В математике мультипликативная эргодическая теорема , или теорема Оселедца , обеспечивает теоретическую основу для вычисления показателей Ляпунова нелинейной динамической системы . Она была доказана Валерием Оселедцем (также пишется «Оселедец») в 1965 году и доложена на Международном математическом конгрессе в Москве в 1966 году. Концептуально иное доказательство мультипликативной эргодической теоремы было найдено М. С. Рагхунатханом . [ необходима цитата ] [1] Теорема была распространена на полупростые группы Ли В. А. Каймановичем и далее обобщена в работах Давида Рюэля , Григория Маргулиса , Андерса Карлссона и Франсуа Ледрапье . [ необходима цитата ]
Мультипликативная эргодическая теорема формулируется в терминах матричных коциклов динамической системы. Теорема устанавливает условия существования определяющих пределов и описывает показатели Ляпунова. Она не рассматривает скорость сходимости.
Коцикл автономной динамической системы X — это отображение C : X ×T → R n×n, удовлетворяющее
где X и T (при T = Z⁺ или T = R⁺ ) — фазовое пространство и временной диапазон, соответственно, динамической системы, а I n — n -мерная единичная матрица. Размерность n матриц C не связана с фазовым пространством X .
Пусть μ — эргодическая инвариантная мера на X , а C — коцикл динамической системы, такой, что для каждого t ∈ T отображения и являются L 1 -интегрируемыми относительно μ . Тогда для μ — почти всех x и каждого ненулевого вектора u ∈ R n предел
существует и принимает, в зависимости от u , но не от x , до n различных значений. Это показатели Ляпунова.
Далее, если λ 1 > ... > λ m являются различными пределами, то существуют подпространства R n = R 1 ⊃ ... ⊃ R m ⊃ R m +1 = {0}, зависящие от x , такие, что предел равен λ i для u ∈ R i \ R i +1 и i = 1, ..., m .
Значения показателей Ляпунова инвариантны относительно широкого диапазона преобразований координат. Предположим, что g : X → X — взаимно однозначное отображение, такое что и существует его обратное; тогда значения показателей Ляпунова не изменятся.
Вербально эргодичность означает, что средние значения по времени и пространству равны, формально:
где существуют интегралы и предел. Пространственное среднее (правая часть, μ — эргодическая мера на X ) — это накопление значений f ( x ), взвешенных по μ( dx ). Поскольку сложение коммутативно, накопление значений f ( x )μ( dx ) может быть выполнено в произвольном порядке. Напротив, временное среднее (левая часть) предполагает определенный порядок значений f ( x ( s )) вдоль траектории.
Поскольку умножение матриц, в общем случае, не коммутативно, накопление умноженных значений коцикла (и их пределов) в соответствии с C ( x ( t 0 ), t k ) = C ( x ( t k −1 ), t k − t k −1 ) ... C ( x ( t 0 ), t 1 − t 0 ) — для больших t k и малых шагов t i − t i −1 — имеет смысл только для предписанного порядка. Таким образом, среднее по времени может существовать (и теорема утверждает, что оно действительно существует), но не существует аналога среднего по пространству. Другими словами, теорема Оселедца отличается от аддитивных эргодических теорем (таких как теоремы Дж. Д. Биркгофа и Дж. фон Неймана ) тем, что она гарантирует существование среднего по времени, но не делает никаких утверждений о среднем по пространству.
