предел Фрайсса

Метод в математической логике

В математической логике , в частности в дисциплине теории моделей , предел Фраисса (также называемый конструкцией Фраисса или объединением Фраисса ) — это метод, используемый для построения (бесконечных) математических структур из их (конечных) подструктур . Это особый пример более общей концепции прямого предела в категории . ^[1] Этот метод был разработан в 1950-х годах его тезкой, французским логиком Роланом Фраиссом . ^[2]

Основная цель построения Фрэйсса — показать, как можно аппроксимировать ( счетную ) структуру ее конечно порожденными подструктурами. Если задан класс конечных реляционных структур , удовлетворяет определенным свойствам (описанным ниже), то существует единственная счетная структура , называемая пределом Фрэйсса , которая содержит все элементы в качестве подструктур . ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \operatorname {Flim} (\mathbf {K} )}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Общее изучение пределов Фраисса и связанных с ними понятий иногда называют теорией Фраисса . Эта область нашла широкое применение в других разделах математики, включая топологическую динамику , функциональный анализ и теорию Рамсея . ^[3]

Конечно-генерируемые подструктуры и возраст

Зафиксируем язык . Под -структурой мы подразумеваем логическую структуру, имеющую сигнатуру . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Для данной -структуры с областью определения и подмножества мы используем для обозначения наименьшей подструктуры , область определения которой содержит (т.е. замыкание относительно всех символов функций и констант в ). ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A\subseteq M}$ ${\displaystyle \langle A\rangle ^{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Подструктура называется конечно порожденной, если для некоторого конечного подмножества . ^[4] Возраст , обозначаемый , представляет собой класс всех конечно порожденных подструктур . ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=\langle A\rangle ^{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A\subseteq M}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Age} ({\mathcal {M}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Можно доказать, что любой класс , являющийся возрастом некоторой структуры, удовлетворяет следующим двум условиям: ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Наследственная собственность (НС)

Если и является конечно порожденной подструктурой , то изоморфна некоторой структуре из . ${\displaystyle A\in \mathbf {K} }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Совместное вложение свойств (JEP)

Если , то существует такое, что и , вложимы в . ${\displaystyle A,B\in \mathbf {K} }$ ${\displaystyle C\in \mathbf {K} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Теорема Фрессе

Коммутативная диаграмма, иллюстрирующая свойство амальгамирования.

Как и выше, мы отметили, что для любой -структуры , удовлетворяет HP и JEP. Фрейсс доказал своего рода обратный результат: когда есть любое непустое счетное множество конечно порожденных -структур, обладающее двумя указанными выше свойствами, то это возраст некоторой счетной структуры. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Age} ({\mathcal {M}})}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Кроме того, предположим, что это соответствует следующим дополнительным свойствам. ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Объединенная собственность (AP)

Для любых структур , таких что существуют вложения , , существует структура и вложения , такие что (т.е. они совпадают на образе A в обеих структурах). ${\displaystyle A,B,C\in \mathbf {K} }$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g:A\to C}$ ${\displaystyle D\in \mathbf {K} }$ ${\displaystyle f':B\to D}$ ${\displaystyle g':C\to D}$ ${\displaystyle f'\circ f=g'\circ g}$

Основная счетность (EC)

С точностью до изоморфизма в существует счетное число структур . ${\displaystyle \mathbf {K} }$

В этом случае мы говорим, что K является классом Фрайсса , и существует единственная (с точностью до изоморфизма), счетная, однородная структура , возраст которой равен в точности . ^[5] Эта структура называется пределом Фрайсса для . ${\displaystyle \operatorname {Flim} (\mathbf {K} )}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Здесь однородность означает, что любой изоморфизм между двумя конечно порожденными подструктурами может быть расширен до автоморфизма всей структуры. ${\displaystyle \pi :A\to B}$ ${\displaystyle A,B\in \mathbf {K} }$

