Теорема Такенса

Условия, при которых хаотическую систему можно реконструировать путем наблюдения

Аттрактор Рёсслера , реконструированный по теореме Такенса с использованием различных длин задержки. Орбиты вокруг аттрактора имеют период от 5,2 до 6,2.

При изучении динамических систем теорема о вложении с задержкой дает условия, при которых хаотическую динамическую систему можно реконструировать из последовательности наблюдений состояния этой системы. Реконструкция сохраняет свойства динамической системы, которые не меняются при плавных изменениях координат (т. е. диффеоморфизмах ), но она не сохраняет геометрическую форму структур в фазовом пространстве .

Теорема Такенса — теорема о вложении задержки 1981 года Флориса Такенса . Она обеспечивает условия, при которых гладкий аттрактор может быть восстановлен из наблюдений, сделанных с помощью общей функции. Более поздние результаты заменили гладкий аттрактор набором произвольной размерности подсчета ящиков , а класс общих функций — другими классами функций.

Это наиболее часто используемый метод реконструкции аттрактора . ^[1]

Теоремы вложения задержки проще формулировать для динамических систем с дискретным временем . Пространство состояний динамической системы представляет собой ν -мерное многообразие M. Динамика задается гладким отображением

${\displaystyle f:M\to M.}$

Предположим, что динамика f имеет странный аттрактор с размерностью подсчета ящиков d _A. Используя идеи из теоремы Уитни о вложении , A можно вложить в k -мерное евклидово пространство с ${\displaystyle A\subset M}$

${\displaystyle k>2d_{A}.}$

То есть существует диффеоморфизм φ , который отображает A в таким образом, что производная φ имеет полный ранг . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

Теорема о задержке вложения использует функцию наблюдения для построения функции вложения. Функция наблюдения должна быть дважды дифференцируемой и сопоставлять действительное число любой точке аттрактора A . Она также должна быть типичной , поэтому ее производная имеет полный ранг и не имеет особых симметрий в своих компонентах. Теорема о задержке вложения утверждает, что функция ${\displaystyle \alpha :M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi _{T}(x)={\bigl (}\alpha (x),\,\alpha (f(x)),\,\dots ,\,\alpha (f^{k-1}(x))\,{\bigr )}}$

является вложением странного аттрактора A в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}.}$

Упрощенная версия

Предположим, что -мерный вектор состояния развивается в соответствии с неизвестной, но непрерывной и (что принципиально) детерминированной динамикой. Предположим также, что одномерная наблюдаемая является гладкой функцией от и «связана» со всеми компонентами . Теперь в любой момент времени мы можем смотреть не только на текущее измерение , но и на наблюдения, сделанные в моменты времени, удаленные от нас на кратные некоторого запаздывания и т. д. Если мы используем запаздывания, у нас есть -мерный вектор. Можно было бы ожидать, что по мере увеличения числа запаздываний движение в запаздывающем пространстве будет становиться все более и более предсказуемым и, возможно, в пределе станет детерминированным. Фактически, динамика запаздывающих векторов становится детерминированной в конечном измерении; не только это, но и детерминированная динамика полностью эквивалентна динамике исходного пространства состояний (точнее, они связаны плавным, обратимым изменением координат или диффеоморфизмом). Фактически, теорема утверждает, что детерминизм появляется, как только вы достигаете размерности , а минимальная размерность вложения часто меньше. ^{[2] [3]} ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle \tau :y_{t+\tau },y_{t+2\tau }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle 2d+1}$

Выбор задержки

Теорема Такенса обычно используется для реконструкции странных аттракторов из экспериментальных данных, для которых есть загрязнение шумом. Таким образом, выбор времени задержки становится важным. В то время как для данных без шума любой выбор задержки действителен, для зашумленных данных аттрактор будет разрушен шумом при неудачно выбранных задержках.

Оптимальная задержка обычно составляет от одной десятой до половины среднего орбитального периода вокруг аттрактора. ^{[4] [5]}

