Теорема Вейля о полной приводимости

В алгебре теорема Вейля о полной приводимости является фундаментальным результатом в теории представлений алгебр Ли (в частности, в теории представлений полупростых алгебр Ли ). Пусть — полупростая алгебра Ли над полем нулевой характеристики. Теорема утверждает, что каждый конечномерный модуль над является полупростым как модуль (т. е. прямой суммой простых модулей.) ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Обертывающая алгебра полупроста

Из теоремы Вейля следует (фактически это эквивалентно), что обертывающая алгебра конечномерного представления является полупростым кольцом следующим образом.

Дано конечномерное представление алгебры Ли , пусть будет ассоциативной подалгеброй алгебры эндоморфизмов V , порожденной . Кольцо A называется обертывающей алгеброй . Если является полупростым, то A является полупростым. ^[2] (Доказательство: поскольку A является конечномерной алгеброй, она является артиновым кольцом; в частности, радикал Джекобсона J нильпотентен. Если V является простым, то следует, что . В общем случае J убивает каждый простой подмодуль V ; в частности, J убивает V и, следовательно, J является нулевым.) Обратно, если A является полупростым, то V является полупростым A -модулем; т. е. полупростым как -модуль . (Заметим, что модуль над полупростым кольцом является полупростым, поскольку модуль является фактором свободного модуля, а «полупростой» сохраняется при конструкциях свободного и факторного.) ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle A\subset \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle JV\subset V}$ ${\displaystyle JV=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Применение: сохранение разложения Жордана

Вот типичное применение. ^[3]

Предложение  —  Пусть — полупростая конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики. ^[a] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

1. Существует единственная пара элементов в такая, что , является полупростым, нильпотентным и . ${\displaystyle x_{s},x_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{s})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{n})}$ ${\displaystyle [x_{s},x_{n}]=0}$
2. Если – конечномерное представление, то и , где обозначают жорданово разложение полупростой и нильпотентной частей эндоморфизма . ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle \pi (x)_{s}=\pi (x_{s})}$ ${\displaystyle \pi (x)_{n}=\pi (x_{n})}$ ${\displaystyle \pi (x)_{s},\pi (x)_{n}}$ ${\displaystyle \pi (x)}$

Короче говоря, полупростые и нильпотентные части элемента хорошо определены и определяются независимо от точного конечномерного представления. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Доказательство : Сначала докажем частный случай (i) и (ii), когда является включением; т. е. является подалгеброй алгебры . Пусть будет разложением Жордана эндоморфизма , где — полупростые и нильпотентные эндоморфизмы в . Теперь также имеет разложение Жордана, которое, как можно показать (см. разложение Жордана–Шевалле ), соблюдает указанное выше разложение Жордана; т. е. являются полупростыми и нильпотентными частями . Поскольку — многочлены в , то мы видим . Таким образом, они являются выводами алгебры . Поскольку — полупросто, мы можем найти элементы в , такие что и аналогично для . Теперь пусть A будет обертывающей алгеброй алгебры ; т. е. подалгеброй алгебры эндоморфизмов алгебры V , порожденной . Как отмечено выше, A имеет нулевой радикал Джекобсона. Поскольку , мы видим, что — нильпотентный элемент в центре алгебры A . Но, в общем случае, центральный нильпотент принадлежит радикалу Джекобсона; следовательно, и таким образом также . Это доказывает особый случай. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle x=S+N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle s,n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [y,S]=[y,s],y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [y,N-n]=0}$ ${\displaystyle N-n}$ ${\displaystyle N=n}$ ${\displaystyle S=s}$

В общем случае является полупростым (соответственно нильпотентным), когда является полупростым (соответственно нильпотентным). ^{[ необходимо разъяснение ]} Это немедленно приводит к (i) и (ii). ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ ${\displaystyle \square }$

