В математике теорема о простых идеалах Буля утверждает, что идеалы в булевой алгебре могут быть расширены до простых идеалов . Разновидность этого утверждения для фильтров на множествах известна как лемма об ультрафильтрах . Другие теоремы получаются путем рассмотрения различных математических структур с соответствующими понятиями идеалов, например, колец и простых идеалов (теории колец) или дистрибутивных решеток и максимальных идеалов ( теории порядка ). В этой статье основное внимание уделяется теоремам о простых идеалах из теории порядка.
Хотя различные теоремы о простых идеалах могут показаться простыми и интуитивно понятными, их невозможно вывести из аксиом теории множеств Цермело–Френкеля без аксиомы выбора (сокращенно ZF). Вместо этого некоторые утверждения оказываются эквивалентными аксиоме выбора ( AC), в то время как другие — например, теорема о простых идеалах Буля — представляют свойство, которое строго слабее, чем AC. Именно из-за этого промежуточного статуса между ZF и ZF + AC (ZFC) теорема о простых идеалах Буля часто принимается за аксиому теории множеств. Для обозначения этой дополнительной аксиомы иногда используются сокращения BPI или PIT (для булевых алгебр).
Идеал порядка — это (непустое) направленное нижнее множество . Если рассматриваемое частично упорядоченное множество (посет) имеет бинарные супремумы (т. е. соединения ), как и посеты в этой статье, то это эквивалентно характеризуется как непустое нижнее множество I , которое замкнуто для бинарных супремумов (то есть подразумевает ). Идеал I является простым, если его теоретико-множественное дополнение в посете является фильтром ( то есть подразумевает или ). Идеалы являются собственными, если они не равны всему посету.
Исторически первое утверждение, касающееся более поздних теорем о простых идеалах, на самом деле относилось к фильтрам — подмножествам, которые являются идеалами относительно дуального порядка. Лемма об ультрафильтрах утверждает, что каждый фильтр на множестве содержится в некотором максимальном (собственном) фильтре — ультрафильтре . Напомним, что фильтры на множествах являются собственными фильтрами булевой алгебры его супермножества . В этом особом случае максимальные фильтры (т. е. фильтры, которые не являются строгими подмножествами любого собственного фильтра) и простые фильтры (т. е. фильтры, которые с каждым объединением подмножеств X и Y содержат также X или Y ) совпадают. Таким образом, двойственное к этому утверждению утверждение гарантирует, что каждый идеал супермножества содержится в простом идеале.
Вышеуказанное утверждение привело к различным обобщенным теоремам о простых идеалах, каждая из которых существует в слабой и в сильной форме. Слабые теоремы о простых идеалах утверждают, что каждая нетривиальная алгебра определенного класса имеет по крайней мере один простой идеал. Напротив, сильные теоремы о простых идеалах требуют, чтобы каждый идеал, который не пересекается с заданным фильтром, мог быть расширен до простого идеала, который все еще не пересекается с этим фильтром. В случае алгебр, которые не являются частично упорядоченными множествами, вместо фильтров используются различные подструктуры. Известно, что многие формы этих теорем на самом деле эквивалентны, так что утверждение о том, что «PIT» выполняется, обычно принимается как утверждение о том, что соответствующее утверждение для булевых алгебр (BPI) является действительным.
Другая вариация подобных теорем получается путем замены каждого вхождения простого идеала на максимальный идеал . Соответствующие теоремы о максимальном идеале (MIT) часто — хотя и не всегда — сильнее своих эквивалентов PIT.
Теорема о простом идеале Буля — это сильная теорема о простом идеале для булевых алгебр. Таким образом, формальное утверждение выглядит так:
Слабая теорема о простом идеале для булевых алгебр просто гласит:
Мы называем эти утверждения слабым и сильным BPI . Они эквивалентны, поскольку сильный BPI явно подразумевает слабый BPI, а обратная импликация может быть достигнута путем использования слабого BPI для нахождения простых идеалов в соответствующей фактор-алгебре.
BPI может быть выражен различными способами. Для этого вспомним следующую теорему:
Для любого идеала I булевой алгебры B следующие условия эквивалентны:
Эта теорема — хорошо известный факт для булевых алгебр. Ее двойственность устанавливает эквивалентность простых фильтров и ультрафильтров. Обратите внимание, что последнее свойство на самом деле самодвойственно — только предварительное предположение, что I — идеал, дает полную характеристику. Все следствия этой теоремы могут быть доказаны в ZF.
Таким образом, следующая (сильная) теорема о максимальном идеале (MIT) для булевых алгебр эквивалентна BPI:
Обратите внимание, что требуется «глобальная» максимальность, а не просто максимальность относительно того, чтобы быть непересекающимся с F. Тем не менее, эта вариация дает другую эквивалентную характеристику BPI:
Тот факт, что это утверждение эквивалентно BPI, легко устанавливается, если отметить следующую теорему: для любой дистрибутивной решетки L , если идеал I является максимальным среди всех идеалов L , которые не пересекаются с заданным фильтром F , то I является простым идеалом. Доказательство этого утверждения (которое снова может быть выполнено в теории множеств ZF) включено в статью об идеалах. Поскольку любая булева алгебра является дистрибутивной решеткой, это показывает желаемое следствие.
