Теорема Паша

В геометрии теорема Паша , сформулированная в 1882 году немецким математиком Морицем Пашем [ ^1] , представляет собой результат в планиметрии , который не может быть выведен из постулатов Евклида .

Заявление

Заявление выглядит следующим образом:

Теорема Паша — Если на прямой заданы точки $a$ , $b$ , $c$ и $d$ , и известно, что эти точки упорядочены как ( $a$ , $b$ , $c$ ) и ( $b$ , $c$ , $d$ ), то также верно, что ( $a$ , $b$ , $d$ ). ^[2]

[Здесь, например, ( $a$ , $b$ , $c$ ) означает, что точка $b$ лежит между точками $a$ и $c$ .]

Использование Гильбертом теоремы Паша

Первоначально Дэвид Гильберт включил теорему Паша в качестве аксиомы в свою современную трактовку евклидовой геометрии в «Основаниях геометрии» (1899). Однако в 1902 году Э. Х. Мур обнаружил , что эта аксиома избыточна, ^[3] и в пересмотренных изданиях она теперь указана как теорема. Таким образом, теорема Паша также известна как отброшенная аксиома Гильберта .

Аксиома Паша , отдельное утверждение, также включена и остается аксиомой в трактовке Гильберта.

Смотрите также

Примечания

^ Паш 1912
^ Коксетер (1969, стр. 179) излагает результат в 12.274, но не ссылается на него конкретно как на теорему Паша.
^ Мур, Э. Х. (1902), «О проективных аксиомах геометрии» (PDF) , Труды Американского математического общества , 3 (1): 142–158, doi : 10.2307/1986321 , JSTOR 1986321

Ссылки

Коксетер, HSM (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), John Wiley and Sons, ISBN 978-0-471-18283-2, ЗБЛ 0181.48101
Паш, Мориц (1912) [первое издание 1882 г.], Vorlesungen uber neuere Geometrie (на немецком языке) (2-е изд.), Лейпциг: Б. Г. Тойбнер

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Паша». Математический мир .