Теорема Хеллингера–Теплица

Теорема об ограниченности симметричных операторов

В функциональном анализе , разделе математики , теорема Хеллингера–Теплица утверждает, что всюду определенный симметричный оператор в гильбертовом пространстве со скалярным произведением ограничен . По определению оператор A симметричен , если ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle Ax|y\rangle =\langle x|Ay\rangle }$

для всех x , y в области определения A . Обратите внимание, что симметричные всюду определенные операторы обязательно являются самосопряженными , поэтому эту теорему можно сформулировать следующим образом: всюду определенный самосопряженный оператор ограничен. Теорема названа в честь Эрнста Давида Хеллингера и Отто Теплица .

Эту теорему можно рассматривать как непосредственное следствие теоремы о замкнутом графике , поскольку самосопряженные операторы замкнуты . В качестве альтернативы ее можно доказать с помощью принципа равномерной ограниченности . При доказательстве теоремы опираются на симметричное предположение, следовательно, на структуру внутреннего произведения. Также решающим является тот факт, что заданный оператор A определен всюду (и, в свою очередь, полнота гильбертовых пространств).

Теорема Хеллингера–Теплица выявляет определенные технические трудности в математической формулировке квантовой механики . Наблюдаемые в квантовой механике соответствуют самосопряженным операторам в некотором гильбертовом пространстве, но некоторые наблюдаемые (например, энергия) неограниченны. По Хеллингеру–Теплицу такие операторы не могут быть определены всюду (но они могут быть определены на плотном подмножестве ). Возьмем, к примеру, квантовый гармонический осциллятор . Здесь гильбертово пространство — это L ² ( R ), пространство квадратично интегрируемых функций в R , а оператор энергии H определяется как (предполагая, что единицы выбраны таким образом, что ℏ =  m  = ω = 1)

${\displaystyle [Hf](x)=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}f(x)+{\frac {1}{2}}x^{2}f(x).}$

Этот оператор является самосопряженным и неограниченным (его собственные значения равны 1/2, 3/2, 5/2, ...), поэтому его нельзя определить на всем L ² ( R ).

Ссылки

• Рид, Майкл и Саймон, Барри : Методы математической физики, Том 1: Функциональный анализ. Academic Press, 1980. См. раздел III.5.
• Тешль, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; с приложениями к операторам Шредингера. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4660-5.