Теорема Брука – Райзера – Чоула – это результат комбинаторики блочных конструкций , который подразумевает несуществование определенных видов конструкций. Она утверждает, что если существует ( v , b , r , k , λ)-конструкция с v = b ( симметричная блочная конструкция ), то:
Теорема была доказана в случае проективных плоскостей Бруком и Райзером (1949). Она была распространена на симметричные конструкции Чоулой и Райзером (1950).
В частном случае симметричной конструкции с λ = 1, то есть проективной плоскости , теорема (которая в этом случае называется теоремой Брука–Райзера ) может быть сформулирована следующим образом: если существует конечная проективная плоскость порядка q и q конгруэнтно 1 или 2 (mod 4), то q должно быть суммой двух квадратов. Обратите внимание, что для проективной плоскости параметры конструкции равны v = b = q 2 + q + 1, r = k = q + 1, λ = 1. Таким образом, v всегда нечетно в этом случае.
Теорема, например, исключает существование проективных плоскостей порядков 6 и 14, но допускает существование плоскостей порядков 10 и 12. Поскольку было показано, что проективная плоскость порядка 10 не существует, используя комбинацию теории кодирования и крупномасштабного компьютерного поиска, [1] условие теоремы, очевидно, недостаточно для существования дизайна. Однако неизвестен более сильный общий критерий несуществования.
Существование симметричной ( v , b , r , k , λ)-схемы эквивалентно существованию матрицы инцидентности R размером v × v с элементами 0 и 1, удовлетворяющей
где I — единичная матрица v × v , а J — матрица v × v all-1. По сути, теорема Брука–Райзера–Чоулы — это утверждение необходимых условий для существования рациональной матрицы v × v R, удовлетворяющей этому уравнению. Фактически, условия, указанные в теореме Брука–Райзера–Чоулы, не просто необходимы, но и достаточны для существования такой рациональной матрицы R . Их можно вывести из теоремы Хассе–Минковского о рациональной эквивалентности квадратичных форм .