Смотрите также

• Теорема вложения Уитни
• Нелинейное уменьшение размерности

Ссылки

1. Зауэр, Тимоти Д. (2006-10-24). "Реконструкция аттрактора". Scholarpedia . 1 (10): 1727. Bibcode :2006SchpJ...1.1727S. doi : 10.4249/scholarpedia.1727 . ISSN  1941-6016.
2. Шализи, Косма Р. (2006). «Методы и приемы науки о сложных системах: обзор». В Deisboeck, ThomasS; Kresh, J.Yasha (ред.). Наука о сложных системах в биомедицине . Темы в биомедицинской инженерии Международная книжная серия. Springer US. стр. 33–114. arXiv : nlin/0307015 . doi : 10.1007/978-0-387-33532-2_2. ISBN 978-0-387-30241-6. S2CID  11972113.
3. Баранский, Кшиштоф; Гутман, Йонатан; Шпивак, Адам (01 сентября 2020 г.). «Вероятностная теорема Такенса». Нелинейность . 33 (9): 4940–4966. arXiv : 1811.05959 . Бибкод : 2020Nonli..33.4940B. дои : 10.1088/1361-6544/ab8fb8. ISSN  0951-7715. S2CID  119137065.
4. Строгац, Стивен (2015). "12.4 Химический хаос и реконструкция аттрактора". Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике (Второе изд.). Боулдер, Колорадо. ISBN 978-0-8133-4910-7. OCLC  842877119.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. Фрейзер, Эндрю М.; Суинни, Гарри Л. (1986-02-01). "Независимые координаты для странных аттракторов из взаимной информации" . Physical Review A. 33 ( 2): 1134–1140. Bibcode : 1986PhRvA..33.1134F. doi : 10.1103/PhysRevA.33.1134. PMID  9896728.

Дальнейшее чтение

• N. Packard , J. Crutchfield , D. Farmer и R. Shaw (1980). «Геометрия из временного ряда». Physical Review Letters . 45 (9): 712–716. Bibcode : 1980PhRvL..45..712P. doi : 10.1103/PhysRevLett.45.712.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• F. Takens (1981). «Обнаружение странных аттракторов в турбулентности». В DA Rand и L.-S. Young (ред.). Dynamical Systems and Turbulence, Lecture Notes in Mathematics, т. 898. Springer-Verlag. стр. 366–381.
• Р. Манье (1981). «О размерности компактных инвариантных множеств некоторых нелинейных отображений». В DA Rand и L.-S. Young (ред.). Dynamical Systems and Turbulence, Lecture Notes in Mathematics, т. 898. Springer-Verlag. стр. 230–242.
• G. Sugihara и RM May (1990). «Нелинейное прогнозирование как способ отличить хаос от ошибки измерения во временных рядах». Nature . 344 (6268): 734–741. Bibcode :1990Natur.344..734S. doi :10.1038/344734a0. PMID  2330029. S2CID  4370167.
• Тим Зауэр, Джеймс А. Йорк и Мартин Касдагли (1991). "Эмбедология". Журнал статистической физики . 65 (3–4): 579–616. Bibcode : 1991JSP....65..579S. doi : 10.1007/BF01053745.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• G. Sugihara (1994). «Нелинейное прогнозирование для классификации естественных временных рядов». Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 348 ( 1688): 477–495. Bibcode : 1994RSPTA.348..477S. doi : 10.1098/rsta.1994.0106. S2CID  121604829.
• PA Dixon, MJ Milicich и G. Sugihara (1999). «Эпизодические колебания в личиночном запасе». Science . 283 (5407): 1528–1530. Bibcode :1999Sci...283.1528D. doi :10.1126/science.283.5407.1528. PMID  10066174.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• G. Sugihara , M. Casdagli, E. Habjan, D. Hess, P. Dixon и G. Holland (1999). «Карты остаточной задержки раскрывают глобальные закономерности атмосферной нелинейности и дают улучшенные локальные прогнозы». PNAS . 96 (25): 210–215. Bibcode : 1999PNAS ... 9614210S. doi : 10.1073/pnas.96.25.14210 . PMC  24416. PMID  10588685.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• C. Hsieh; Glaser, SM; Lucas, AJ; Sugihara, G (2005). «Отличие случайных колебаний окружающей среды от экологических катастроф для северной части Тихого океана». Nature . 435 (7040): 336–340. Bibcode :2005Natur.435..336H. doi :10.1038/nature03553. PMID  15902256. S2CID  2446456.
• RA Rios, L. Parrott, H. Lange и RF de Mello (2015). «Оценка показателей детерминизма для обнаружения закономерностей в геопространственных наборах данных». Дистанционное зондирование окружающей среды . 156 : 11–20. Bibcode : 2015RSEnv.156...11R. doi : 10.1016/j.rse.2014.09.019.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Внешние ссылки

• [1] Продукт ChaosKit компании Scientio использует встраивание для создания анализов и прогнозов. Доступ предоставляется онлайн через веб-сервис и графический интерфейс.
• [2] Инструменты эмпирического динамического моделирования pyEDM и rEDM используют внедрение для анализа, прогнозирования и причинно-следственных связей.