Примеры

Архетипическим примером является класс всех конечных линейных порядков , для которых предел Фресса является плотным линейным порядком без конечных точек (т.е. без наименьшего и наибольшего элемента ). По теореме Кантора об изоморфизме , с точностью до изоморфизма, это всегда эквивалентно структуре , т.е. рациональным числам с обычным порядком. ${\displaystyle \mathbf {FCh} }$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Q} ,<\rangle }$

В качестве не-примера отметим, что ни , ни не являются пределом Фрайсса . Это потому, что, хотя оба они счетны и имеют своим возрастом , ни один из них не является однородным. Чтобы увидеть это, рассмотрим подструктуры и , а также изоморфизм между ними. Это не может быть расширено до автоморфизма или , поскольку нет элемента, в который мы могли бы отобразить , сохраняя при этом порядок. ${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,<\rangle }$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,<\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {FCh} }$ ${\displaystyle \mathbf {FCh} }$ ${\displaystyle {\big \langle }\{1,3\},<{\big \rangle }}$ ${\displaystyle {\big \langle }\{5,6\},<{\big \rangle }}$ ${\displaystyle 1\mapsto 5,\ 3\mapsto 6}$ ${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,<\rangle }$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,<\rangle }$ ${\displaystyle 2}$

Другим примером является класс всех конечных графов , пределом Фрайсса которых является граф Радо . ^[1] ${\displaystyle \mathbf {Gph} }$

Для любого простого числа p предел Фраисса класса конечных полей характеристики p является алгебраическим замыканием . ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}_{p}}$

Предел Фраисса класса конечных абелевых p -групп равен (прямая сумма счетного числа копий группы Прюфера ). Предел Фраисса класса всех конечных абелевых групп равен . ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })^{(\omega )}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{p{\text{ prime}}}\mathbb {Z} (p^{\infty })^{(\omega )}\simeq (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )^{(\omega )}}$

Предел Фраисса класса всех конечных групп — это универсальная группа Холла .

Предел Фраисса класса нетривиальных конечных булевых алгебр — это единственная счетная безатомная булева алгебра.

ω-категоричность и исключение квантификаторов

Рассматриваемый класс называется равномерно локально конечным , если для каждого существует равномерная граница размера -порождённых (подструктур) структур в . Предел Фраисса является ω-категоричным тогда и только тогда, когда является равномерно локально конечным. ^[6] Если является равномерно локально конечным, то предел Фраисса имеет исключение кванторов . ^[6] ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Если язык конечен и состоит только из отношений и констант, то он автоматически равномерно локально конечен. ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Например, класс конечномерных векторных пространств над фиксированным полем всегда является классом Фраисса, но он равномерно локально конечен, только если поле конечно. Класс конечных булевых алгебр равномерно локально конечен, тогда как классы конечных полей заданной характеристики, или конечных групп, или абелевых групп, не являются таковыми, поскольку 1-порожденные структуры в этих классах могут иметь произвольно большой конечный размер.

Смотрите также

• Структурная теория Рамсея
• Грушевское строительство

Ссылки

1. "The n-Category Café". golem.ph.utexas.edu . Получено 2020-01-08 .
2. Ходжес, Уилфрид. (1997). Более короткая модель теории . Cambridge University Press. ISBN 0-521-58713-1. OCLC  468298248.
3. Лупини, Мартино (ноябрь 2018 г.). «Пределы Фрайсса в функциональном анализе» (PDF) . Advances in Mathematics . 338 : 93–174. doi : 10.1016/j.aim.2018.08.012 . ISSN  0001-8708.
4. Шлихт, Филипп (7 января 2018 г.). "Введение в теорию моделей (конспекты лекций), Defn 2.2.1" (PDF) . Математический институт Боннского университета .
5. Заметки о бесконечных группах перестановок . Бхаттачарджи, М. (Минакси), 1965–. Берлин: Springer. 1998. ISBN 3-540-64965-4. OCLC  39700621.{{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )
6. Hodges, Wilfrid (1993-03-11). Теория моделей. Cambridge University Press. стр. 350. doi :10.1017/cbo9780511551574. ISBN 978-0-521-30442-9.