Врожденная жесткость — это концепция в специальной теории относительности . Это один из ответов на вопрос, что в специальной теории относительности соответствует твердому телу нерелятивистской классической механики .
Это понятие было введено Максом Борном (1909), [1] [2], который дал подробное описание случая постоянного собственного ускорения , которое он назвал гиперболическим движением . Когда последующие авторы, такие как Пауль Эренфест (1909) [3] , попытались включить также вращательные движения, стало ясно, что жесткость Борна является очень ограничительным пониманием жесткости, что привело к теореме Герглотца–Нётера , согласно которой существуют серьезные ограничения на вращательные жесткие движения Борна. Она была сформулирована Густавом Герглотцем (1909, который классифицировал все формы вращательных движений) [4] и в менее общем виде Фрицем Нётером (1909). [5] В результате Борн (1910) [6] и другие дали альтернативные, менее ограничительные определения жесткости.
Борновская жесткость выполняется, если ортогональное расстояние пространства-времени между бесконечно малыми разделенными кривыми или мировыми линиями является постоянным, [7] или, что эквивалентно, если длина твердого тела в мгновенных сопутствующих инерциальных системах отсчета, измеренная стандартными измерительными стержнями (т. е. собственная длина ), является постоянной и, следовательно, подвергается лоренцевскому сокращению в относительно движущихся системах отсчета. [8] Борновская жесткость является ограничением на движение протяженного тела, достигаемым путем осторожного приложения сил к различным частям тела. Тело, которое могло бы сохранять свою собственную жесткость, нарушило бы специальную теорию относительности, поскольку его скорость звука была бы бесконечной.
Классификацию всех возможных жестких движений Борна можно получить с помощью теоремы Герглотца–Нётер. Эта теорема утверждает, что все безвихревые жесткие движения Борна (класс A) состоят из гиперплоскостей, жестко движущихся через пространство-время, в то время как любое вращательное жесткое движение Борна (класс B) должно быть изометрическим движением Киллинга . Это подразумевает, что жесткое тело Борна имеет только три степени свободы . Таким образом, тело может быть приведено жестким способом Борна из состояния покоя в любое поступательное движение, но оно не может быть приведено жестким способом Борна из состояния покоя во вращательное движение. [9]
Герглотц (1911) [10] показал, что релятивистская теория упругости может быть основана на предположении, что напряжения возникают при нарушении условия жесткости Борна. [11]
Примером нарушения борновской жесткости является парадокс Эренфеста : хотя состояние равномерного кругового движения тела входит в число разрешенных борновских жестких движений класса B, тело не может быть переведено из любого другого состояния движения в равномерное круговое движение без нарушения условия борновской жесткости во время фазы, в которой тело подвергается различным ускорениям. Но если эта фаза закончилась и центростремительное ускорение стало постоянным, тело может равномерно вращаться в соответствии с борновской жесткостью. Аналогично, если оно теперь находится в равномерном круговом движении, это состояние не может быть изменено без повторного нарушения борновской жесткости тела.
Другим примером является парадокс космического корабля Белла : если концы тела ускоряются с постоянными собственными ускорениями в прямолинейном направлении, то ведущая конечная точка должна иметь меньшее собственное ускорение, чтобы оставить собственную длину постоянной, чтобы была удовлетворена жесткость Борна. Она также будет демонстрировать увеличивающееся сокращение Лоренца во внешней инерциальной системе отсчета, то есть во внешней системе отсчета концы тела не ускоряются одновременно. Однако, если выбрать другой профиль ускорения, при котором концы тела одновременно ускоряются с тем же собственным ускорением, что и во внешней инерциальной системе отсчета, ее жесткость Борна будет нарушена, поскольку постоянная длина во внешней системе отсчета подразумевает увеличение собственной длины в сопутствующей системе отсчета из-за относительности одновременности. В этом случае хрупкая нить, натянутая между двумя ракетами, будет испытывать напряжения (которые называются напряжениями Герглотца–Дьюана–Берана [8] ) и, следовательно, порвется.