Доказательства

Аналитическое доказательство

Первоначальное доказательство Вейля (для комплексных полупростых алгебр Ли) было аналитическим по своей природе: оно, как известно, использовало унитарный прием . В частности, можно показать, что каждая комплексная полупростая алгебра Ли является комплексификацией алгебры Ли односвязной компактной группы Ли . ^[4] (Если, например, , то .) Если задано представление на векторном пространстве , то можно сначала ограничиться алгеброй Ли . Тогда, поскольку односвязно , ^[5] существует ассоциированное представление . Интегрирование по дает скалярное произведение на , для которого является унитарным. ^[6] Полная приводимость тогда становится немедленной, и элементарные рассуждения показывают, что исходное представление также полностью приводимо. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle K=\mathrm {SU} (n)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Алгебраическое доказательство 1

Пусть — конечномерное представление алгебры Ли над полем нулевой характеристики. Теорема является простым следствием леммы Уайтхеда , которая гласит, что является сюръективным, где линейное отображение является выводом, если . Доказательство по существу принадлежит Уайтхеду. ^[7] ${\displaystyle (\pi ,V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V\to \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}},V),v\mapsto \cdot v}$ ${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to V}$ ${\displaystyle f([x,y])=x\cdot f(y)-y\cdot f(x)}$

Пусть будет подпредставлением. Рассмотрим векторное подпространство , состоящее из всех линейных отображений таких, что и . Оно имеет структуру -модуля, заданную формулой: для , ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle L_{W}\subset \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle t:V\to V}$ ${\displaystyle t(V)\subset W}$ ${\displaystyle t(W)=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},t\in L_{W}}$

${\displaystyle x\cdot t=[\pi (x),t]}$.

Теперь выберем некоторую проекцию на W и рассмотрим заданное . Поскольку является выводом, по лемме Уайтхеда мы можем записать для некоторого . Тогда мы имеем ; то есть является -линейным. Кроме того, поскольку t убивает , является идемпотентом таким, что . Тогда ядро ​​является дополнительным представлением к . ${\displaystyle p:V\to V}$ ${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to L_{W}}$ ${\displaystyle f(x)=[p,\pi (x)]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x\cdot t}$ ${\displaystyle t\in L_{W}}$ ${\displaystyle [\pi (x),p+t]=0,x\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle p+t}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle p+t}$ ${\displaystyle (p+t)(V)=W}$ ${\displaystyle p+t}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \square }$

Алгебраическое доказательство 2

Лемма Уайтхеда обычно доказывается с помощью квадратичного элемента Казимира универсальной обертывающей алгебры [ ^8] , и существует также доказательство теоремы, которое использует элемент Казимира напрямую вместо леммы Уайтхеда.

Поскольку квадратичный элемент Казимира находится в центре универсальной обертывающей алгебры, лемма Шура говорит нам, что действует как кратное тождества в неприводимом представлении с наибольшим весом . Ключевым моментом является установление того, что является ненулевым , когда представление нетривиально. Это можно сделать с помощью общего аргумента ^[9] или с помощью явной формулы для . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c_{\lambda }}$ ${\displaystyle c_{\lambda }}$

Рассмотрим очень частный случай теоремы о полной сводимости: случай, когда представление содержит нетривиальное, неприводимое, инвариантное подпространство коразмерности один. Пусть обозначает действие на . Поскольку не является неприводимым, не обязательно является кратным тождества, но является самосплетающим оператором для . Тогда ограничение на является ненулевым кратным тождества. Но поскольку фактор является одномерным — и, следовательно, тривиальным — представлением , действие на фактор является тривиальным. Тогда легко следует, что должно иметь ненулевое ядро ​​— и ядро ​​является инвариантным подпространством, поскольку является самосплетающим оператором. Тогда ядро ​​является одномерным инвариантным подпространством, пересечение которого с равно нулю. Таким образом, является инвариантным дополнением к , так что разлагается в прямую сумму неприводимых подпространств: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C_{V}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C_{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C_{V}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{V}}$ ${\displaystyle C_{V}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathrm {ker} (V_{C})}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=W\oplus \mathrm {ker} (C_{V})}$.

