принцип Гарнака

Теорема о сходимости гармонических функций.

В математической области уравнений с частными производными принцип Гарнака или теорема Гарнака является следствием неравенства Гарнака , которое касается сходимости последовательностей гармонических функций .

Дана последовательность гармонических функций u ₁ , u ₂ , ... на открытом связном подмножестве G евклидова пространства R ⁿ , которые поточечно монотонно не убывающие в том смысле, что

${\displaystyle u_{1}(x)\leq u_{2}(x)\leq \dots }$

для каждой точки x из G , то предел

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{n}(x)}$

автоматически существует в расширенной числовой прямой для каждого x . Теорема Гарнака гласит, что предел либо бесконечен в каждой точке G , либо конечен в каждой точке G. В последнем случае сходимость равномерна на компактных множествах , а предел является гармонической функцией на G. ^[1 ]

Теорема является следствием неравенства Гарнака. Если u _n ( y ) является последовательностью Коши для любого конкретного значения y , то неравенство Гарнака, примененное к гармонической функции u _m − u _n , влечет для произвольного компактного множества D, содержащего y , что sup _D | u _m − u _n | произвольно мало для достаточно больших m и n . Это в точности определение равномерной сходимости на компактных множествах. Другими словами, неравенство Гарнака является инструментом, который напрямую распространяет свойство Коши последовательности гармонических функций в одной точке на свойство Коши во всех точках.

Установив равномерную сходимость на компактных множествах, гармоничность предела является непосредственным следствием того факта, что свойство среднего значения (автоматически сохраняющееся при равномерной сходимости) полностью характеризует гармонические функции среди непрерывных функций. ^[2]

Доказательство равномерной сходимости на компактных множествах одинаково хорошо применимо к любому линейному эллиптическому уравнению в частных производных второго порядка , при условии, что оно линейно, так что u _m − u _n решает то же самое уравнение. Единственное отличие состоит в том, что должно использоваться более общее неравенство Гарнака, справедливое для решений эллиптических уравнений в частных производных второго порядка, а не только для гармонических функций. После установления равномерной сходимости на компактных множествах свойство среднего значения недоступно в этой более общей ситуации, и поэтому доказательство сходимости к новому решению должно вместо этого использовать другие инструменты, такие как оценки Шаудера .

Ссылки

1. Курант и Гильберт 1962, стр. 273–274; Гилбарг и Трудингер, 2001, теорема 2.9; Проттер и Вайнбергер, 1984, раздел 2.10.
2. Гилбарг и Трудингер 2001, Теоремы 2.7 и 2.8.

Источники

• Курант, Р.; Гильберт , Д. (1962). Методы математической физики. Том II: Уравнения с частными производными . Нью-Йорк–Лондон: Interscience Publishers . doi :10.1002/9783527617234. ISBN 9780471504399. MR  0140802. Zbl  0099.29504.
• Gilbarg, David ; Trudinger, Neil S. (2001). Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка . Classics in Mathematics (Переиздание издания 1998 г.). Berlin: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-61798-0. ISBN 3-540-41160-7. MR  1814364. Zbl  1042.35002.
• Проттер, Мюррей Х.; Вайнбергер , Ганс Ф. (1984). Максимальные принципы в дифференциальных уравнениях (Исправленное переиздание оригинального издания 1967 г.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4612-5282-5. ISBN 0-387-96068-6. MR  0762825. Zbl  0549.35002.

Внешние ссылки

• Камынин, Л.И. (2001) [1994], "Теорема Гарнака", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press