Теорема Реллиха–Кондрахова

В математике теорема Реллиха–Кондрахова — это компактная теорема вложения , касающаяся пространств Соболева . Она названа в честь австрийско-немецкого математика Франца Реллиха и русского математика Владимира Иосифовича Кондрашова . Реллих доказал теорему L2 ^, а Кондрашов — ^{теорему} Lp .

Формулировка теоремы

 Пусть Ω  ⊆  Rn — открытая ограниченная липшицева область , и пусть 1 ≤  ^p < n . Положим

${\displaystyle p^{*}:={\frac {np}{n-p}}.}$

Тогда пространство Соболева W ^{1, p} (Ω;  R ) непрерывно вложено в пространство L p L ^{p ∗} (Ω;  R ) и компактно вложено в L ^q (Ω;  R ) для любого 1 ≤  q  <  p ^∗ . В символах

${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )\hookrightarrow L^{p^{*}}(\Omega )}$

и

${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )\subset \subset L^{q}(\Omega ){\text{ for }}1\leq q<p^{*}.}$

Теорема вложения Кондрахова

На компактном многообразии с ^{границей} C1 теорема вложения Кондрахова утверждает , что если k > ℓ и k − n / p > ℓ − n / q, то вложение Соболева

${\displaystyle W^{k,p}(M)\subset W^{\ell ,q}(M)}$

является полностью непрерывным (компактным). ^[1]

Последствия

Поскольку вложение компактно тогда и только тогда, когда оператор включения (тождественности) является компактным оператором , теорема Реллиха–Кондрахова подразумевает, что любая равномерно ограниченная последовательность в W ^{1, p} (Ω;  R ) имеет подпоследовательность, которая сходится в L ^q (Ω;  R ). Сформулированный в такой форме, в прошлом результат иногда назывался теоремой выбора Реллиха–Кондрахова , поскольку «выбирается» сходящаяся подпоследовательность. (Однако сегодня общепринятым названием является «теорема компактности», тогда как «теорема выбора» имеет точное и совершенно иное значение, относящееся к функциям со значениями множества .)

Теорему Реллиха–Кондрахова можно использовать для доказательства неравенства Пуанкаре [ ^2] , которое утверждает, что для u  ∈  W ^{1, p} (Ω;  R ) (где Ω удовлетворяет тем же гипотезам, что и выше),

${\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}}$

для некоторой константы C, зависящей только от p и геометрии области Ω, где

${\displaystyle u_{\Omega }:={\frac {1}{\operatorname {meas} (\Omega )}}\int _{\Omega }u(x)\,\mathrm {d} x}$

обозначает среднее значение u по Ω.

Ссылки

1. Тейлор, Майкл Э. (1997). Уравнения с частными производными I - Основная теория (2-е изд.). С. 286. ISBN 0-387-94653-5.
2. Эванс, Лоуренс К. (2010). "§5.8.1". Уравнения с частными производными (2-е изд.). С. 290. ISBN 978-0-8218-4974-3.

Литература

• Эванс, Лоуренс К. (2010). Уравнения с частными производными (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4974-3.
• Кондрачев, В.И., О некоторых свойствах функций в пространстве L p , ДАН СССР 48, 563–566 (1945).
• Леони, Джованни (2009). Первый курс по пространствам Соболева . Аспирантура по математике . 105. Американское математическое общество. стр. xvi+607. ISBN 978-0-8218-4768-8 . MR 2527916. Zbl 1180.46001 
• Реллих, Франц (24 января 1930 г.). «Эйн Сац über mittlere Konvergenz». Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (на немецком языке). 1930 : 30–35. ЖФМ  56.0224.02.