Хотя это устанавливает лишь очень частный случай желаемого результата, этот шаг на самом деле является решающим в общем рассуждении.

Алгебраическое доказательство 3

Теорема может быть выведена из теории модулей Верма , которая характеризует простой модуль как фактор модуля Верма по максимальному подмодулю . ^[10] Этот подход имеет то преимущество, что его можно использовать для ослабления предположений о конечномерности (в алгебре и представлении).

Пусть — конечномерное представление конечномерной полупростой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Пусть — подалгебра Бореля, определяемая выбором подалгебры Картана и положительных корней. Пусть . Тогда — -модуль и, таким образом, имеет разложение -весового пространства: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}_{+}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V^{0}=\{v\in V|{\mathfrak {n}}_{+}(v)=0\}}$ ${\displaystyle V^{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle V^{0}=\bigoplus _{\lambda \in L}V_{\lambda }^{0}}$

где . Для каждого выберите и -подмодуль , порожденный и -подмодуль , порожденный . Мы утверждаем: . Предположим . По теореме Ли существует -весовой вектор в ; таким образом, мы можем найти -весовой вектор такой, что для некоторых среди генераторов Шевалле . Теперь, имеет вес . Так как частично упорядочен, то существует такой , что ; т. е . . Но это противоречие, так как оба являются примитивными весами (известно, что примитивные веса несравнимы. ^{[ необходимо разъяснение ]} ). Аналогично, каждый прост как -модуль. Действительно, если он не прост, то для некоторых , содержит некоторый ненулевой вектор, который не является вектором с наибольшим весом; снова противоречие. ^{[ необходимо разъяснение ]} ${\displaystyle L\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda \in L}$ ${\displaystyle 0\neq v_{\lambda }\in V_{\lambda }}$ ${\displaystyle V^{\lambda }\subset V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle v_{\lambda }}$ ${\displaystyle V'\subset V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V^{0}}$ ${\displaystyle V=V'}$ ${\displaystyle V\neq V'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle V/V'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle 0\neq e_{i}(v)\in V'}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}(v)}$ ${\displaystyle \mu +\alpha _{i}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \lambda \in L}$ ${\displaystyle \lambda \geq \mu +\alpha _{i}}$ ${\displaystyle \lambda >\mu }$ ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ ${\displaystyle V^{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mu <\lambda }$ ${\displaystyle V_{\mu }^{0}}$ ${\displaystyle \square }$

Алгебраическое доказательство 4

Существует также быстрое доказательство с помощью гомологической алгебры; см. книгу Вейбеля по гомологической алгебре .

Внешние ссылки

• Запись в блоге Ахила Мэтью

Ссылки

1. Примечание редакции: этот факт обычно утверждается для поля нулевой характеристики, но для доказательства требуется только, чтобы базовое поле было совершенным.

1. Холл 2015 Теорема 10.9
2. Якобсон 1979, Гл. II, § 5, Теорема 10.
3. Якобсон 1979, Гл. III, § 11, Теорема 17.
4. Кнапп 2002 Теорема 6.11
5. Холл 2015 Теорема 5.10
6. Холл 2015 Теорема 4.28
7. Якобсон 1979, Гл. III, § 7.
8. Холл 2015 Раздел 10.3
9. Хамфрис 1973 Раздел 6.2
10. Кац 1990, Лемма 9.5.

• Холл, Брайан С. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Graduate Texts in Mathematics. Том 222 (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3319134666.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1973). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Graduate Texts in Mathematics. Том 9 (Второе издание, исправленное издание). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Якобсон, Натан (1979). Алгебры Ли . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63832-4.Переиздание оригинала 1962 года.
• Кац, Виктор (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-46693-8.
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами введения , Progress in Mathematics, т. 140 (2-е изд.), Бостон: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5
• Вайбель, Чарльз А. (1995). Введение в гомологическую алгебру . Cambridge University Press.