Теорема Бохнера

Теорема о преобразованиях Фурье борелевских мер

В математике теорема Бохнера (названная в честь Саломона Бохнера ) характеризует преобразование Фурье положительной конечной борелевской меры на действительной прямой. В более общем смысле в гармоническом анализе теорема Бохнера утверждает, что при преобразовании Фурье непрерывная положительно определенная функция на локально компактной абелевой группе соответствует конечной положительной мере на двойственной группе Понтрягина . Случай последовательностей был впервые установлен Густавом Герглотцем (см. также соответствующую теорему о представлении Герглотца .) ^[1]

Теорема для локально компактных абелевых групп

Теорема Бохнера для локально компактной абелевой группы G с двойственной группой гласит следующее: ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Теорема. Для любой нормализованной непрерывной положительно определенной функции f на G (нормализация здесь означает, что f равна 1 в единице G ), существует единственная вероятностная мера µ на ​​такой, что ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

${\displaystyle f(g)=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi ),}$

т. е. f — преобразование Фурье уникальной вероятностной меры µ на ​​. И наоборот, преобразование Фурье вероятностной меры на обязательно является нормированной непрерывной положительно определенной функцией f на G . На самом деле это переписка один в один. ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Преобразование Гельфанда –Фурье является изоморфизмом групповой C*-алгебры C*( G ) и C ₀ ( Ĝ ). Теорема по существу представляет собой двойственное утверждение для состояний двух абелевых С*-алгебр.

Доказательство теоремы проходит через векторные состояния сильно непрерывных унитарных представлений G (фактически доказательство показывает, что каждая нормированная непрерывная положительно определенная функция должна иметь этот вид) .

Учитывая нормализованную непрерывную положительно определенную функцию f на G , можно естественным образом построить сильно непрерывное унитарное представление G : Пусть F ₀ ( G ) — семейство комплекснозначных функций на G с конечным носителем, т. е. h ( g ) = 0 для всех, кроме конечного числа g . Положительно определенное ядро ​​K ( g ₁ , g ₂ ) = f ( g ₁ − g ₂ ) индуцирует (возможно, вырожденное) скалярное произведение на F ₀ ( G ). Квотирование вырождения и взятие пополнения дает гильбертово пространство.

${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{f}),}$

типичным элементом которого является класс эквивалентности [ h ]. Для фиксированного g в G « оператор сдвига » U _g , определенный формулой ( U _g )( h ) (g') = h ( g ' − g ), для представителя [ h ], унитарен. Итак, карта

${\displaystyle g\mapsto U_{g}}$

является унитарным представлением G на . Ввиду непрерывности f он слабо непрерывен, а значит, и сильно непрерывен. По конструкции мы имеем ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{f})}$

${\displaystyle \langle U_{g}[e],[e]\rangle _{f}=f(g),}$

где [ e ] — класс функции, которая равна 1 в единице G и нулю в другом месте. Но в силу изоморфизма Гельфанда-Фурье векторное состояние на C*( G ) является возвратом состояния на , что обязательно представляет собой интегрирование по вероятностной мере µ . Преследование изоморфизмов тогда дает ${\displaystyle \langle \cdot [e],[e]\rangle _{f}}$ ${\displaystyle C_{0}({\widehat {G}})}$

${\displaystyle \langle U_{g}[e],[e]\rangle _{f}=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi ).}$

С другой стороны, для вероятностной меры µ on функция ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

${\displaystyle f(g)=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi )}$

— нормированная непрерывная положительно определенная функция. Непрерывность f следует из теоремы о доминируемой сходимости . Для положительной определенности возьмем невырожденное представление . Это однозначно распространяется на представление ее мультипликативной алгебры и, следовательно, на сильно непрерывное унитарное представление U _g . Как и выше, у нас есть f , заданная некоторым векторным состоянием на U _g ${\displaystyle C_{0}({\widehat {G}})}$ ${\displaystyle C_{b}({\widehat {G}})}$

${\displaystyle f(g)=\langle U_{g}v,v\rangle ,}$

следовательно, положительно-определенный.

Эти две конструкции взаимно обратны.

Особые случаи

Теорему Бохнера в частном случае дискретной группы Z часто называют теоремой Герглотца (см. теорему Герглотца о представлении ) и говорят, что функция f на Z с f (0) = 1 является положительно определенной тогда и только тогда, когда существует существует вероятностная мера µ на ​​окружности T такая, что

${\displaystyle f(k)=\int _{\mathbb {T} }e^{-2\pi ikx}\,d\mu (x).}$

Аналогично, непрерывная функция f на R с f (0) = 1 является положительно определенной тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера µ на ​​R такая, что

${\displaystyle f(t)=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi i\xi t}\,d\mu (\xi ).}$

Приложения

В статистике теорема Бохнера может использоваться для описания серийной корреляции определенного типа временных рядов . Последовательность случайных величин со средним значением 0 представляет собой стационарный временной ряд (в широком смысле), если ковариация ${\displaystyle \{f_{n}\}}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (f_{n},f_{m})}$

зависит только от n  -  m . Функция

${\displaystyle g(n-m)=\operatorname {Cov} (f_{n},f_{m})}$

называется автоковариационной функцией временного ряда. По предположению о среднем нуле,

${\displaystyle g(n-m)=\langle f_{n},f_{m}\rangle ,}$

где ⟨⋅, ⋅⟩ обозначает скалярное произведение в гильбертовом пространстве случайных величин с конечными вторыми моментами. Тогда сразу же становится ясно, что g является положительно определенной функцией целых чисел . По теореме Бохнера существует единственная положительная мера µ на ​​[0, 1] такая, что ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle g(k)=\int e^{-2\pi ikx}\,d\mu (x).}$

Эта мера µ называется спектральной мерой временного ряда. Он дает информацию о «сезонных тенденциях» сериала.

Например, пусть z — корень m -й степени из единицы (при текущей идентификации это 1/ m ∈ [0, 1]), а f — случайная величина со средним значением 0 и дисперсией 1. Рассмотрим временной ряд . Функция автоковариации ${\displaystyle \{z^{n}f\}}$

${\displaystyle g(k)=z^{k}.}$

Очевидно, соответствующей спектральной мерой является точечная масса Дирака с центром в точке z . Это связано с тем, что временной ряд повторяется каждые m периодов.

Когда g имеет достаточно быстрое затухание, мера µ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, а ее производная Радона–Никодима f называется спектральной плотностью временного ряда. Когда g лежит в , f является преобразованием Фурье g . ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {Z} )}$

Смотрите также

• Теорема Бохнера-Минлоса
• Характеристическая функция (теория вероятностей)
• Положительно определенная функция на группе

Рекомендации

1. Уильям Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, том 2 , Wiley, с. 634

• Лумис, Л.Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Ван Ностранд
• М. Рид и Барри Саймон , Методы современной математической физики , вып. II, Академик Пресс, 1975.
• Рудин, В. (1990), Анализ Фурье групп , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-52364-Х