Теорема Smn

О преобразовании программы путем замены свободных переменных константами

В теории вычислимости S м
н теорема , также записываемая как « smn-теорема » или « smn-теорема » (также называемая леммой о переводе , теоремой о параметрах и теоремой о параметризации ) — это основной результат о языках программирования (и, в более общем смысле, о гёделевских нумерациях вычислимых функций ) (Soare 1987, Rogers 1967). Впервые она была доказана Стивеном Коулом Клини (1943). Название S м
н происходит от появления буквы S с нижним индексом n и верхним индексом m в исходной формулировке теоремы (см. ниже).

На практике теорема гласит, что для данного языка программирования и положительных целых чисел m и n существует определенный алгоритм , который принимает в качестве входных данных исходный код программы с m + n свободными переменными вместе с m значениями. Этот алгоритм генерирует исходный код, который эффективно подставляет значения для первых m свободных переменных, оставляя остальные переменные свободными.

Теорема smn утверждает, что для функции двух аргументов , которая является вычислимой , существует полная и вычислимая функция, такая что по сути «фиксация» первого аргумента . Это похоже на частичное применение аргумента к функции. Это обобщено на кортежи для . Другими словами, это касается идеи «параметризации» или «индексирования» вычислимых функций. Это похоже на создание упрощенной версии функции, которая принимает дополнительный параметр (индекс) для имитации поведения более сложной функции. ${\displaystyle g(x,y)}$ ${\displaystyle \phi _{s}(x)(y)=g(x,y)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle x,y}$

Функция разработана для имитации поведения при задании соответствующих параметров. По сути, выбрав правильные значения для и , вы можете заставить вести себя как для определенного вычисления. Вместо того чтобы иметь дело со сложностью , мы можем работать с более простым , который отражает суть вычисления. ${\displaystyle s_{m}^{n}}$ ${\displaystyle \phi (x,y)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \phi (x,y)}$ ${\displaystyle s_{m}^{n}}$

Подробности

Основная форма теоремы применима к функциям двух аргументов (Nies 2009, стр. 6). При заданной гёделевской нумерации рекурсивных функций существует примитивная рекурсивная функция s двух аргументов со следующим свойством: для каждого гёделевского номера p частично вычислимой функции f с двумя аргументами выражения и определены для тех же комбинаций натуральных чисел x и y , и их значения равны для любой такой комбинации. Другими словами, для каждого x выполняется следующее экстенсиональное равенство функций : ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi _{s(p,x)}(y)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$

${\displaystyle \varphi _{s(p,x)}\simeq \lambda y.\varphi _{p}(x,y).}$

В более общем случае для любых m , n > 0 существует примитивная рекурсивная функция m + 1 аргументов, которая ведет себя следующим образом: для каждого гёделева числа p частично вычислимой функции с m + n аргументами и всеми значениями x ₁ , … , x _m : ${\displaystyle S_{n}^{m}}$

${\displaystyle \varphi _{S_{n}^{m}(p,x_{1},\dots ,x_{m})}\simeq \lambda y_{1},\dots ,y_{n}.\varphi _{p}(x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}).}$

Функцию s, описанную выше, можно принять равной . ${\displaystyle S_{1}^{1}}$

Официальное заявление

При заданных арностях m и n для каждой машины Тьюринга арности и для всех возможных значений входных данных существует машина Тьюринга арности n , такая что ${\displaystyle {\text{TM}}_{x}}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{m}}$ ${\displaystyle {\text{TM}}_{k}}$

${\displaystyle \forall z_{1},\dots ,z_{n}:{\text{TM}}_{x}(y_{1},\dots ,y_{m},z_{1},\dots ,z_{n})={\text{TM}}_{k}(z_{1},\dots ,z_{n}).}$

Кроме того, существует машина Тьюринга S , которая позволяет вычислить k из x и y ; она обозначается . ${\displaystyle k=S_{n}^{m}(x,y_{1},\dots ,y_{m})}$

Неформально, S находит машину Тьюринга , которая является результатом жесткого кодирования значений y в . Результат обобщается на любую полную по Тьюрингу вычислительную модель. ${\displaystyle {\text{TM}}_{k}}$ ${\displaystyle {\text{TM}}_{x}}$

Это также можно распространить на все вычислимые функции следующим образом:

Дана полная вычислимая функция и такая , что : ${\displaystyle s_{m,n}:\mathbb {N} ^{m+1}\rightarrow \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m,n\geq 1}$ ${\displaystyle \forall {\vec {x}}\in \mathbb {N} ^{m},\forall {\vec {y}}\in \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle \forall e\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \phi _{e}^{m+n}({\vec {x}},{\vec {y}})=\phi _{s_{m,n}{(e,{\vec {x}})}}^{n}({\vec {y}})}$

Существует также упрощенная версия той же теоремы (фактически определяемая как « упрощенная smn-теорема »), которая в основном использует в качестве индекса полную вычислимую функцию следующим образом:

Пусть будет вычислимой функцией. Там существует полная вычислимая функция такая, что , : ${\displaystyle f:\mathbb {N} ^{n+m}\rightarrow \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s:\mathbb {N} ^{m}\rightarrow \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {N} ^{m}}$ ${\displaystyle {\vec {y}}\in \mathbb {N} ^{n}}$

${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=\phi _{S({\vec {x}})}^{(n)}({\vec {y}})}$

Пример

Следующий код Lisp реализует s ₁₁ для Lisp.

( defun s11 ( f x ) ( let (( y ( gensym ))) ( list 'lambda ( list y ) ( list f x y ))))              

Например, оценивается как .(s11 '(lambda (x y) (+ x y)) 3)(lambda (g42) ((lambda (x y) (+ x y)) 3 g42))

Смотрите также

• Каррирование
• Теорема рекурсии Клини
• Частичная оценка

Ссылки

• Клини, СК (1936). «Общие рекурсивные функции натуральных чисел». Mathematische Annalen . 112 (1): 727–742. doi :10.1007/BF01565439. S2CID  120517999.
• Клини, СК (1938). «О нотациях для порядковых чисел» (PDF) . Журнал символической логики . 3 : 150–155. doi :10.2307/2267778. JSTOR  2267778. S2CID  34314018.(Это ссылка на теорему, приведенная в издании «Классической теории рекурсии» Одифредди 1989 года на стр. 131. ) ${\displaystyle S_{n}^{m}}$
• Nies, A. (2009). Вычислимость и случайность . Oxford Logic Guides. Том 51. Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923076-1. Збл  1169.03034.
• Одифредди, П. (1999). Классическая теория рекурсии . Северная Голландия. ISBN 0-444-87295-7.
• Роджерс, Х. (1987) [1967]. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость . Первое издание в мягкой обложке MIT press. ISBN 0-262-68052-1.
• Soare, R. (1987). Рекурсивно перечислимые множества и степени . Перспективы математической логики. Springer-Verlag. ISBN 3-540-15299-7.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Клини о SMN». MathWorld .