Все вышеприведенные утверждения теперь легко можно считать эквивалентными. Идя еще дальше, можно использовать тот факт, что дуальные порядки булевых алгебр являются в точности самими булевыми алгебрами. Следовательно, принимая эквивалентные дуальные значения всех предыдущих утверждений, мы получаем ряд теорем, которые в равной степени применимы к булевым алгебрам, но где каждое вхождение ideal заменяется на filter [ требуется ссылка ] . Стоит отметить, что для особого случая, когда рассматриваемая булева алгебра является powerset с порядком подмножества , «теорема о максимальном фильтре» называется леммой об ультрафильтре.
Подводя итог, для булевых алгебр слабый и сильный MIT, слабый и сильный PIT и эти утверждения с фильтрами вместо идеалов все эквивалентны. Известно, что все эти утверждения являются следствиями аксиомы выбора , AC , (легкое доказательство использует лемму Цорна ), но не могут быть доказаны в ZF (теория множеств Цермело-Френкеля без AC ), если ZF непротиворечива . Тем не менее, BPI строго слабее аксиомы выбора, хотя доказательство этого утверждения, принадлежащее JD Halpern и Azriel Lévy, довольно нетривиально.
Прототипические свойства, которые обсуждались для булевых алгебр в предыдущем разделе, можно легко модифицировать, чтобы включить более общие решетки , такие как дистрибутивные решетки или алгебры Гейтинга . Однако в этих случаях максимальные идеалы отличаются от простых идеалов, и связь между PIT и MIT неочевидна.
Действительно, оказывается, что MIT для дистрибутивных решеток и даже для алгебр Гейтинга эквивалентны аксиоме выбора. С другой стороны, известно, что сильная PIT для дистрибутивных решеток эквивалентна BPI (т. е. MIT и PIT для булевых алгебр). Следовательно, это утверждение строго слабее аксиомы выбора. Кроме того, заметьте, что алгебры Гейтинга не являются самодвойственными, и, таким образом, использование фильтров вместо идеалов приводит к другим теоремам в этой ситуации. Может быть, удивительно, что MIT для двойственных алгебр Гейтинга не сильнее BPI, что резко контрастирует с вышеупомянутым MIT для алгебр Гейтинга.
Наконец, теоремы о простых идеалах существуют и для других (не порядково-теоретических) абстрактных алгебр. Например, MIT для колец подразумевает аксиому выбора. Эта ситуация требует замены порядково-теоретического термина «фильтр» другими понятиями — для колец уместно «мультипликативно замкнутое подмножество».
Фильтр на множестве X — это непустой набор непустых подмножеств X , замкнутый относительно конечного пересечения и надмножества. Ультрафильтр — это максимальный фильтр. Лемма об ультрафильтре утверждает, что каждый фильтр на множестве X является подмножеством некоторого ультрафильтра на X. [1] Ультрафильтр, не содержащий конечных множеств , называется «неглавным». Лемма об ультрафильтре и, в частности, существование неглавных ультрафильтров (рассмотрим фильтр всех множеств с конечными дополнениями) могут быть доказаны с использованием леммы Цорна .
Лемма об ультрафильтре эквивалентна теореме о булевом простом идеале, с эквивалентностью, доказуемой в теории множеств ZF без аксиомы выбора. Идея доказательства заключается в том, что подмножества любого множества образуют булеву алгебру, частично упорядоченную включением, и любая булева алгебра представима как алгебра множеств по теореме Стоуна о представлении .
Если множество X конечно, то лемму об ультрафильтре можно доказать из аксиом ZF. Это уже не так для бесконечных множеств; необходимо предположить дополнительную аксиому. Лемма Цорна , аксиома выбора и теорема Тихонова могут быть использованы для доказательства леммы об ультрафильтре. Лемма об ультрафильтре строго слабее аксиомы выбора.
Лемма об ультрафильтре имеет множество приложений в топологии . Лемма об ультрафильтре может быть использована для доказательства теоремы Хана-Банаха и теоремы Александера о предбазе .
Интуитивно теорема о булевых простых идеалах утверждает, что в булевой алгебре существует «достаточно» простых идеалов в том смысле, что мы можем расширить каждый идеал до максимального. Это имеет практическое значение для доказательства теоремы Стоуна о представлении для булевых алгебр , особого случая двойственности Стоуна , в которой множество всех простых идеалов оснащается определенной топологией и действительно может восстановить исходную булеву алгебру ( с точностью до изоморфизма ) из этих данных. Более того, оказывается, что в приложениях можно свободно выбирать, работать ли с простыми идеалами или с простыми фильтрами, поскольку каждый идеал однозначно определяет фильтр: множество всех булевых дополнений его элементов. Оба подхода встречаются в литературе.
Многие другие теоремы общей топологии, которые, как часто говорят, опираются на аксиому выбора, на самом деле эквивалентны BPI. Например, теорема о том, что произведение компактных хаусдорфовых пространств компактно, эквивалентна ей. Если мы опустим «Хаусдорф», то получим теорему, эквивалентную полной аксиоме выбора.
В теории графов теорема де Брейна–Эрдёша является ещё одним эквивалентом BPI. Она утверждает, что если заданный бесконечный граф требует по крайней мере некоторого конечного числа k в любой раскраске графа , то он имеет конечный подграф, который также требует k . [2]
Не слишком известное применение теоремы о простом идеале Буля — существование неизмеримого множества [3] (обычно в качестве примера приводится множество Витали , требующее аксиомы выбора). Из этого и из того факта, что BPI строго слабее аксиомы выбора, следует, что существование неизмеримых множеств строго слабее аксиомы выбора.
В линейной алгебре теорема о простом булевом идеале может быть использована для доказательства того, что любые два базиса заданного векторного пространства имеют одинаковую мощность .
