который не включает спонтанное нарушение симметрии какой-либо симметрии. [11] Для неабелевых калибровочных групп, имеющих подгруппу , этот механизм согласуется с механизмом Хиггса, но для других калибровочных групп могут возникнуть расхождения между двумя подходами.
Теорему Элицура можно также обобщить до более широкого понятия локальных симметрий, где в D-мерном пространстве могут быть симметрии, которые действуют равномерно на d-мерных гиперплоскостях . С этой точки зрения глобальные симметрии действуют на D-мерных гиперплоскостях, в то время как локальные симметрии действуют на 0-мерных. Обобщенная теорема Элицура затем дает границы на вакуумные ожидаемые значения операторов, которые неинвариантны относительно таких d-мерных симметрий. [12] Эта теорема имеет многочисленные приложения в системах конденсированного состояния , где возникают такие симметрии.
