Теорема Кронекера–Вебера

Каждое конечное абелево расширение Q содержится в некотором циклотомическом поле

В алгебраической теории чисел можно показать, что каждое циклотомическое поле является абелевым расширением поля рациональных чисел Q , имеющим группу Галуа вида . Теорема Кронекера–Вебера обеспечивает частичное обратное: каждое конечное абелево расширение Q содержится в некотором циклотомическом поле. Другими словами, каждое алгебраическое целое число , группа Галуа которого абелева , может быть выражено как сумма корней из единицы с рациональными коэффициентами. Например, ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5},}$ ${\displaystyle {\sqrt {-3}}=e^{2\pi i/3}-e^{4\pi i/3},}$и ${\displaystyle {\sqrt {3}}=e^{\pi i/6}-e^{5\pi i/6}.}$

Теорема названа в честь Леопольда Кронекера и Генриха Мартина Вебера .

Теоретико-полевая формулировка

Теорему Кронекера–Вебера можно сформулировать в терминах полей и расширений полей . Точнее, теорема Кронекера–Вебера гласит: каждое конечное абелево расширение рациональных чисел Q является подполем циклотомического поля. То есть, всякий раз, когда алгебраическое числовое поле имеет группу Галуа над Q , которая является абелевой группой , поле является подполем поля, полученного присоединением корня из единицы к рациональным числам.

Для данного абелева расширения K поля Q существует минимальное циклотомическое поле, которое его содержит. Теорема позволяет определить проводник поля K как наименьшее целое число n такое, что K лежит внутри поля, порожденного корнями n -й степени из единицы. Например, квадратичные поля имеют в качестве проводника абсолютное значение своего дискриминанта , факт, обобщенный в теории полей классов .

История

Теорема была впервые сформулирована Кронекером  (1853), хотя его аргумент не был полным для расширений степени 2. Вебер  (1886) опубликовал доказательство, но в нем были некоторые пробелы и ошибки, которые были указаны и исправлены Нейманом (1981). Первое полное доказательство было дано Гильбертом (  1896).

Обобщения

Любин и Тейт (1965, 1966) доказали локальную теорему Кронекера–Вебера, которая утверждает, что любое абелево расширение локального поля может быть построено с использованием циклотомических расширений и расширений Любина–Тейта . Хазевинкель (1975), Розен (1981) и Любин (1981) привели другие доказательства.

Двенадцатая проблема Гильберта требует обобщений теоремы Кронекера–Вебера на поля, отличные от рациональных чисел, и требует аналогов корней из единицы для этих полей. Другой подход к абелевым расширениям дается теорией полей классов .

Ссылки

• Гейт, Экнат (2000), «Теорема Кронекера-Вебера» (PDF) , в Адхикари, SD; Катре, ЮАР; Тхакур, Динеш (ред.), Циклотомические поля и связанные с ними темы (Пуна, 1999) , Бхаскарачарья Пратиштхана, Пуна, стр. 135–146, MR  1802379
• Гринберг, М. Дж. (1974). «Элементарное доказательство теоремы Кронекера-Вебера». American Mathematical Monthly . 81 (6): 601–607. doi :10.2307/2319208. JSTOR  2319208.
• Хазевинкель, Михиль (1975), «Локальная теория полей классов — это просто» (PDF) , Advances in Mathematics , 18 (2): 148–181, doi : 10.1016/0001-8708(75)90156-5 , ISSN  0001-8708, MR  0389858
• Гильберт, Дэвид (1896), «Ein neuer Beweis des Kronecker'schen Fundamentalsatzes über Abel'sche Zahlkörper.», Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (на немецком языке): 29–39
• Кронекер, Леопольд (1853), «Über die алгебраический auflösbaren Gleichungen», Berlin K. Akad. Висс. (на немецком языке): 365–374, ISBN. 9780821849828, Собрание сочинений том 4
• Кронекер, Леопольд (1877), «Über Abelsche Gleichungen», Берлин К. Акад. Висс. (на немецком языке): 845–851, ISBN. 9780821849828, Собрание сочинений том 4
• Леммермейер, Франц (2005), «Кронекер-Вебер через Стикельбергера», Journal de theorie des nombres de Bordeaux , 17 (2): 555–558, arXiv : 1108.5671 , doi : 10.5802/jtnb.507, ISSN  1246-7405, MR  2211307
• Любин, Джонатан (1981), «Локальная теорема Кронекера-Вебера», Труды Американского математического общества , 267 (1): 133–138, doi : 10.2307/1998574 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1998574, MR  0621978
• Любин, Джонатан; Тейт, Джон (1965), «Формальное комплексное умножение в локальных полях», Annals of Mathematics , вторая серия, 81 (2): 380–387, doi :10.2307/1970622, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970622, MR  0172878
• Любин, Джонатан; Тейт, Джон (1966), «Формальные модули для однопараметрических формальных групп Ли», Bulletin de la Société Mathématique de France , 94 : 49–59, doi : 10.24033/bsmf.1633 , ISSN  0037-9484, MR  0238854
• Нойман, Олаф (1981), «Два доказательства теоремы Кронекера-Вебера «по Кронекеру и Веберу»», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 323 (323): 105–126, doi : 10.1515/crll.1981.323 .105, ISSN  0075-4102, МР  0611446
• Розен, Майкл (1981), «Элементарное доказательство локальной теоремы Кронекера-Вебера», Труды Американского математического общества , 265 (2): 599–605, doi : 10.2307/1999753 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1999753, MR  0610968
• Шафаревич, ИР (1951), Новое доказательство теоремы Кронекера-Вебера, Труды Матем. ин-та МАиС, т. 38, М.: Изд-во АН СССР, с. 382–387, МР  0049233
• Шаппахер, Норберт (1998), «К истории двенадцатой проблемы Гильберта: комедия ошибок», Matériaux pour l'histoire des mathématiques au XX ^e siècle (Ницца, 1996) , Семин. Конгресс, том. 3, Париж: Société Mathématique de France , стр. 243–273, ISBN. 978-2-85629-065-1, МР  1640262
• Вебер, Х. (1886), «Теория дер Abel'schen Zahlkörper», Acta Mathematica (на немецком языке), 8 : 193–263, doi : 10.1007/BF02417089 , ISSN  0001-5962

Внешние ссылки