stringtranslate.com

Теорема Хилле–Йосиды

В функциональном анализе теорема Хилле–Йосиды характеризует генераторы сильно непрерывных однопараметрических полугрупп линейных операторов в банаховых пространствах . Иногда она формулируется для частного случая полугрупп сжатия , а общий случай называется теоремой Феллера–Миядеры–Филлипса (в честь Уильяма Феллера , Исао Миядеры и Ральфа Филлипса). Случай полугрупп сжатия широко используется в теории марковских процессов . В других сценариях тесно связанная теорема Люмера–Филлипса часто более полезна для определения того, порождает ли данный оператор сильно непрерывную полугруппу сжатия . Теорема названа в честь математиков Эйнара Хилле и Косаку Ёсиды , которые независимо друг от друга открыли этот результат около 1948 года.

Формальные определения

Если X — банахово пространство, то однопараметрическая полугруппа операторов в X — это семейство операторов, индексированных на неотрицательных действительных числах { T ( t )} t ∈ [0, ∞), таких, что

Говорят, что полугруппа сильно непрерывна , также называется полугруппой ( C 0 ), тогда и только тогда, когда отображение

непрерывно для всех x ∈ X , где [0, ∞) имеет обычную топологию, а X имеет топологию нормы.

Инфинитно малый генератор однопараметрической полугруппы T — это оператор A, определенный на возможно собственном подпространстве X следующим образом:

имеет предел, когда h приближается к 0 справа.

Инфинитималый генератор сильно непрерывной однопараметрической полугруппы представляет собой замкнутый линейный оператор, определенный на плотном линейном подпространстве X.

Теорема Хилле–Иосиды дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы замкнутый линейный оператор A в банаховом пространстве был инфинитезимальным генератором сильно непрерывной однопараметрической полугруппы.

Формулировка теоремы

Пусть A — линейный оператор, определенный на линейном подпространстве D ( A ) банахова пространства X , ω — действительное число и M  > 0. Тогда A порождает сильно непрерывную полугруппу T , которая удовлетворяет тогда и только тогда, когда [1]

  1. A замкнуто и D ( A ) плотно в X ,​
  2. каждое действительное λ  >  ω принадлежит резольвентному множеству A и для такого λ и для всех положительных целых чисел n ,

Теорема Хилле-Иосиды для сжимающих полугрупп

В общем случае теорема Хилле–Йосиды имеет в основном теоретическое значение, поскольку оценки степеней оператора резольвенты , которые появляются в формулировке теоремы, обычно не могут быть проверены на конкретных примерах. В частном случае полугрупп сжатия ( M  = 1 и ω  = 0 в приведенной выше теореме) необходимо проверить только случай n  = 1, и теорема также приобретает некоторое практическое значение. Явное утверждение теоремы Хилле–Йосиды для полугрупп сжатия имеет вид:

Пусть A — линейный оператор, определенный на линейном подпространстве D ( A ) банахова пространства X. Тогда A порождает сжимающую полугруппу тогда и только тогда, когда [2]

  1. A замкнуто и D ( A ) плотно в X ,​
  2. каждое действительное λ  > 0 принадлежит резольвентному множеству A и для такого λ ,

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Теорема Энгеля и Нагеля II.3.8, Арендт и др. Теорема 3.3.4, Теорема Стаффана 3.4.1.
  2. ^ Теорема Энгеля и Нагеля II.3.5, Арендт и др. Следствие 3.3.5, Следствие Стаффана 3.4.5

Ссылки