Теорема разложения Бейлинсона, Бернштейна и Делиня

В математике, особенно в алгебраической геометрии , теорема разложения Бейлинсона, Бернштейна и Делиня или теорема разложения BBD представляет собой набор результатов, касающихся когомологий алгебраических многообразий . Первоначально она была выдвинута Гельфандом и Макферсоном. ^[1]

Заявление

Разложение для гладких правильных отображений

Первый случай теоремы о разложении возникает с помощью жесткой теоремы Лефшеца , которая дает изоморфизмы для гладкого собственного отображения относительной размерности d между двумя проективными многообразиями ^[2] ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle -\cup \eta ^{i}:R^{d-i}f_{*}(\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}R^{d+i}f_{*}(\mathbb {Q} ).}$

Здесь — фундаментальный класс сечения гиперплоскости , — прямой образ (pushforward), — n - й производный функтор прямого образа. Этот производный функтор измеряет n -е когомологии , для . Фактически, частный случай, когда Y — точка, сводится к изоморфизму ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle R^{n}f_{*}}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U\subset Y}$

${\displaystyle -\cup \eta ^{i}:H^{d-i}(X,\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}H^{d+i}(X,\mathbb {Q} ).}$

Этот жесткий изоморфизм Лефшеца индуцирует канонические изоморфизмы

${\displaystyle Rf_{*}(\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}\bigoplus _{i=-d}^{d}R^{d+i}f_{*}(\mathbb {Q} )[-d-i].}$

Более того, пучки, появляющиеся в этом разложении, являются локальными системами , т.е. локально свободными пучками Q -векторных пространств, которые к тому же полупросты, т.е. представляют собой прямую сумму локальных систем без нетривиальных локальных подсистем. ${\displaystyle R^{d+i}f_{*}\mathbb {Q} }$

Разложение для правильных карт

Теорема разложения обобщает этот факт на случай правильного, но не обязательно гладкого отображения между многообразиями. В двух словах, приведенные выше результаты остаются верными, когда понятие локальных систем заменяется извращенными пучками . ${\displaystyle f:X\to Y}$

Приведенная выше жесткая теорема Лефшеца принимает следующую форму: ^{[3] [4] в} производной категории пучков на Y существует изоморфизм :

${\displaystyle {}^{p}H^{-i}(Rf_{*}\mathbb {Q} )\cong {}^{p}H^{+i}(Rf_{*}\mathbb {Q} ),}$

где — полный производный функтор, а — i -е усечение относительно извращенной t-структуры . ${\displaystyle Rf_{*}}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle {}^{p}H^{i}}$

Более того, существует изоморфизм

${\displaystyle Rf_{*}IC_{X}^{\bullet }\cong \bigoplus _{i}{}^{p}H^{i}(Rf_{*}IC_{X}^{\bullet })[-i].}$

где слагаемые являются полупростыми извращенными пучками, то есть они являются прямыми суммами прямых пучков пересечений когомологий. ^[5]

Если X не является гладким, то приведенные выше результаты остаются верными при замене на комплекс когомологий пересечения . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {Q} [\dim X]}$ ${\displaystyle IC}$

Доказательства

Теорема разложения была впервые доказана Бейлинсоном, Бернштейном и Делинем. ^[6] Их доказательство основано на использовании весов на l-адических пучках в положительной характеристике. Другое доказательство с использованием смешанных модулей Ходжа было дано Сайто. Более геометрическое доказательство, основанное на понятии полумалых отображений, было дано де Катальдо и Мильорини. ^[7]

Для полумалых отображений теорема о разложении также применима к мотивам Чжоу . ^[8]

Приложения теоремы

Когомологии рационального пучка Лефшеца

Рассмотрим рациональный морфизм из гладкого квазипроективного многообразия, заданного . Если мы установим локус сходимости как , то существует индуцированный морфизм . Мы можем вычислить когомологии из пересечения когомологий и вычитая когомологии из раздутия вдоль . Это можно сделать с помощью извращенной спектральной последовательности ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle [f_{1}(x):f_{2}(x)]}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}=Bl_{Y}(X)\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Bl_{Y}(X)}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle E_{2}^{l,m}=H^{l}(\mathbb {P} ^{1};{}^{\mathfrak {p}}{\mathcal {H}}^{m}(IC_{\tilde {X}}^{\bullet }(\mathbb {Q} ))\Rightarrow IH^{l+m}({\tilde {X}};\mathbb {Q} )\cong H^{l+m}(X;\mathbb {Q} )}$

Теорема о локальном инвариантном цикле

Пусть будет собственным морфизмом между комплексными алгебраическими многообразиями, таким, что является гладким. Также пусть будет регулярным значением , которое находится в открытом шаре B с центром в . Тогда отображение ограничения ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(f^{-1}(y),\mathbb {Q} )=\operatorname {H} ^{*}(f^{-1}(B),\mathbb {Q} )\to \operatorname {H} ^{*}(f^{-1}(y_{0}),\mathbb {Q} )^{\pi _{1,{\textrm {loc}}}}}$

является сюръективным, где — фундаментальная группа пересечения с множеством регулярных значений f . ^[9] ${\displaystyle \pi _{1,{\textrm {loc}}}}$ ${\displaystyle B}$

Ссылки

1. Гипотеза 2.10. Сергея Гельфанда и Роберта Макферсона, Модули Верма и ячейки Шуберта: Словарь.
2. Делинь, Пьер (1968), «Теорема Лефшеца и критерии вырождения сюит спектров», Publ. Математика. Инст. Hautes Études Sci. , 35 : 107–126, doi : 10.1007/BF02698925, S2CID  121086388, Zbl  0159.22501
3. Beilinson, Bernstein & Deligne 1982, Théorème 6.2.10.. Примечание: Если быть точным, ссылка относится к разложению.
4. MacPherson 1990, Теорема 1.12. Примечание: Если быть точным, ссылка относится к разложению.
5. Бейлинсон, Бернштейн и Делин 1982, Теорема 6.2.5.
6. Бейлинсон, Александр А .; Бернштейн, Джозеф ; Делинь, Пьер (1982). «Фаисские извращенцы». Астериск (на французском языке). 100 . Математическое общество Франции, Париж.
7. де Катальдо, Марк Андреа ; Мильорини, Лука (2005). «Теория Ходжа алгебраических отображений». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 38 (5): 693–750. arXiv : математика/0306030 . Бибкод : 2003math......6030D. doi : 10.1016/j.ansens.2005.07.001. S2CID  54046571.
8. de Cataldo, Mark Andrea ; Migliorini, Luca (2004), «Мотив Чжоу полумалых резолюций», Math. Res. Lett. , 11 (2–3): 151–170, arXiv : math/0204067 , doi :10.4310/MRL.2004.v11.n2.a2, MR  2067464, S2CID  53323330
9. де Катальдо, 2015, Теорема 1.4.1.

Обзорные статьи

• де Катальдо, Марк (2015), Извращенные пучки и топология алгебраических многообразий Пять лекций на PCMI 2015 (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 21.11.2015 , извлечено 19.08.2017
• де Катальдо, Марк; Мильджорини, Лука, Теорема разложения, извращенные пучки и топология алгебраических отображений (PDF)
• Макферсон, Р. (1990). «Гомологии пересечений и извращенные пучки» (PDF) .

Педагогические ссылки

• Хотта, Рёши; Такеучи, Киёси; Танисаки, Тошиюки, D-модули, перверсивные пучки и теория представлений

Дальнейшее чтение

• Теорема разложения BBDG в nLab