Классификация разрешенных, в частности вращательных, жестких движений Борна в плоском пространстве-времени Минковского была дана Герглотцем [4] , которую также изучали Фридрих Коттлер (1912, 1914), [12] Жорж Леметр (1924), [13] Адриан Фоккер (1940), [14] Джордж Зальцман и Авраам Х. Тауб (1954). [7] Герглотц указал, что континуум движется как твердое тело, когда мировые линии его точек являются эквидистантными кривыми в . Полученную мировость можно разделить на два класса:
Герглотц определил этот класс в терминах эквидистантных кривых, которые являются ортогональными траекториями семейства гиперплоскостей , которые также можно рассматривать как решения уравнения Риккати [15] (это было названо «плоским движением» Зальцманном и Таубом [7] или «безвихревым жестким движением» Бойером [16] [17] ). Он пришел к выводу, что движение такого тела полностью определяется движением одной из его точек.
Общая метрика для этих безвихревых движений была дана Герглотцем, чья работа была обобщена с упрощенными обозначениями Леметром (1924). Также метрика Ферми в форме, данной Кристианом Мёллером (1952) для жестких систем с произвольным движением начала координат, была определена как «наиболее общая метрика для безвихревого жесткого движения в специальной теории относительности». [18] В целом было показано, что безвихревое движение Борна соответствует тем ферми-конгруэнциям, любая мировая линия которых может быть использована в качестве базовой (однородная ферми-конгруэнция). [19]
Already Born (1909) указал, что твердое тело в поступательном движении имеет максимальное пространственное расширение в зависимости от его ускорения, заданного соотношением , где — собственное ускорение, а — радиус сферы, в которой находится тело, таким образом, чем выше собственное ускорение, тем меньше максимальное расширение твердого тела. [2] Частный случай поступательного движения с постоянным собственным ускорением известен как гиперболическое движение , с мировой линией
Герглотц определил этот класс в терминах эквидистантных кривых, которые являются траекториями однопараметрической группы движения [29] (это было названо «групповым движением» Зальцманном и Таубом [7] и было отождествлено с изометрическим движением Киллинга Феликсом Пирани и Гаретом Уильямсом (1962) [30] ). Он указал, что они состоят из мировых линий, три кривизны которых постоянны (известные как кривизна , кручение и гиперкручение ), образуя спираль . [31] Мировые линии постоянной кривизны в плоском пространстве-времени также изучались Коттлером (1912), [12] Петрувом (1964), [32] Джоном Лайтоном Синджем (1967, который назвал их времениподобными спиралями в плоском пространстве-времени), [33] или Лето (1981, который назвал их стационарными мировыми линиями) [34] как решения формул Френе-Серре .
Герглотц далее выделил класс B, используя четыре однопараметрические группы преобразований Лоренца (локсодромические, эллиптические, гиперболические, параболические) по аналогии с гиперболическими движениями (т. е. изометрическими автоморфизмами гиперболического пространства) , и указал, что гиперболическое движение Борна (которое следует из гиперболической группы с в обозначениях Герглотца и Коттлера, в обозначениях Леметра, в обозначениях Синга; см. следующую таблицу) является единственным жестким движением Борна, которое принадлежит как классам A, так и B.
Попытки распространить концепцию жесткости Борна на общую теорию относительности были предприняты Зальцманном и Таубом (1954), [7] К. Бересфордом Рейнером (1959), [50] Пирани и Уильямсом (1962), [30] Робертом Х. Бойером (1964). [16] Было показано, что теорема Герглотца–Нётер не полностью выполняется, поскольку возможны жесткие вращающиеся системы отсчета или конгруэнции, которые не представляют изометрические движения Киллинга. [30]
В качестве условий жесткости было предложено несколько более слабых заменителей, например, Нётер (1909) [5] или самим Борном (1910) [6] .
Современная альтернатива была предложена Эппом, Манном и Макгратом. [51] В отличие от обычной жесткой конгруэнтности Борна, состоящей из «истории множества точек, заполняющих пространственный объем», они восстанавливают шесть степеней свободы классической механики, используя квазилокальную жесткую систему координат, определяя конгруэнтность в терминах «истории множества точек на поверхности, ограничивающей пространственный объем».
{{cite book}}: |journal=проигнорировано ( помощь ){{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link){{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link){{cite book}}: |journal=проигнорировано ( помощь ){{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)